WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

1) В первой главе введено обобщение автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, а также на пространстве присоединенной -структуры указанных многообразий подсчитаны их компоненты. По­ средством последнего удалось внутренним образом определить понятия контактно-авто­ дуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских почти кон­ тактных метрических многообразий. При этом, применяя построенную конструкцию к тензору Римана-Кристоффеля, естественным образом были определены понятия контакт­ но -автодуальных, контактно -антиавтодуальных и контактно-полуплоских почти кон­ тактных метрических многообразий.

2) Во второй главе изучена контактно-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. А именно, установлены аналитический критерий контактной автодуальности и признак контактной антиавтодуальности квази­ сасакиевых многообразий. С помощью указанного критерия контактной автодуальности был получен ряд результатов, касающихся сасакиевых и косимплектических многообра­ зий, важнейшими из которых являются полные классификации контактно-автодуальных сасакиевых и контактно-автодуальных косимплектических многообразий. Учитывая при­ знак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-антиавтодуально тогда и только то­ гда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что 5-мерное сасакиево много­ образие контактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообра­ зием Эйнштейна с космологической константой = 4. Кроме того, введя в рассмотрение псевдо-конформно-плоские многообразия, было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса псевдо-конформно-плоско тогда и только тогда, когда оно кон­ формно плоско; в качестве очевидных следствий последнего факта, было получено, что 5-мерные косимплектические и сасакиевы многообразия псевдо-конформно-плоски тогда и только тогда, когда они конформно плоски.

3) В третьей главе изучена контактно -автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. Именно, установлены аналитические кри­ терии контактной -автодуальности и контактной -антиавтодуальности квази-сасаки­ евых многообразий. С помощью критерия контактной -автодуальности квази-сасакие­ вых многообразий были получены полные классификации контактно -автодуальных са­ сакиевых и контактно -автодуальных косимплектических многообразий. С учетом же критерия контактной -антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было до­ казано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно -антиавтодуально то­ гда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что контактно -антиавтодуальных сасакиевых многообразий не существует. Далее, введя в рассмотре­ ние псевдоплоские многообразия, был получен аналитический критерий псевдоплоскости квази-сасакиева многообразия, т. е. было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многооб­ разие класса с нильпотентным характеристическим гомоморфизмом (т.е. 2 = 0) псевдоплоско тогда и только тогда, когда оно плоско. Также доказано, что 5-мерное саса­ киево многообразие не может быть псевдоплоским.

4) В четвертой главе исследованы контактно-автодуальная и контактно -автодуальная геометрии многообразий Кенмоцу. Получена полная классификация контактно-авто­ дуальных многообразий Кенмоцу и доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу кон­ тактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйн­ штейна с космологической константой = -4. Установлен критерий конформной псевдо­ плоскости многообразий Кенмоцу, утверждающий, что 5-мерное многообразие Кенмоцу псевдо-конформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско. В заклю­ чение, было доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу не может быть ни контактно -автодуальным, ни контактно -антиавтодуальным, а значит, не может быть и псевдо­ плоским многообразием.

Практическая и теоретическая значимости. Диссертационная работа носит тео­ ретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для даль­ нейшего изучения контактно-автодуальной геометрии подходящих многообразий, в соот­ ветствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики, а также для чтения спецкурсов, для написания курсовых, дипломных и диссертационных работ в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались и обсужда­ лись на научно-исследовательском семинаре по дифференциально-геометрическим струк­ турам на многообразиях кафедры геометрии (рук. д. ф.-м. н., проф. Кириченко В.Ф.) Московского Педагогического Государственного Университета (Россия, Москва, апрель 2009 г.), на V общероссийской научной конференции «Актуальные вопросы науки и об­ разования» (Россия, Москва, май 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Одессе – 2009» (Украина, Одесса, май 2009 г.), на международной научной конференции «Лаптевские чтения – 2009» (Россия, Москва-Тверь, август 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Астрахани – 2009» (Россия, Астрахань, сентябрь 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных рабо­ тах, из них 1 статья в рецензируемом журнале [1], рекомендованным ВАК РФ, 4 работы в виде тезисов докладов научных конференций [2–5] и 3 работы, депонированные в ВИ­ НИТИ РАН [6–8].

Структура и объем диссертации. Диссертационное исследование состоит из вве­ дения, 4 глав, включающих 17 параграфов, списка литературы и списка публикаций ав­ тора. Работа изложена на 94 страницах машинописного текста.

Краткое содержание диссертационной работы Введение содержит исторический обзор исследований по теме диссертации, а также обоснование ее актуальности. Здесь же сформулированы цель и основные задачи насто­ ящего исследования, новизна которого отражена в приведенных основных результатах работы. Далее, во введении указаны практическая и теоретическая значимости работы, ее апробация и публикации автора по теме исследования. Завершает введение краткое содержание диссертационного исследования.

Первая глава «Основные понятия», состоящая из 4 параграфов, посвящена раз­ работке основных понятий и аппарата теории контактно-конформно-полуплоских многооб­ разий, которая является обобщением классической автодуальной геометрии на 5-мерный случай.

В первом параграфе « Почти контактные метрические многообразия» излагаются хорошо известные понятия и факты контактной геометрии, которые используются в на­ стоящем исследовании по мере необходимости.

Во втором параграфе «Автодуальные и антиавтодуальные формы на почти кон­ тактных метрических многообразиях» разработано обобщение теории автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, на случай 5-мерных почти контактных метрических многооб­ разий, кульминацией которого явилось доказательство леммы, уточняющей компоненты рассматриваемых форм на пространстве присоединенной -структуры. Именно, в усло­ виях того, что (,,,, = ·, ·) – 5-мерное ориентированное почти контактное мет­ рическое многообразие, = id - = -2 – естественный проектор на контактное распределение = Im = Ker, 2( ) = +( ) -( ) – прямая сумма двуx 3-мерных подмодулей автодуальных 2-форм и антиавтодуальных 2-форм модуля 2( ), 2-форма * ( ) 2 ( ) – антиувлечение 2-формы 2 ( ) при отображении, а -1 – мнимая единица поля комплексных чисел, было доказано, что если 2-форма 2 ( ), то в -репере:

1) + ( ) тогда и только тогда, когда для любых,, 0 0 0 0 + -1 -1 ( * ) = ;

- - -1 0 0 - - -1 0 0 - - 0 0 - -1 - + -1 2) - ( ) тогда и только тогда, когда для любых,, 0 0 0 0 0 -1 + - ( * ) =.

0 0 - + -1 - - - -1 - -1 0 0 - - -1 -1 0 Заметим, что здесь и далее индексы,,,,, пробегают значения от 1 до 2, где, например, = + 2; а индексы,,, – значения от 0 до 4, то есть 0, 1, 2, 1, 2. Кроме того, условимся, что индексы,,, пробегают значения 1, 2, 1, 2.

В третьем параграфе «Контакт но -конформно-полуплоские почти контактные мет­ рические многообразия» внутренним образом вводятся в рассмотрение контактно-конформно-полуплоские почти контактные метрические многообразия. Заметив, что тензор Вей­ ля можно рассматривать как эндоморфизм модуля 2 ( ), и что эндоморфизм внутрен­ ним образом определяет эндоморфизм модуля 2 ( ), задаваемый одной из трех экви­ валентных формул: 1) = * *, 2) ( ) = ( * ) |, 3) ( ) = ( * ), где – естественное вложение ( ), а ( * ) | – сужение 2-формы ( * ) 2 ( ) на, были сформулированы определения контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуаль­ ных и контактно-конформно-полуплоских почти контактных метрических многообразий.

А именно, 5-мерное почти контактное метрическое многообразие было названо контактно­ автодуальным (короче, -автодуальным ) многообразие м, если ( ) = 0 для любых 2-форм - ( ). Аналогично, 5-мерное почти контактное метрическое многообразие было на­ звано контактно-антиавтодуальным (короче, -антиавтодуальным ) многообразием, ес­ ли ( ) = 0 для любых 2-форм + ( ). И наконец, контактно-автодуальное либо контактно-антиавтодуальное почти контактное метрическое многообразие было названо контактно-конформно-полуплоским (короче, -конформно-полуплоским ) многообразием.

В четвертом параграфе «Контактно-полуплоские почти контактные метриче­ ские многообразия» были определены понятия контактно -автодуальных (короче, -автодуальных), контактно -антиавтодуальных (короче, -антиавтодуальных) и контактно­ полуплоских (короче, -полуплоских) почти контактных метрических многообразий, пу­ тем применения формализма, разработанного для тензора Вейля, к тензору Римана-Кри­ стоффеля.

Вторая глава «Контактно-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, ко­ симплектических и сасакиевых многообразий», состоящая из 5 параграфов, посвя­ щена изучению контактно-конформно-полуплоских многообразий указанных (в названии главы) типов.

В первом параграфе «Пятимерные квази-сасакиевы многообразия» приводятся неко­ торые известные факты и определение квази-сасакиевых многообразий, а также ряд их примеров и полная группа структурных уравнений. Кроме этого, на пространстве присо­ единенной -структуры указанных многообразий вычислены существенные компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и тензора Вейля, а также указана формула, по которой подсчитывается скалярная кривизна квази-сасакиевых многообразий.

Второй парагра ф «Геометрия контактно-конформно-полуплоских квази-сасакиевых многообразий» состоит из двух пунктов; в первом пункте «Контактно-автодуальные квази­ сасакиевы многообразия», учитывая выше указанную лемму, доказан аналитический кри­ терий контактной автодуальности квази-сасакиевых многообразий, утверждающий, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, ко­ гда на пространстве присоединенной -структуры = 2 + + - + - + 1 + - - +, 2 3 где = +, { } – набор компонент комплексного тензорного поля типа (1,1) на квази-сасакиевом многообразии, которое называется структурным тензором первого рода, а – система функций, определяющая тензорное поле типа (2,2), называемое структурным тензором второго рода или тензором голоморфной секцион­ ной кривизны квази-сасакиева многообразия ; во втором пункте «Контактно-антиав­ тодуальные квази-сасакиевы многообразия» второго параграфа доказан признак контакт­ ной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, заключающийся в том, что ес­ ли 5-мерное квази-сасакиево многообразие контактно-антиавтодуально, то его скалярная кривизна на пространстве присоединенной -структуры вычисляется по формуле вида:

= 2 - 6.

Третий параграф «Геометрия ко нтактно-ко н формно-полуплоских косимплектиче­ ских многообразий» начинается с того, что в первом пункте «Контактно-автодуальные косимплектические многообразия» приводятся известное определение косимплектических многообразий и их примеры, а также указаны формула, по которой подсчитывается ска­ лярная кривизна 5-мерных косимплектических многообразий, и существенные компо­ ненты классических тензоров. В рамках этого же пункта был доказан аналитический кри­ терий контактной автодуальности косимплектических многообразий, утверждающий, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной -структуры = -12, где = +.

C учетом последнего факта, выяснилось, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием глобаль­ но постоянной -голоморфной секционной кривизны; и наконец, с учетом полученных результатов, был сделан окончательный вывод, представляющий собой полную класси­ фикацию контактно-автодуальных косимплектических многообразий. Именно, 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий, снабженному канонической 2 2 2 косимплектической структурой: 1) 2; 2) ; 3) (где 2,, – ком­ плексное евклидово, комплексное проективное и комплексное гиперболическое 2-мерные пространства, соответственно). Во втором пункте «Контактно-антиавтодуальные косим­ плектические многообразия» был установлен интересный критерий контактной-антиавто­ дуальности косимплектических многообразий: 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским мно­ гообразием.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»