WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|

На правах рукописи

БЕЗРОДНЫХ Сергей Игоревич Сингулярная задача Римана Гильберта и ее приложение 01.01.03 математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук.

Научный консультант:

доктор физико–математических наук В.И. ВЛАСОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Б.В. ПАЛЬЦЕВ, кандидат физико–математических наук Н.А. ЖУРА.

Ведущая организация:

Белгородский государственный университет.

Защита диссертации состоится "12" октября 2006 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.017.01 при Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу:

119991, Москва, ул. Вавилова д. 40, конференц–зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН.

Автореферат разослан "11" сентября 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук С.П. ПОПОВ

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию задачи Римана Гильберта с разрывными коэффициентами и условиями роста, получению нового, удобного для вычислений представления решения и применению этих результатов к актуальной прикладной проблеме.

Актуальность темы. Задача о восстановлении аналитической в области B функции F = u + iv по заданному на границе B соотношению между ее вещественной и мнимой частями a u - b v = c, (1) где a, b, c заданные вещественнозначные функции, называемая задачей Римана Гильберта, восходит к классическим работам этих авторов.

Теория этой задачи и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ю.В. Сохоцкого, Племеля, Вольтерра, Гильберта, Карлемана, Н етера, Ф.Д. Гахова, Н.И.Мусхелишвили, Б.В.Хведелидзе, И.Н.Векуа, Н.П.Векуа, Б.В.Боярского, А.В.Бицадзе и др.

Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время.

Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения задачи Римана Гильберта к актуальным прикладным проблемам в традиционных (гидро– и аэродинамика теория упругости) и современных областях, в том числе в обратных задачах термовязкоупругости, теории рассеяния и импедансной томографии, задачах электролиза, теории нейтронных звезд и др.

Задачи Римана Гильберта, возникающие в связи с приложениями, как правило, приходится решать в сложных областях. Для их свед к ения задаче в канонической области, где решение выписывается явно, необходимо строить соответствующее конформное отображение. Его построение представляет собой самостоятельную трудную задачу. Даже в случае многоугольника, когда для отображения есть явное представление (в виде интеграла Кристоффеля Шварца), возникает проблема отыскания неизвестных прообразов вершин, фигурирующих в этом интеграле.

Эта проблема значительно усложняется в типичной для приложений ситуации, когда прообразы вершин расположены крайне неравномерно и некоторые из них очень близко друг к другу (что называют кроудингом). Проблема параметров в ситуации кроудинга является весьма актуальной и привлекает большое внимание исследователей; она нашла отражение, например, в работах R. Menikoff и C. Zemach (1980), L.N. Trefethen (1980, 1993), B.C. Krikeles и R.L. Rubin (1988), L.N. Howel и L.N. Trefethen (1990), P. Henrici (1991), T.A. Driscoll (1996), L.N. Trefethen и T.A. Driscoll (1998, 2005), Отметим, что в приложениях (в механике, физике плазмы и др.) нередко возникает важный частный случай задачи (1) в сложной области, когда коэффициенты a, b и c кусочно–постоянны, а в точках их разрыва предписываются условия роста решения. Заметим, что условие (1) при постоянных a, b и c представляет собой уравнение прямой на плоскости w = u + iv. Такое наблюдение подсказывает, что решение задачи Римана Гильберта с кусочно–постоянными коэффициентами может быть интерпретировано геометрически как конформное отображение исходной области на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник.

Возможность такой интерпретации неявным образом была указана Риманом (1851). Отметим, что реализацией этой интерпретации в случае задачи Римана Гильберта (с кусочно–постоянными коэффициентами) в полуплоскости было бы представление решения в виде интеграла Кристоффеля Шварца.

Целью диссертационной работы является:

1) исследование разрешимости задачи Римана Гильберта в полуплоскости с кусочно–гльдеровыми коэффициентами и условиями роста в точках разрыва (сингулярной задачи Римана Гильберта);

2) получение для функции Аппеля F1 (обобщения гипергеометрической функции Гаусса F ) формулы, являющейся аналогом формулы Якоби для F и дающей выражение для производной от произведения F1 на некоторые биномы в виде произведения (других) биномов и линейной функции;

3) вывод при помощи найденной формулы типа Якоби для функции F1 нового представления в виде интеграла Кристоффеля Шварца для решения задачи Римана Гильберта в полуплоскости с кусочно– постоянными коэффициентами a, b и c, имеющими три точки разрыва;

4) решение сингулярной задачи Римана Гильберта в сложной области (внешности десятиугольника), возникающей при моделировании явления магнитного пересоединения в плазме;

5) построение конформного отображения указанной в п. 4 многоугольной области на каноническую, включающее решение проблемы параметров для интеграла Кристоффеля Шварца и его обращение в аналитическом виде.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) на основе классических подходов Ф.Д. Гахова и Н.И. Мусхелишвили исследована разрешимость сингулярной задачи Римана Гильберта в полуплоскости с кусочно– гльдеровыми коэффициентами; решение задачи выписано через интегралы типа Коши;

2) получена указанная в п. 2 целей работы формула типа Якоби для функции Аппеля F1;

3) с помощью этой формулы решение сингулярной задачи Римана Гильберта в полуплоскости с кусочно–постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, преобразовано к виду интеграла Кристоффеля Шварца; такое представление дает геометрическую интерпретацию решения задачи как конформного отображение полуплоскости на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник и доставляет удобный аппарат для его вычисления;

4) решена сингулярная задача Римана Гильберта с кусочно–постоянными коэффициентами во внешности десятиугольника, возникающая при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме;

проведена численная реализация решения и представлена динамика картины магнитного поля вблизи токовой конфигурации в зависимости от параметров модели; найдены формулы для физически значимых характеристик поля;

5) построено необходимое для решения задачи, указанной в п. 4, конформное отображение исходной многоугольной области на полуплоскость;

при этом решена проблема параметров для обратного отображения, представляемого интегралом Кристоффеля Шварца, с использованием найденных асимптотик для неизвестных параметров этого интеграла;

интеграл Кристоффеля Шварца обращен в аналитическом виде.

Приемы, использованные в п. 5 для построения конформного отображения, допускают обобщение на широкий класс многоугольных областей.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области математической физики и ее приложений. Они могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН (рук. А.А.Абрамов, Б.В.Пальцев, Ю.Д.Шмыглевский), Института прикладной математики им. М.В.Келдыша (рук. А.В.Забродин), Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга при МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. Б.В.Сомов), Белгородского госуниверситета (рук. А.П.Солдатов), а также на международной конференции "International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110th Anniversary of Stephan Banach" (Украина, Львов, 2002), на международной конференции "Функциональные пространства.

Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 80–летию Л.Д.Кудрявцева (Москва, 2003), на Крымской осенней математической школе–симпозиуме (Украина, Севастополь, 2004, 2005), на международной конференции "Computational Methods and Function Theory" (Finland, Joensuu, 2005), на международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2006), на международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006) и на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ; их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 164 страницы, включая 18 рисунков и одну таблицу. Список литературы содержит наименование.

Обзор содержания диссертации Во введении к диссертации отмечена актуальность тематики, указаны цели работы и кратко изложено ее содержание. Кроме того, приведен список обозначений, дано определение одного специального класса односвязных областей, а также изложены некоторые сведения о сходимости конформного отображения последовательности областей.

Первая глава посвящена сингулярной задаче Римана Гильберта в полуплоскости. Основными результатами главы являются: 1) установленная разрешимость сингулярной задачи Римана Гильберта с кусочно–г ельдеровыми коэффициентами и полученное представление ее решения через интегралы типа Коши; 2) найденная формула типа Якоби для функции Аппеля и выведенное на ее основе представление в виде интеграла Кристоффеля Шварца для решения сингулярной задачи Римана Гильберта в полуплоскости с кусочно–постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва.

Параграф 1 главы I содержит вводный материал о задаче Римана Гильберта в односвязной области и методах ее решения. Отмечено, что в настоящей работе используется подход, основанный на использовании конформного отображения для перехода к аналогичной задаче Римана Гильберта в канонической области с последующим сведением к задаче сопряжения, решение которой строится через интегралы типа Коши.

В связи с этим даны краткие сведения об отображении прямолинейных многоугольников при помощи интеграла Кристоффеля Шварца и круговых многоугольников на основе уравнения Шварца, а также о приближенных методах конформного отображения типа метода Теодорсона Гаррика и вариационных методах.

В параграфе 2 главы I изложены используемые в дальнейшем св едения из теории гипергеометрической функции Гаусса F (a, b; c; z) и ее обобщения функции Аппеля F1(a1, a2, b; c; z1, z2). Отмечено, что функция F (a, b; c; z) представима в виде следующего ряда, называемого гипергеометрическим:

(a)k (b)k (a + k) F (a, b; c; z) = zk, |z| < 1, (a)k :=, (2) (c)k k! (a) k=и для нее справедливо интегральное представление Эйлера (c) tb-1 (1 - t)c-b-F (a, b; c; z) = dt. (3) (b) (c - b) (1 - t z)a Приведены также формулы аналитического продолжения гипергеометрической функции в окрестности особых точек z = 1 и z =.

В формулах (2) и (3) фигурирует Гамма–функция (s); в формуле (3) предполагается, что Re c > Re b > 0.

Кроме того, в §2 получен ряд соотношений между ассоциированными гипергеометрическими функциями. Примером такого соотношения является следующее:

(c - 1) F (a, b - 1; c - 1; z) + (1 + a - c) F (a, b; c; z) + + a (z - 1) F (a + 1, b; c; z) = 0.

Эти соотношения затем использовались в §4 при выводе формулы типа Якоби для функции F1.

В §2 приведен также ряд для функции Аппеля F1(a1, a2, b; c; z1, z2), являющийся обобщением ряда (2) на случай двух комплексных переменных z1 и z2, а также следующее интегральное представление:

(c) tb-1 (1 - t)c-b-F1(a1, a2; b; c; z1, z2) = dt, (4) 1 (c - b) (b) (1 - z1 t)a (1 - z2 t)a обобщающее представление Эйлера (3).

Параграф 3 главы I посвящен сингулярной задаче Римана Гильберта в полуплоскости H+ := { : Im > 0}, = + i, с кусочно–г ельдеровыми коэффициентами и условиями роста решения в точках разрыва коэффициентов (предполагается, что коэффициенты задачи могут иметь разрыв и в бесконечно удаленной точке, а общее число точек разрыва конечно).

Заметим, что краевое условие (1) задачи Римана Гильберта можно переписать в виде Re (h F) = c, где h := a+ib, F = u+iv. В дальнейшем будем использовать краевое условие в этой форме, называя функции h и c коэффициентами рассматриваемой краевой задачи.

Перейдем к формулировке задачи Римана Гильберта в H+, приведенной в §3 главы I. Пусть заданные на R = H+ комплексная h() и вещественная c() функции являются кусочно–г ельдеровыми с разрывами первого рода в точках k, k = 0, K, (здесь 0 := ), причем h() отлична от нуля. На каждом из участков непрерывности выберем произвольным образом ветвь аргумента функции h() и обозначим через k деленные на скачки функции arg h() в точках разрыва:

arg h (k + 0) - arg h (k - 0) k :=, k = 1, K, (5) а для бесконечно удаленной точки полагаем arg h (+) - arg h (-) 0 :=. (6) Через k и k обозначим соответственно дробные и целые части величин k:

k := {k}, k := [k], k = 0, K. (7) Введем также обозначение для скачков функции g() := c()/h() c (k + 0) c (k - 0) k := -, k = 0, K. (8) h (k + 0) h (k - 0) Пусть, кроме того, no, n1,..., nK Z+ заданные неотрицательные целые числа.

Отдельно рассмотрим два случая:

I) когда соотношения nk = 0, k = 0, k = 0 одновременно не выпол няются ни при каком k = 0, K, т.е.

k = 0, K : nk = 0, k = 0, k = 0 ; (9) II) когда указанные соотношения одновременно выполняются хотя бы для одного k, т.е.

k = 0, K : nk = 0, k = 0, k = 0. (10) I) В предположении (9) сформулируем рассматриваемую в дальнейшем задачу Римана Гильберта: найти аналитическую в полуплоскости H+ и непрерывную в H+ \ {k} функцию P+(), т.е.

P+ H+ := A (H+) C H+ \ {k}, (11) удовлетворяющую на вещественной оси краевому условию Re h() P+() = c(), R \ {k}, (12) а в точках k условиям роста:

k O ( - k) - nk, если nk = 0;

P+() = k (k = 1, K), O(1), если nk = 0;

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.