WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Рис. 1. Модель трехслойной В средней части среды, в среды начале цилиндрической системы координат {r,, z}, размещен точечный источник постоянного тока I, расстояние от которого до границы верхнего слоя равно h1, а нижнего – h2, причем h1,h2>0 (рис. 1). Потенциал ue электрическоr E го поля среднего слоя представлен в виде, (1) где u0 – потенциал электрического поля источника постоянного тока в однородной среде с проводимостью e. Из решения уравнения Лапласа, описывающего пространственное распределение потенциалов верхнего и нижнего слоев u1 и u2, а также введенной поправки к потенциалу, которая возникает при возмущении электрического поля в однородной среде, и с учетом поведения потенциала при и установлено, что где Am, Bm, Cm, Dm – константы, определяемые из граничных условий; J0 – функция Бесселя I-го рода нулевого порядка. Из граничных условий с учетом при z=0 получено II S1 + S2 + 2S1Sue(r) =+ J0(mr)dm 2er 2e 0 1- S1S, (4) где e - 1 e - S1 = e-2mh, S2 = e-2mh e + 1 e + 2. (5) Асимптотическое разложение (5) имеет вид I ue(r) r при, (6) 2er I ue(r) r.

при (7) r(1 + 2) Известно, что удельная проводимость угля составляет 10-8-10-12 Ом-1.м-и может регистрироваться стандартными методами, используемыми для электромагнитного каротажа. Неоднородности различной природы с удель ной проводимостью, существенно отличающейся от свойственной углям, могут быть обнаружены путем пространственного перемещения источника постоянного тока и приемника, с учетом полученных уравнений (6, 7) при каротаже дегазационных скважин.

2. Распределение потенциала в цилиндрически-слоистых средах в прискважинной зоне в общем случае k-вложенных цилиндров с трехмерной анизотропией записывается в явном виде при решении уравнения Лапласа.

Разработана и исследована математическая модель, описывающая изменение потенциала на границе среды в зависимости от силы тока для двухслойной, трехслойной и k-слойной сред. Двухслойная среда представлена цилиндром с бесконечной высотой и радиусом а, который помещен в среду с нулевой проводимостью. Внутри цилиндра находится цилиндр с бесконечной высотой и радиусом b, а на границе а внешнего цилиндра – точечный источник постоянного тока r I. В цилиндрической системе координат потенциал ue электрического поля E вне цилиндра представлен в виде (1). Разложе* ние функции в ряды Фурье по угловой координате имеет вид u*, u cosn *c * *c,s u* = (8) u cosn + uns sin n = u sin n, n n n=0 n= cosn **c *s *c,s u0 = (9) u cosn + u0n sin n = u sin n.

0n 0n n=0 n=С учетом (8, 9) уравнение Лапласа принимает вид * * 2unc,s 1 unc,s n+- + 2 *c,s = 0 (10), r2 r r r2 un * * %*c,s uinc,s = u0c,s + uen n * * r = a. (11) %*c,s uinc,s u0c,s uen i = e n + r r r Решение уравнения (11) с учетом поведения потенциала при и имеет вид * Anc,sIn(mr), r < a * unc.s = (12) *c,s Kn(mr), r > a.

Bn Здесь m = ; In (x), Kn (x) – модифицированные функции Бесселя, Bnc,s и Anc, определяются из граничных условий и решения системы линейных уравнений. Для r=r0=a установлено, что I In(x)Kn(x) && && u(, z,a) = cos(xz)dx (13) 2 cos(n) x SIn(x)Kn(x) - Kn(x)In(x) 2 ae n=0 n, z - z& & где = -0, z =, x = ma.

a По аналогии для трехслойной среды получено выражение для потенциала при r = a + *c,s c c u = & (u (a) + An,sIn(ma) + Bn,sKn(ma))cos(maz)dm cos n (14) 0n sin n n=, z - z& где z =.

a Для оценки поведения потенциала в дальней зоне и возможности использования упрощенных выражений при решении прикладных задач, рассмотрена асимптотика u при большом z для (13). При r = r0 = a получено & I 1 1 2n && & u(, z,a) (15) 1 cos(n) 22n(n!)2 z2n 1.

& a e +i n=0 n & z Аналогичным образом асимптотическое разложение (14) представлено в виде I u 1 cosn( - ) 2a2n(1+ S) + b2n(1- S) 1 2n 1 (16) & a 2 n=0 n 2a2n(1+ S) -b2n(1- S) & z 22n(n!)2 z2n.

Установлено, что отличие полученных асимптотик от аналитического решения составляет не более 1% при z >10, что позволяет использовать их & для вычисления потенциала при больших вертикальных разносах электродов.

Рассмотрена k – слойная модель, в которой внешний слой представляет собой среду с нулевой проводимостью, а остальные k – 1 слоев – коаксиальные бесконечные цилиндры радиусами a1,a2,…,ak-1 и проводимостями r 1,2,…,k-1. Потенциал u1 электрического поля E внутри цилиндра радиуса a% представлен в виде u1 = u0 + u1. Здесь u0 – потенциал электрического поля r сторонних токов jc в однородной среде с проводимостью 1. Потенциалы внутри других цилиндров обозначены u2,u3,…,uk-1, а потенциал внешней сре% ды - ue. В предположении, что функция u0 известна, определен потенциал uна границе a1. При этом для решения уравнения Лапласа на каждой границе записаны граничные условия и получена система 2(k – 1) уравнений с 2(k – 1) константами M.X=U. (17) Здесь M – матрица модифицированных функций Бесселя порядка n, которые зависят от произведения mai (i=1k-1) и коэффициентов (j=1k-1).

Вектор-столбец Х состоит из искомых констант Clc,s (l=12k-2), U – векторстолбец, все элементы которого, кроме первых четырех, равны нулю. Ненулевые элементы имеют вид, (18). (19) В итоге, решение уравнения Лапласа выглядит следующим образом + *c,s c,s c,s u = & (u (a1) + C In(ma ) + C Kn(ma ))cos(ma z)dm cosn (20) 2 1 3 1 0n sin n n=.

Разработана обобщенная модель, учитывающая анизотропию проводимости по трем координатам {r,, z}, для каждого слоя k-слойной цилиндрически-слоистой среды. Для проводимостей по {r,, z} - (j=1k-1) в цилиндрических координатах уравнение Лапласа с учетом Фурьепреобразования имеет вид * * 2unc,s 1 unc,s n*c,s + - (rj )2 + 2(rj )2 un = (21) z r2 r r r, где, – коэффициенты анизотропии.

Таким образом, обобщенное уравнение для распределения потенциала в зависимости от проводимости и анизотропии k-слойной цилиндрической среды имеет вид + * cos n (22) & u = u0c,s (a1) + C2c,sIn1 (m1 a1) + C3c,sKn1 (m1 a1) cos(m1 a1z)dm rz rz rz n r r sin n n=.

Использование полученного уравнения (22) для решения обратной задачи позволяет восстановить значение удельного сопротивления внутри искомого слоя и, следовательно, определить его анизотропию.

3. Значение потенциала для слоистой цилиндрической структуры определяется путем разложения подынтегрального выражения, содержащего функции Бесселя II-го рода, в многочлен, степень которого зависит от расхождения аналитического решения и полиномиального разложения и определяется заданной точностью численного эксперимента.

Найденные распределения потенциалов (13), (14), (20), (22) содержат подынтегральные выражения с функциями Бесселя II-го рода, поэтому аналитическое вычисление соответствующих интегралов представляется затруднительным.

Для вычисления потенциалов слоистой цилиндрической структуры в практических задачах каротажа дегазационных скважин разработан программный комплекс, структура которого приведена на рисунке 2.

С помощью функции разложения в многочлен polynom_s вычисляются коэффициенты полинома степени n, который аппроксимирует заданную функцию y(x) методом наименьших квадратов (рис. 3). В результате получается строка длины n+1, Рис. 2. Программный комплекс для решения содержащая коэффициенты прямой задачи аппроксимирующего полинома. Аппроксимация полиномом связана с вычислением матрицы Вандермонда V, элементами которой являются базисные функции j = x (23) и последующим решением переопределенной системы уравнений V p=y(x), (24) где p – искомый столбец коэффициентов. Функция integral_s_cos возвращает значение подынтегрального выражения. С помоРис. 3. Аппроксимация подынтегральной щью функции matrix_m решается функции матричное уравнение методом исключения Гаусса и определяется значение искомых констант в зависимости от параметров, переданных ядром программного комплекса n_sloy. Функция n_sloy вычисляет значение потенциала на границе в зависимости от количества вложенных цилиндров, их радиусов и значений. С помощью функции summ_phi вычисляется интеграл и проводится суммирование по углу, если координаты источника и приемника по оси z совпадают. В противном случае конечное суммирование и вычисление интеграла проводится с помощью функции summ_u_ij. На ри сунке 4 представлены результаты применения разработанного алгоритмического и программного обеспечения для решения прямой задачи – восстановления распределения потенциала в узлах сетки в зависимости от заданных значений проводимости в этих точках.

Рис. 4. Наложение сетки на эллиптический объект, задание значений проводимости и расчет потенциала в этих точках 4. Соответствие между аналитическим решением и результатом эксперимента для трехслойной цилиндрической среды в изотропном и анизотропном случаях обеспечивается разработанным алгоритмом адаптации низкочастотной электрической томографии.

Обратная задача – восстановление распределения проводимости по значениям тока и потенциала на границе исследуемого объекта, решена методом подбора с использованием критерия минимума ||f|| - нормы расхождения модельных и экспериментальных данных u-f=f, который сводится к минимизации функционала M - fm(x) um F(x) = pm um m=, (25) M um pm =где pm – вес измерения,. Для поиска минимума (25) использо m=вался метод Нелдера – Мида. При этом решение прямой и обратной задач программно реализовано для изотропной модели многослойной среды и для нахождения коэффициента анизотропии в случае трехслойной тонкослоистой среды с изотропным ядром.

Для нахождения распределения проводимости внутри цилиндрических объектов в зависимости от распределения потенциала на границе применялось математическое приложение LCT Software, разработанное на основе пакета EIDORS, который позволяет восстанавливать электрические параметры объектов по измерениям, сделанным на границе (рис. 5).

При решении прямой задачи использовалась известная в электрической томографии полная математическая модель электродов, в которой электрический потенциал u в области Рис. 5. Пример наложения сетки на с распределением проводимости объект цилиндрической формы (на рисунке закрашены поверхности удовлетворяет уравнению.

соприкосновения с электродами) Возникающий электрохимический эффект, в виде тонкого слоя с высоким сопротивлением между поверхностью электрода и тела, учитывается импедансом zl.

С учетом того, что Il – сила тока на l’-ом электроде El условия на границе исследуемого объекта имеют вид где Vl – напряжение на электроде El, n – внешний вектор нормали к поверхности рассматриваемого элемента. При этом плотность тока в промежутке между электродами Согласно этой модели электродов матрица проводимости A с количеством узлов в сетке равных n, с k элементами и L электродами имеет вид Здесь для i,j=1n; и – функции, характеризующие форму объекта; Ac1 – может быть вычислено методом, предложенным Вавасисом; Ac2 –учитывает контактный импеданс элементов, находящихся под электродами. При этом Ae и Ad определяются следующим образом для i=1n и l=1L;

для i,j=1L. Здесь |El| – поверхность l’-го электрода. Далее рассчитывается вектор I и его ненулевая часть Ib для распределения значений потенциала в узлах сетки un и потенциалов на электродах VL Решение обратной задачи заключается в нахождении устойчивого решения *, которое минимизирует функцию где F() – нелинейный оператор в задаче с n параметрами (объемными минимальными конечными элементами – тетраэдрами) и m измерениями, а V – вектор значений напряжения для определенных распределений значений силы тока.

В результате решения обратной задачи получено распределение проводимости с погрешностью 50% вблизи электродов и 5–10% в остальной области. При решении обратной задачи и восстановлении распределения сопротивления для модельных данных реализован численный алгоритм для трехслойной среды. В качестве начального приближения выбраны удельные сопротивления в 1-м и 2-м слоях, равные удельному сопротивлению воды при нормальных условиях, а радиус внутреннего слоя – половине радиуса цилиндрического объекта на уровне производимых измерений. Затем начальное приближение варьировалось в пределах 50% от приведенных значений. При этом решение оказалось устойчивым по отношению к выбору начальных данных. На рисунке 6 приведен результат вычислительного эксперимента, где – отношение значений потенциалов для электродов, расположенных на одной оси, 2 и электродов, расположенных на одном Рис. 6. Теоретическая радиусе, – коэффициент анизотропии.

зависимость от и В результате, для пяти серий моэкспериментальные оценки дельных данных на границе трехслойной коэффициентов анизотропии анизотропной среды получено ние не более 9,5% между теоретической зависимостью и результатами эксперимента.

Применение предложенного подхода для обнаружения неоднородностей рассмотрено для трех вариантов расположения эллиптического включения вблизи дегазационной скважины (рис. 7):

– объект удален от скважины на расстояние, не превышающее половины мощности угольного пласта;

– объект находится на расстояние половины мощности угольного пласта от скважины;

– объект находится на расстоянии, превышающем половину мощности угольного пласта.

При решении обратной задачи с помощью метода вложенных цилиндров для первого случая определен размер и удельное сопротивление цилиндра с измененной проводимостью (рис. 7, а), линейный размер которого незначительно отличается от размера включения (расхождение не более 8%).

б) а) Рис. 7. Определение размеров эллиптического включения в случае его:

а) – незначительного удаления от скважины; б) – удаления от сквав) жины; в) – значительного удаления от скважины Во втором случае возможно только обнаружение включения, поскольку при рассмотрении цилиндра с радиусом большим половины мощности угольного пласта возникает неопределенность, связанная с оценкой проводимости 1-го и 3-го пластов (рис. 7, б). В третьем случае для обнаружения неоднородностей и определения их размеров необходимо использовать две скважины с размещением в одной источника, а в другой - приемника. При этом заменяя проводимость всех трех слоев на усредненную – между 1-ым и 3-им, поскольку на значительном удалении источника и приемника они будут давать наибольший вклад в значение потенциала согласно (7), и применяя цилиндрическую модель, можно определить размеры включения в виде цилиндра, размещенного в однородном слое (рис. 7, в).

Таким образом, предложенный подход позволяет обнаруживать неоднородности и определять их линейные размеры в углепородном массиве при различном удалении включения от дегазационной скважины.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»