WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи

Аристархова Анна Вячеславовна КОНТАКТНО-АВТОДУАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ Специальность 01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань – 2009

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО ВАДИМ ФЕДОРОВИЧ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент ТОЛСТИХИНА ГАЛИНА АРКАДЬЕВНА кандидат физико-математических наук, доцент ЛИПАГИНА ЛАРИСА ВЛАДИМИРОВНА

Ведущая организация: Чувашский государственный педагогический универси­ тет им. И.Я. Яковлева

Защита состоится 17 декабря в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного со­ вета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: Россия, 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 27 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е.К.

Общая характеристика диссертационной работы Актуальность работы. Настоящая работа, с одной стороны, посвящена 5-мерным многообразиям, снабженным почти контактной метрической структурой. Теория же струк­ тур, указанного типа, занимает видное место в ряду дифференциально-геометрических структур, изучаемых на данный момент, в силу приложений к современной математиче­ ской физике (например, к классической механике, к теории геометрического квантования и др.), а также в силу богатства геометрического содержания самой этой теории и ее свя­ зей с другими разделами современной геометрии (например, с теорией гиперповерхностей римановых многообразий). Более полувека не иссякает интерес ученых и просто исследова­ телей к теории многообразий, наделенных почти контактными (метрическими) структура­ ми, которые являются естественным обобщением контактных (метрических) структур. В самом деле, основополагающими для данной теории явились работы С. Чженя, Дж. Грея, В. Бутби, Х. Вана и С. Сасаки, появившиеся в 50-ые годы XX века; впоследствии, ис­ следования в этом направлении были представлены многочисленными и разнообразными (в методах, подходах и результатах) работами, которые объединяет лишь то, что изуче­ нию преимущественно подвергались исключительно некоторые классы почти контактных метрических и контактных многообразий, несмотря, например, на практически необозри­ мую классификацию первых. Так, наиболее изученными, а также интересными (с точки зрения дальнейшего повествования) являются такие подклассы почти контактных метри­ ческих многообразий, как квази-сасакиевы, косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу.

Класс квази-сасакиевых многообразий был введен в рассмотрение Д. Блэром, а, впо­ следствии, изучался с различных точек зрения многими авторами. Так, к примеру, Блэр установил, что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, что вектор является вектором Киллинга и что с точностью до гомотетии квази-сасакиево много­ образие постоянной кривизны является сасакиевым или косимплектическим; он же на­ шел условия, при которых квази-сасакиево многообразие является прямым произведени­ ем сасакиева и келерова многообразий. В свою очередь, Канемаки, доказал некоторые достаточные условия по поводу того, когда квази-сасакиево многообразие имеет указан­ ное строение локально. Позже наиболее полное описание упомянутого вопроса было да­ но Кириченко В.Ф. и Рустановым А.Р. в терминах дополнительных свойств симметрии тензора римановой кривизны квази-сасакиевых многообразий; они же выделили несколь­ ко интересных классов квази-сасакиевых многообразий и изучили их, используя полную группу структурных уравнений квази-сасакиевых многообразий. Подробно был исследо­ ван так называемый класс квази-сасакиевых многообразий, исчерпывающее описание локального строения которых также дали Кириченко В.Ф. и Рустанов А.Р., приведя к то­ му же полные классификации квази-сасакиевых многообразий класса постоянной -голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий данного класса, удовлетворяющих аксиоме -голоморфных (2 +1)-плоскостей, что существенно обобщило известные результаты Танно, касающиеся классификации сасакиевых пространственных форм, а также углубило результаты Огиуэ и Исихары, касающиеся почти контактных метрических многообразий, в частности многообразий Сасаки, удовлетворяющих аксиоме -голоморфных (2 + 1)-плоскостей.

Рассмотрение класса квази-сасакиевых многообразий в настоящей работе обуслов­ лено тем, что он включает в себя два наиболее изученных класса почти контактных метрических многообразий – класса косимплектических и класса сасакиевых многообра­ зий, которые в эрмитовой геометрии являются контактными аналогами келеровых мно­ гообразий. При этом, известно, что косимплектические и сасакиевы структуры, характе­ ризующиеся для любых гладких векторных полей и тождествами () = 0 и () =, - ( ) (где – риманова связность метрики = ·, ·, a – струк­ турный эндоморфизм), соответственно, являются «граничными» подклассами квази-саса­ киевых структур. В действительности последнее объясняется совершенно естественным образом, так как для косимплектических структур rang = 1 (т.е. = 0), а для сасакие­ вых – rang = 2 + 1 (т.е. ( ) = 0), где – контактная форма на соответствующем 2 +многообразии.

В 1971 году Кенмоцу ввел в рассмотрение новый класс почти контактных метриче­ ских структур, характеризуемых для любых гладких векторных полей и тождеством () =, - ( ), формально похожим на определяющее тождество саса­ киевых структур, но фактически характеризующим структуры (в определенном смысле) противоположные сасакиевым. Впоследствии, такие почти контактные метрические струк­ туры были названы структурами Кенмоцу. Отметим, что Кенмоцу изучил замечательные свойства введенных им структур и привел их примеры. Позднее Синха и Шриваштава изучали многообразия Кенмоцу постоянной -голоморфной секционной кривизны, а Ко­ баяши М. определил свойства контактных нормальных подмногообразий и контактных родовых нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу. Исчерпывающее описа­ ние многообразий, наделенных структурой Кенмоцу, дал Кириченко В.Ф.; он не только исследовал локальное строение указанных многообразий, тем самым приведя их изящный пример (используя теорию локально конформных преобразований), но и получил полную классификацию данных многообразий точечно постоянной -голоморфной секционной кривизны, указав случай глобального постоянства этой кривизны на рассматриваемых многообразиях.

Наконец, с другой стороны, настоящая работа посвящена изучению обобщения тако­ го понятия, как автодуальность, определенного, в принципе, на 4-мерных ориентирован­ ных римановых многообразиях, наделенных рядом особенностей. Отметим, что, с точки зрения римановой геометрии, размерность 4 – первая (в сравнении с размерностями 2 и 3), в которой тензор кривизны, являющийся тензором валентности четыре, не определя­ ется ни скалярной кривизной (как при = 2), ни тензором Риччи (как при 3). К тому же, группа (4, ) является единственной неполупростой группой (, ) (при 3), что приводит нас к важнейшей особенности 4-мерного ориентированного риманова многообразия, заключающейся в специфическом строении структурной группы глав­ ного расслоения ориентированных ортонормированных реперов над таким многообразием – группы Ли (4, ) = ( (2) (2))/2. Индуцированное действие этой группы на расслоении кососимметричных 2-форм над многообразием разлагает ( )-модуль 2( ) дифференциальных 2-форм на этом многообразии в прямую сумму двуx 3-мер­ ных подмодулей: 2( ) = +( ) -( ) – подмодулей автодуальных 2-форм и ан­ тиавтодуальных 2-форм, соответственно (здесь размерность модулей сечений понимается как размерность слоев соответствующих расслоений). На этой основе, с помощью тензора Вейля конформной кривизны, рассматриваемого как симметричный автоморфизм модуля 2( ), как известно, и строится теория конформно полуплоских многообразий, называе­ мая автодуальной геометрией.

Конформно полуплоские, т.е. автодуальные либо антиавтодуальные, (4-мерные) мно­ гообразия играют достаточно значимую роль в современной науке в силу связи их геомет­ рии с геометрией эйнштейновых многообразий (с которой, в свою очередь, связаны имена выдающихся геометров) и с твисторной геометрией (имеющей непосредственное прило­ жение в теории гравитации и в теории полей Янга-Миллса). Так, например, известная теорема Пенроуза-Атьи-Хитчина-Сингера утверждает, что каноническая почти комплекс­ ная структура пространства твисторов 4-мерного ориентированного риманова многообра­ зия интегрируема тогда и только тогда, когда это многообразие конформно полуплоско.

Хитчин доказал, что если к тому же указанное многообразие – компактное многообра­ 4 зие Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то оно изометрично либо со стандартными метриками. Кроме того, Хитчин доказал, что 4-мерное ориентированное компактное риманово многообразие имеет келерово пространство твисторов тогда и толь­ 4 ко тогда, когда это многообразие конформно эквивалентно либо с их стандартными конформными структурами. Чен, Бургиньон и Дердзински получили классификацию ком­ пактных автодуальных келеровых многообразий (интересно, что Чен, Бургиньон и Дерд­ зински получили указанный результат независимо друг от друга, используя совершенно разные методы), а Ито – классификацию автодуальных многообразий Келера-Эйнштейна и исчерпывающую характеристику компактных автодуальных келеровых многообразий.

Недавние исследования Арсеньевой О.Е. и Кириченко В.Ф. существенно обобщили и до­ полнили результаты Хитчина, Бургиньона, Дердзински, Чена, Ито, а также Коды. Так, Арсеньева О.Е. получила полную классификацию автодуальных обобщенных келеровых многообразий постоянной скалярной кривизны, а также доказала, что обобщенное келе­ рово многообразие антиавтодуально тогда и только тогда, когда его скалярная кривизна равна нулю. Совместная же работа Арсеньевой О.Е. и Кириченко В.Ф. «Автодуальная геометрия эрмитовых поверхностей» содержит ряд красивых и неожиданных результатов, касающихся геометрии конформно полуплоских эрмитовых поверхностей (т.е. 4-мерных почти эрмитовых многообразий со знакоопределенной метрикой и интегрируемой почти комплексной структурой) как классического, так и гиперболического типа (обобщенных эрмитовых поверхностей); там же приведена полная классификация компактных автоду­ альных эрмитовых -поверхностей, являющихся обобщенными многообразиями Хопфа, решающая проблему Чена в этом классе эрмитовых многообразий.

Таким образом, приведенный обзор исследований как некоторых классов почти кон­ тактных метрических многообразий, так и конформно полуплоских многообразий, ни в коей мере не претендующий на полноту, показывает насколько эти проблемы занимали и занимают умы геометров, продолжающих их активное изучение. Однако, до настоящего времени не были подняты вопросы, связанные с возможностью обобщения на 5-мерный случай понятий автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, играющих фундаментальную роль в 4-мерной римановой геометрии. В частности, не рассматривалась возможность обобщения понятий автодуальных и антиавтодуальных многообразий на случай 5-мер­ ных римановых многообразий, снабженных почти контактной структурой (согласованной с метрикой); также не высказывалась идея рассмотрения теории, основанной на замене тензора Вейля на тензор Римана-Кристоффеля в рамках автодуальной геометрии, обоб­ щенной на 5-мерный случай. К сказанному хочется добавить еще и то, что выдающийся ученый А.Л. Бессе (во введении книги «Четырехмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе. 1978/79» под его редакцией) заметил: «Когда инерция мышления подтал­ кивает меня перейти к исследованиям в размерности 5, мой внутренний голос протестует.

Я склонен с ним согласиться».

В настоящей же работе подробно исследуются указанные проблемы; а именно, в данной работе известная конструкция конформно полуплоских (4-мерных) многообразий распространяется на 5-мерные римановы многообразия, снабженные почти контактной метрической структурой, а следовательно, и 4-мерным гиперраспределением. На этой ос­ нове, с помощью тензора Вейля, вводится в рассмотрение контактный аналог конформно полуплоских многооборазий. Построенная таким образом конструкция оказалась богатой геометрическим содержанием, что было продемонстрировано на примере квази-сасакие­ вых, косимплектических и сасакиевых многообразий, а также на примере многообразий Кенмоцу. Более того, разработанный в работе формализм для тензора Вейля был приме­ нен к тензору Римана-Кристоффеля, что позволило получить ряд интересных результа­ тов, касающихся указанных многообразий.

Цель диссертационной работы заключается в построении теории контактно-кон­ формно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) по­ чти контактных метрических многообразий, называемой в дальнейшем контактно-автоду­ альной геометрией, и в изучении контактно-автодуальной геометрии некоторых классов 5-мерных почти контактных метрических многообразий. При этом, основными задача­ ми исследования являются следующие:

1) Обобщение концепции автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мер­ ных почти контактных метрических многообразий, а также определение внутренним об­ разом понятий контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-кон­ формно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) по­ чти контактных метрических многообразий.

2) Изучение контактно-автодуальной геометрии квази-сасакиевых, косимплектиче­ ских, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.

3) Определение естественным образом понятий контактно -автодуальных, контакт­ но -антиавтодуальных и контактно-полуплоских (т.е. контактно -автодуальных либо контактно -антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий, путем за­ мены тензора Вейля на тензор Римана-Кристоффеля в рамках разработанного фор­ мализма для тензора.

4) Изучение контактно -автодуальной геометрии квази-сасакиевых, косимплекти­ ческих, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.

5) Определение понятий псевдо-конформно-плоских и псевдоплоских почти контакт­ ных метрических многообразий, а также их изучение на примере квази-сасакиевых, ко­ симплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

Научная новизна. Основные результаты настоящего диссертационного исследова­ ния являются новыми. Выделим важнейшие из них.

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»