WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Согласно [17], три-ткань W называется A-тканью, если каждая ее координатная лупа (a, b) является A-лупой. Это означает, что в лу-пе (a, b) операторы = L-1 Lx Ly, rx,y = Rx Rx Rxy и x,y xy -mx,y = L-1 Ry Lx Ry являются автоморфизмами (здесь Lx и Rx x операторы левого и правого сдвигов в лупе соответственно). Три-ткань W называется сопряженно замкнутой, если всякая ее координатная лупа является сопряженно замкнутой лупой, то есть композиции ле-вых и правых сдвигов в лупе вида Lx Ly L-1, Rx Ry Rx являются x левым и правым сдвигами соответственно.

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.6. Три-ткань W4 является A-тканью.

Теорема 2.7. Три-ткань W4 является сопряженно замкнутой тканью.

Третья глава посвящена специальным классам три-тканей с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения.

В первом параграфе рассматриваются ткани W с тензором кривизны минимального ранга, то есть с тензором кривизны следующего строения: bi = µibjckd. Для такого тензора в силу его симметричноjk сти по нижним индексам получаем:

bi = µibjbkb. (0.3) jk Доказана Теорема 3.2. Структурные уравнения три-ткани W с тензором кривизны минимального ранга, компоненты тензора кривизны которой имеют специальное строение (0.3), могут быть приведены к следующему виду:

i d1 = 0, d i = 1 1 + 2a i 1 k + c i k j k, 1 k j 1 1 1 1 1 1 i d1 = 0, d i = 1 1 - 2a i 1 k - c i k j k, 1 k j 2 2 2 2 2 2 j i d 1 = c i1 1, da i = c i k1, i, j, k = 2, r, 1 k j 1 причем c i k, c j – постоянные и выполняются соотношения c i kc j = 0.

j j Ткани W с тензором кривизны минимального ранга, для которых c i k = 0, мы назвали специальными тканями W. Показано, что струкj турные уравнения таких тканей приводятся к следующему виду:

d1 = 0, d1 = 0, 1 i d i = 1 1 + c i 1 k, 1 k 1 1 1 (0.4) i d i = 1 1 - c i 1 k, 1 k 2 2 2 i d 1 = c i1 1.

1 Доказано, что специальные ткани W определены на однородном пространстве M = G/H, dimG = 3r - 1, dimH = r - 1, причем H является абелевой группой.

В первом параграфе третьей главы найдены также конечные уравнения для двух типов специальных многомерных три-тканей. Во-первых, рассмотрены ткани, для которых матрица c i имеет диагональный 1 k вид, то есть c i i = 0, а все остальные элементы равны нулю. Для таких тканей записаны структурные уравнения и доказана Теорема 3.3. В некоторых локальных координатах уравнения спе циальной три-ткани W с диагональной матрицей c i i приводятся к следующему виду:

i 1 z1 = x1 + y1, z i = ec1 iy x i + y i - (x1)3 + (x1)2y1.

6 Семейство таких тканей зависит от r - 1 постоянных c i i.

Во-вторых, рассмотрены специальные ткани, для которых матрица c i имеет вид:

1 k 1 0... 0 1.... (0.5)...............

0 0 0...

Доказана Теорема 3.4. В некоторых локальных координатах уравнения спе циальной ткани W с матрицей (0.5) приводятся к следующему виду:

z1 = x1 + y1, (x1)z2 = x2 + y2 - c2 y1, 2! (x1)2 2(x1)z3 = x3 + y3 - y2x1 - c3 - c2 y1, 2! 3! (x1)2 (x1)2 2(x1)3 3(x1)z4 = x4 + y4 - y3x1 + y2 - c4 - c3 + c2 y1, 2! 2! 3! 4!...

(x1)2 (x1)r-zr = xr + yr - yr-1x1 + yr-2 -... + (-1)r-2y2 2! (r - 2)! (x1)2 2(x1)3 (r - 1)(x1)r - cr - cr-1 +... + (-1)r-2c2 y1.

2! 3! r! Семейство таких тканей задается набором r - 2 постоянных ca.

Во втором параграфе рассматриваются изоклинные три-ткани с ко вариантно постоянными основными тензорами (ткани W0 ). Напомним [6], что изоклинные ткани характеризуются специальным строением тензора кручения:

i i ai = (kaj - jak).

jk Используя этот факт, мы доказываем следующее утверждение.

Теорема 3.5. Тензор кривизны изоклинной три-ткани W0 является тензором минимального ранга.

Как и в первом параграфе, мы специализируем репер ткани W0 и находим ее структурные уравнения. Доказана Теорема 3.6. Изоклинные ткани с ковариантно-постоянными тен зорами кривизны и кручения (ткани W0 ) существуют. Этот класс тканей допускает такое семейство адаптированных реперов, в которых тензор b имеет вид b i = µi, причем величины µi являются постоянными, а все остальные компоненты равны нулю. Структурные уравнения ткани W0 приводятся к следующему виду:

d1 = 0, d1 = 0, 1 i d i = 1 1 + 1 i, 1 1 1 i d i = 1 1 - 1 i, 2 2 2 i d 1 = µ i1 1, 1 Путем интегрирования структурных уравнений ткани W0 найдены ее уравнения в некоторых локальных координатах (Теорема 3.7):

z1 = x1 + y1, z i = ey (x i + y i + x1y1). (0.6) В этом же параграфе отмечен следующий факт: несмотря на то, что для ткани W0 выполняются тензорные соотношения Am : ci kj + cijmk = 0, (0.7) 1m характеризующие четвертую дифференциальную окрестность Am-ткани [17], эта ткань не является Am-тканью. А именно, используя уравнения ткани W0 (0.6), мы показываем, что оператор mx,y (см. выше) не явля ется автоморфизмом в координатной лупе ткани W0. Таким образом, доказана Теорема 3.8. Тензорные соотношения (0.7), характеризующие дифференциальную окрестность четвертого порядка Am-тканей, не являются достаточными для того, чтобы произвольная три-ткань была Am-тканью.

Список литературы [1] Акивис, М.А. О три-тканях многомерных поверхностей/ М.А.

Акивис// Тр.геом.сем. ВИНИТИ АН СССР. 1969. Т. 2. С. 7–31.

[2] Акивис, М.А. Дифференциальная геометрия тканей/ М.А. Акивис// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом. 1983. Т. 15.

С. 187–213.

[3] Akivis, М.А. Algebraic aspects of web geometry/ M.A. Akivis, V.V.

Goldberg// Comment. Math. Univ. Carolin. 41(2). 2000. p. 205-236.

[4] Akivis, М.А. Differential geometry of web, Chapter 1 in Handbook of Differential Geometry/ M.A. Akivis, V.V. Goldberg// Elsevier Science B.V. 2000. p. 1-152.

[5] Акивис, М.А. Основы теории тканей/ М.А. Акивис, А.М. Шелехов// Калинин. 1981. 88 с.

[6] Akivis, М.А. Algebra and Geometry of Multidimensional ThreeWebs/ М.А. Akivis, А.М. Shelekhov// Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/ Boston/ London. 1992. xvii+358 pp.

[7] Бляшке, В. Введение в геометрию тканей/ В. Бляшке// М.: ГИФМЛ.

1959. 144 С.

[8] Васильев, А.М. Теория дифференциально-геометрических структур/ А.М. Васильев// М.: Изд-во МГУ. 1987. 190 С.

[9] Лаптев, Г.Ф. Основные инфинитизимальные структуры высших порядков на гладком многобразии/ Г.Ф. Лаптев// Труды геометрического семинара. М. Т. 1. 1966. с. 139-189.

[10] Мубаракзянов, Г.М. Классификация вещественных пятимерных алгебр Ли/ Г.М. Мубаракзянов// Изв. вузов. № 3. 1963.

[11] Нестеров, А.И. Квазигрупповые идеи в физике/ А.И. Нестеров// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики. Тарту. 1990. Т. 66. С. 107–120.

[12] Толстихина, Г.А. О четырехмерных тканях с симметричным тензором кривизны/ Г.А. Толстихина// Ткани и квазигруппы. Калинин.

1981. С. 12–22.

[13] Толстихина, Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей/ Г.А. Толстихина// Современная математика и ее приложения. Т. 32(2005). С. 29-116.

[14] Фиников, С.П. Метод внешних форм Картана/ С.П. Фиников// М. 1947.

[15] Черн, С.С. (Chern S.S.) Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r/ С.С. Черн// Abh. Math.

Sem. Univ. Hamburg. 11(1,2). 1936. P. 333–358. (Zbl. 13., p. 418.) [16] Шелехов, А.М. Дифференциально-геометрические объекты высших порядков многомерной три-ткани/ А.М. Шелехов// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом. 1987. Т. 19. С. 101–154.

[17] Шелехов, А.М. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания/ А.М. Шелехов// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом. 1989. Т. 21. С. 109–154.

[18] Шелехов, А.М. О три-тканях с симметричным тензором кривизны/ А.М. Шелехов// Сиб. мат. ж. 1981. С. 210–219.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Пиджакова, Л.М. On properties of four-dimensional torsion-free three-webs with covariantly constant curvature tensor/ Л.М. Пиджакова, А.М. Шелехов// Webs and Quasigroups. Tver. 2000. С. 77-84.

[2] Пиджакова, Л.М. Об одном классе изоклинных три-тканей/ Л.М.

Пиджакова// Изв. вузов. Математика. №11. 2008. С. 60-67.

[3] Пиджакова, Л.М. Редуктивная структура, связанная с тканью W / Л.М. Пиджакова// Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе-2008". Одесса, с 19 мая по 24 мая 2008. С.

114.

[4] Шелехов, А.М. A remark on A-webs/ А.М. Шелехов, Л.М. Пиджакова// Webs and Quasigroups. Tver. 1998-1999. С. 71-75.

[5] Шелехов, А.М. On three-webs with covariantly constant torsion and curvature tensors/А.М. Шелехов, Л.М. Пиджакова // Webs and Quasigroups. Tver. 1998-1999. С. 92-103.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»