WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

(13) + n o o P+() = O,. (14) Сформулированную задачу (11)–(14) естественно называть сингулярной задачей Римана Гильберта II) Предположим, что для одной или нескольких точек k, которые обозначим k, одновременно выполняются равенства m nk = 0, k = 0, k = 0, (15) m m m т.е. имеет место случай II. Тогда в каждой конечной точке k требование m (13), которое при k = nk = 0 означало бы P+() = O(1), k, m m m заменяется на следующее:

P+() = O ln( - k ), k, (16) m m а если условие (15) выполняется в точке k = 0, то соотношение (14), которое при k = nk = 0 означало бы P+() = O(1),, заменяется o o на следующее:

P+() = O ln,. (17) Назовем каноническим решением задачи Римана Гильберта функцию X+(), которая удовлетворяет однородному краевому условию (12), нигде в H+ \ {k} не обращается нуль, а в конечных точках k, k = 1, K, подчиняется условиям роста (13).

В §3 показано, что каноническое решение X+ имеет вид K + k X+() = ( - k)- -nk eM (), (18) k=где через M() обозначен модифицированный интеграл типа Коши:

- (t) dt M±() :=, H±, (19) (t - ) (t - ) R свойства которого (в том числе асимптотики при k, k = 0, K) также исследованы в §3.

С учетом поведения M+ на бесконечности из формулы (18), вытекает следующая асимптотика функции X+():

+n o o X+() = O ( ),. (20) Фигурирующее здесь целое число, определяемое по формуле K := no - o + (k + nk), (21) k=называем индексом задачи.

Разрешимость однородной задачи Римана Гильберта устанавливает следующая Теорема 1. (i) Если индекс, определяемый по формуле (21), неотрицателен, то решение + H+ однородной задачи Римана Гильберта Re [ h() + ()] = 0, R \ {k}, (22) с условиями роста k +() =O ( - k) -nk, k, k = 1, K, (23) o o +() = O +n,, где nk произвольные неотрицательные целые числа, имеет следующий вид:

K + k +() = ( - k)- -nk eM () P (), H+; (24) k=здесь функция M+ () дается равенством (19), P() произвольный многочлен степени с вещественными коэффициентами, а числа k и k определяются из (7).

(ii) При < 0 однородная задача Римана Гильберта (22), (23) в классе H+ не имеет решений, кроме тривиального +() 0.

Разрешимость неоднородной задачи Римана Гильберта устанавливает следующая Теорема 2. I) Пусть выполняется условие (9). Тогда справедливы утверждения:

(i) Если индекс, определяемый по формуле (21), неотрицателен, то решение P+ H+ задачи Римана Гильберта (12)–(14) имеет вид S() c(t) dt P+() = X+() P() +, (25) i S(t) h(t) X+(t) (t - ) R где P() произвольный полином степени с вещественными коэффициентами, X+() каноническое решение задачи, определяемое равенством K + k X+() = ( - k)- -nk eM (), (26) k=а M+() и S() даются формулами (19) и S() := ( - )2{/2} (2 + 1)[ /2 ]; (27) здесь R \ {k}.

(ii) Если = -1, то единственным решением P+ H+ рассматриваемой задачи является функция X+() c(t) dt P+() =. (28) i h(t) X+(t) (t - ) R Если < -1 и выполняются условия tkc(t) dt = 0, k = 0, 1,..., || - 2, (29) h(t) X+(t) R то единственное решение задачи из H+ дается формулой (28). Если же < -1 и условия (29) не выполнены, то эта задача в классе H+ не имеет решений.

II) Пусть выполняется условие (10). Тогда в конечных точках k, m где одновременно выполняются соотношения (15), условие (13) в постановке задачи следует заменить на (16), а представления (25) при 0 и (28) при < 0 для решения P+ H+ сохраняются. Если же (15) имеет место для k =, то условие (14) следует заменить на (17), представление (28) при < 0 сохраняется, а функцию S() в представлении (25) при 0 для решения следует определять равенством S() := ( - )2{/2} (2 + 1)[ /2 ]( - );, R \ {k}, =. (30) В параграфе 4 главы I рассмотрен частный случай изученной в §3 задачи Римана Гильберта, когда ее коэффициенты кусочно–постоянны, т.е.

h() = hk, (k, k+1); c() = ck, (k, k+1). (31) В первой части §4 даны представления решения через интегралы типа Коши и установлена разрешимость данной задачи. Эти результаты сформулированы в теореме 3, которая, по существу, является уточнением теоремы 2 для рассматриваемого частного случая.

Вторая часть параграфа 4 посвящена преобразованию решения сингулярной задачи Римана Гильберта в полуплоскости с кусочно– постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, к виду интеграла Кристоффеля Шварца.

Kаноническое решение X+() для рассматриваемой в этом параграфе задачи Римана Гильберта имеет вид 2 1 X+() = ei ( - 1) - n1 ( - 2) - n2, (32) где 2 := /2 - arg h2, а общее решение +() однородной задачи (т.е.

при c 0) дается формулой 1 +() = ei 2 ( - 1) -n1 ( - 2) -n2 P (), H+; (33) здесь P() произвольный многочлен степени с вещественными коэффициентами.

Частное решение N+() неоднородной задачи Римана Гильберта может быть представлено в виде + + + N+() = Nk (), Nk () = X+() Fk (), (34) k=+ где Fk () даются равенством ck( - k) (t - k)F+ () = dt; (35) k hki X+(t)(t - ) Lk здесь L0 := (-, 1), L1 := (1, 2), L2 := (2, +), 0 = 2 L1, 1 R \ [1, 2]. Подчеркнем, что фигурирующие в (35) интегралы могут быть выражены через функцию Аппеля F1, определяемую из (4).

Преобразование общего решения P+() = +()+N+() неоднородной задачи Римана Гильберта к виду интеграла Кристоффеля Шварца осуществлено путем дифференцирования и нахождения первообразной.

Такое преобразования отдельно проведено для решения +() однородной задачи и (что является значительно более трудным вопросом) для частного решения N+() неоднородной задачи.

Техническим средством, позволившим осуществить указанное преобразование функции N+(), является найденная в п. 4.3 формула типа Якоби для функции Аппеля (4); эта формула имеет следующий вид:

d wc-a-1 (w - 1)1+b-c (w - z)a F1 (1, a; b; c; w, z) = dw (36) = wc-a-2 (w - 1)b-c (w - z)a-1 K · (w - z) + Q · w, где величины K и Q даются равенствами K := (1 + a - c) F (a, b; c; z), Q := a(z - 1) F (a + 1, b; c; z). (37) Справедлива следующая Теорема 4. Решение P+() рассмотренной в теореме 2 сингулярной задачи Римана Гильберта с кусочно–постоянными коэффициентами h() и c() представимо в случае трех точек разрыва 0 =, 1 и 2 в виде интеграла Кристоффеля Шварца 2 1 P+() = ei (t - 1) - n1-1 (t - 2) - n2-1 R (t) dt + w0; (38) где R(t) многочлен с вещественными коэффициентами В диссертации получен явный вид многочлена R(t), а также указаны константы 0 и w0. Выражения для этих величин не приводятся в силу их громозкости.

Вторая глава посвящена решению сингулярной задачи Римана Гильберта во внешности десятиугольника с кусочно–постоянными коэффициентами и заданным на бесконечности условием роста; такая задача возникает при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме.

В параграфе 1 главы II изложены основные положения (двумерной) модели пересоединения магнитного поля во внешности токовой конфигурации, состоящей из токового слоя и присоединенных к нему четырех ударных МГД–волн; токовый слой и ударные волны, считающиеся бесконечно тонкими, изображаются в виде симметричной системы прямолинейных разрезов на комплексной плоскости. Десятиугольная область, в которой рассматривается магнитное поле, является внешностью этой системы разрезов. Используемая в диссертации модель предложена в работе С.А.Марковского и Б.В.Сомова (1988); она является обобщением моделей, предложенных в работах С.И. Сыроватского (1971) и Робертса и Приста (1975).

В параграфе 2 главы II описанно сведение изложенной в §1 математической модели к задаче Римана Гильберта с кусочно–постоянными коэффициентами в указанной десятиугольной области и условием линейного роста решения на бесконечности.

Эта задача Римана Гильберта, в свою очередь, сведена к аналогичной задаче в четверти исходной области (в первом квадранте QI с разрезом 1), обозначаемой через G, относительно функции F(z). Область G определяется тремя параметрами R, r и и задается соотношением:

G = QI \ 1, где QI := z : Im z > 0, Re z > 0, 1 := {z : z = R + t r ei, t [0, 1] }.

Далее в §2 дан подход к решению задачи. Функцию F предлагается искать в виде суперпозиции F(z) = P+ (z) конформного отображения = (z) области G на верхнюю полуплоскость H+ и решения P+() соответствующей задачи Римана Гильберта в H+. При этом указаны основные трудности, возникающие при построении конформного отображения (связанные с решением проблемы параметров для интеграла Кристоффеля Шварца и его обращением), а также изложен способ их преодоления. Нахождению конформного отображения (z) посвящены §§3–6; функция P+() строится в §7.

В параграфе 3 главы II выписано представление в виде интеграла Кристоффеля Шварца для конформного отображения z = -1() верхней полуплоскости на (пятиугольную) область G. Отображение -подчинено нормировке -1() =, -1(0) = 0, -1(1) = R + rei, (39) а указанный интеграл имеет вид -1() = K t-1/2 (t - )- (t - 1) (t - )-1 dt. (40) Представление (40) содержит неизвестные параметры: величины и прообразы двух вершин многоугольника G, а также предынтегральный множитель K.

В §3 сформирована система нелинейных уравнений относительно прообразов и :

I2 (, ) / I1 (, ) =, I3 (, ) = 0; (41) здесь = r/R относительная длина разреза 1. Левые части уравнений (41) записаны в терминах интегралов гипергеометрического типа Ij(, ), определяемых по формуле Ij = |f (t)| dt, j где 1 = (0, ), 2 = (, 1), 3 = (, ), а f(t) подынтегральная функция в (40).

Далее в §3 изложен подход к решению этой системы, основанный на сочетании метода продолжения по параметру и метода Ньютона. После вычисления и множитель K находится по формуле K = R/I1(, ).

Для эффективного решения системы нелинейных уравнений (41) требуется с высокой степенью точности вычислять интегралы Ij(, ), а также иметь хорошее начальное приближение для искомых величин и.

В параграфе 4 главы II изложен аналитический метод вычисления интегралов гипергеометрического типа Ij, фигурирующих в системе уравнений для и. Этот метод дает представление для таких интегралов в виде экспоненциально сходящихся рядов, коэффициенты которых выписаны явно через гипергеометрические функции. В качестве примера приведем одно из полученных представлений для интеграла I2(, ):

(1 - )2I2 (, ) = 1/2 ( - )1(42) (1 - )n F (1/2, n - + 1; n - + 3; --1) n, n! (n - + 1)(n - + 2) n=где величины j даются формулами 1 - 1 =, 2 =. (43) - 1 - Заметим, что из нормировки (39) и принципа соответствия границ при конформном отображении для и вытекают неравенства 0 < < и 1 <, откуда следует, что параметр 1 лежит в интервале (0, 1).

Таким образом, ряд (42) сходится при всех допустимых значениях и.

Для вычисления гипергеометрических функций, фигурирующих в (42), в различных диапазонах изменения параметра 2 используется ряд (2) или формулы аналитического продолжения функции F (a, b; c; z).

Параграф 5 главы II посвящен нахождению асимптотик для величин и в зависимости от геометрических параметров = r/R и многоугольника G и построению на основе этих асимптотик начальных приближений для и.

Основным аппаратом, применяемым для получения результатов §5, является теория конформного отображения сингулярно деформируемых областей1 ("теория деформирования"); в §5 приведены используемые в диссертации положения этой теории.

В.И. Власов О вариации отображающей функции при деформировании области // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, №6. С. 1299–1302.

В.И. Власов Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1987. 272 с.

В этом параграфе найдены асимптотики для и при 0:

(1) (2) = 1 - c - c 2 - O(3), 0, (44) (1) (2) = 1 + c + c 2 + O(3), при (0) (1) = -2/(1-2) C 1 + C -1 + O -2/(1-2), (45) = C(0) + C(1) -1 + O -2,, и следующие асимптотики: = O(1), - 1 = O(), 0. Для коэф(j) (j) фициентов c(j), c(j) и C, C, фигурирующих в соотношениях (44) и (45), получены явные формулы.

На основе этих асимптотик предложены начальные приближения для и, используемые при решении указанной выше системы нелинейных уравнений. Результаты параграфа 5 сформулированы в виде предложений 2–4.

В параграфе 6 главы II изложен метод обращения интеграла Кристоффеля Шварца, позволяющий получить искомое отображение (z) в виде набора экспоненциально сходящихся степнных разложений с явно выписанными коэффициентами; множества сходимости разложений покрывают в совокупности всю область G. Метод основан на теории деформирования. Изложена его общая схема, а также приведен пример формул для коэффициентов разложения вблизи одной из вершин (аналогичные формулы для коэффициентов всех разложений не приводятся в силу их громозкости). Этим параграфом завершается построение конформного отображения (z) области G на верхнюю полуплоскость H+.

В параграфе 7 главы II сформулирована и решена задача Римана Гильберта в H+ для функции P+() C( H+ \{}) с краевым условием Re h() P+() = c(), R \ {,, } и условием роста P+ () = -2 i K + o(1),.

Коэффициенты h() и c() даются равенствами e-i/2, (-, ), 0, (-, ), h () = -iei, (, ), c () = -, (, ), ei, (, +); 0, (, +);

(46) величины, и K параметры интеграла (40), а и вещественные числа, являющиеся параметрами модели.

В начале §7 для нахождения P+ применены результаты главы I, с помощью которых для функции P+ получено представление в виде интеграла Кристоффеля Шварца (t - ) - P+ () = - i K (t - p) dt -, (t - ) + 1/2 sin - p = (1 - ) + + 2 ( - ) +.

3/2 K Затем дана геометрическая интерпретация решения P+ задачи Римана Гильберта как конформного отображения полуплоскости H+ на некоторую бесконечную четырехугольную область W. Исследована зависимость этой области (являющейся областью годографа магнитного поля) от параметров модели.

Далее для функции P+ получены представления в виде степенных разложений (с явно выписанными коэффициентами), дающие удобный аппарат для вычисления P+. В §7 изложены также все этапы алгоритма вычисления решения F исходной задачи Римана Гильберта в G в виде суперпозиции F(z) = P+ (z), а в завершение этого параграфа получены формулы для физически значимых характеристик магнитного поля:

найдены выражения для полного тока и скорости пересоединения.

Параграф 8 главы II посвящен численной реализации полученного решения. Продемонстрировано, что построенный метод решения рассматриваемой задачи Римана Гильберта в многоугольнике является эффективным. В частности, для параметров,, K отображения (40) была достигнута относительная точность не хуже 10-11.

Список публикаций по теме диссертации 1. Безродных С.И. О задаче Римана Гильберта с условиями роста // Spectral and Evalution Problems: Proceedings of the XV Crimean Autumn Mathematical School–Symposium. Vol. 15. P. 112–118.

Simferopol: Black Sea Brunch of Moscow State University, 2005.

2. Безродных С.И. Соотношение типа Якоби для обобщенной гипергеометрической функции // Международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 14–18 мая 2006 г. Тезисы докладов. С. 18–19.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.