WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Пиджакова Любовь Михайловна ТРИ-ТКАНИ С КОВАРИАНТНО ПОСТОЯННЫМИ ТЕНЗОРАМИ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ 01.01.04 геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2009

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Шелехов Александр Михайлович Научный консультант: доктор физико-математических наук, Толстихина Галина Аркадьевна Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация: Чувашский государственный университет

Защита состоится 8 октября 2009 года в 14ч. 30мин. на заседании Диссертационного совета Д 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. Н.И.

Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина г.Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент Липачев Е.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория три-тканей сравнительно молодой раздел дифференциальной геометрии. Впервые три-ткани начали изучать в 1926-1928 годах участники гамбургского геометрического семинара под руководством известного математика 20 века Вильгельма Бляшке. Они определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество. Результаты этих исследований были опубликованы в [7], библиографию см. в [6]. В 1936 году появилась работа Черна [15], в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает геометрию многомерных три-тканей, образованных тремя семействами r-мерных поверхностей в 2r-мерном пространстве.

Следующий этап в исследовании многомерных три-тканей связан с развитием метода внешних форм в работах С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, А.В. Васильева и других российских математиков [8], [9], [14]. В году была опубликована работа М.А. Акивиса [1], в которой записаны структурные уравнения многомерной три-ткани и определены важнейшие специальные классы тканей. Далее последовала серия работ по теории тканей как самого М.А. Акивиса, так и его коллег и учеников:

В.В. Гольдберга, А.М. Шелехова, А.Д. Иванова, Г.А. Клековкина, В.В.

Тимошенко, В.С. Болодурина, Г.А. Толстихиной и многих других. К настоящему времени в данной области получен целый ряд фундаментальных результатов, которые отражены в обзорах и монографиях [2] – [6], [13], [16], [17].

Основные исследования ведутся по трем направлениям:

1) изучение специальных классов тканей, определяемых специальными соотношениями на тензоры кривизны и кручения;

2) исследование дифференциально-геометрических структур и аффинных связностей, определяемых тканями;

3) изучение локальных свойств тканей с помощью ее локальных координатных луп.

Одной из основных проблем теории тканей является проблема классификации. Каждый класс тканей характеризуется особым типом канонически присоединенной к ткани аффинной связности (связности Черна) [6]. В терминах связности Черна были даны тензорные характеристики известных тканей: трансверсально-геодезических, изоклинных, Томсена (T ), Рейдемейстера (R), Бола (B), Муфанг (M), шестиугольных (H) и других.

Исследование специальных классов тканей, один из которых рассмотрен в диссертации, имеет важное прикладное значение. Так, физические приложения теории тканей связаны с тем обстоятельством, что три-ткань представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативной. Возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности и др.) проанализированы, в частности, в [11]. Оказывается, что практически все возникающие в физике структуры, связанные с квазигруппами и лупами, в определенном смысле близки к группам Ли. Поэтому представляет интерес изучение тканей, наиболее близких по своим свойствам к групповым. Такими являются и рассматриваемые три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения. Таким образом, тема исследования является актуальной.

Цель диссертационной работы. В настоящей работе рассматриваются три-ткани на 2r-мерном дифференцируемом многообразии, тензоры кривизны и кручения которых ковариантно постоянны в связ ности Черна. Такие ткани мы обозначаем W. Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойств три-тканей W.

Основные задачи исследования:

– найти общий вид структурных уравнений тканей W и характеризующие их тензорные соотношения;

– исследовать дифференциально-геометрические структуры, инду цируемые тканью W на многообразии M;

– найти структурные и конечные уравнения некоторых специальных многомерных тканей W ;

– описать основные свойства и исследовать геометрическое строение четырехмерных тканей W.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теорией связностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теорией групп Ли и т.д.), потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этих областях.

Большинство основных результатов в этой теории получены методом внешних форм и подвижного репера Картана. Этот метод используется и в настоящей работе. Рассмотрения имеют, в основном, локальный характер.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

Результаты, выносимые на защиту

:

1. Найдены структурные уравнения 2r-мерных тканей W и соотношения, связывающие компоненты тензоров кривизны и кручения таких тканей.

2. Доказано, что многообразие, несущее ткань W, является (ло кальным) однородным пространством, а ткань W G-тканью. Описана структура этого однородного пространства.

3. Найдены структурные и конечные уравнения единственной негруп повой четырехмерной ткани W, описаны ее алгебраические и геометрические свойства.

4. Найдены структурные и конечные уравнения единственной изо клинной ткани W.

5. Исследованы три-ткани W с тензором кривизны минимального ранга. Найдены уравнения некоторых специальных три-тканей W с тензором кривизны минимального ранга.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, являются теоретическими. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей и по некоторым разделам физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на геометрических семинарах кафедры функционального анализа и геометрии ТвГУ (рук. проф. А.М. Шелехов), кафедры геометрии МПГУ (рук. проф. В.Ф. Кириченко), на Международной конференции "Геометрия в Одессе-2008"(19–24 мая 2008 г., Одесса).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 104 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 27 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается общая характеристика работы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся основные результаты.

В первой главе излагаются сведения из теории многомерных тритканей, необходимые для дальнейшего изложения.

В первом параграфе приведено определение многомерной три-ткани, записаны ее структурные уравнения и соотношения, связывающие основные тензоры ткани.

Второй параграф посвящен известным специальным классам многомерных тканей, которые будут использованы в дальнейшем (изоклинные, изоклинно-геодезические, A-ткани, ткани с симметричным тензором кривизны). Здесь же приводятся тензорные условия, характеризующие эти классы три-тканей.

В третьем параграфе дано определение три-ткани W – основного объекта изучения в диссертационной работе. Так обозначены ткани, тензор кручения a = ai и тензор кривизны b = bi, i, j, k, = 1, r, jk jk которых ковариантно постоянны относительно канонической аффинной связности Черна: a = 0, b = 0.

Ткани W мы рассматриваем с точностью до локальных диффеоморфизмов на базах слоений ткани. Тройка таких преобразований называется изотопическим преобразованием или изотопией [5].

В третьем параграфе записаны тензорные соотношения, характеризующие рассматриваемый класс тканей. Доказана Теорема 1.8. Тензор кручения a = (ai ) три-ткани W удовлеjk творяет тождеству Якоби amkai ] = 0, ее тензор кривизны b = [j |m| = (bi ) симметричен по всем нижним индексам, и эти тензоры свяjk заны следующими соотношениями:

am bi - ai bm - ai bm = 0, jk mpq mk jpq jm kpq bm bi - bm bi = bm bi + bm bi, jk mpq jpq mk kpq jm pq jkm ai bm + ai bm = 0.

mk jpq jm kpq Отметим, что ткани с вполне симметричным тензором кривизны исследовались в [18], они обозначены Ts. Более подробно в работе [12] изучались четырехмерные ткани этого класса.

Полученные тензорные соотношения интерпретированы в терминах касательной W -алгебры ткани. Напомним [6], что в касательном пространстве Te единицы e всякой координатной лупы (x, y) три-ткани, связанной с точкой (x, y) многобразия M, несущего три-ткань W, можно ввести две операции – бинарную и тернарную:

[]i = ai (x, y)jk, ()i = bi (x, y)jk, jk jk,, Te. Эти операции называются соответственно коммутатором и ассоциатором и обозначаются A и B соответственно. Коммутатор и ассоциатор связаны обобщенным тождеством Якоби:

[[]] + [[]] + [[]] = () + () + () - () - () - (), и образуют вместе W -алгебру или алгебру Акивиса [6].

Таким образом, с тканью W связано расслоение W -алгебр, которое называется W -алгеброй ткани W. В дальнейшем для краткости будем писать ai вместо ai (x, y) и т.д., подразумевая, что все функjk jk ции рассматриваются в текущей точке (x, y) многообразия M, несущего три-ткань W.

Рассмотрим оператор b = b(, ) = bi (, ), определенный следуюj щим образом:

bi (, ) = bi k, j jk где, – произвольные векторы из Te. Доказаны следующие утверждения.

Предложение 1.1. Операторы вида b(, ) являются дифференцированиями бинарной алгебры A.

Предложение 1.2. Операторы b(, ) являются дифференцированиями тернарной алгебры B.

Следствие. Операторы вида b(, ) являются дифференцировани ями W -алгебры ткани W.

Предложение 1.3. Векторы a(, ) входят в правое ядро тернарной алгебры B.

Предложение 1.4. Область значений производной алгебры A входит в правое ядро тернарной алгебры B, определяемой тензором b.

В этом же параграфе проведена канонизация репера и доказана Теорема 1.10. Пусть A бинарная алгебра три-ткани W, A ее производная алгебра. Три-ткань W является групповой тканью, если dimA = r. Если dimA = < r, то ткань W является полупрямым произведением групповой подткани W размерности и фактор ткани W /W, которая является изоклинно-геодезической тканью с ковариантно постоянным тензором кривизны.

Напомним [6], что изоклинно-геодезическими называются три-ткани, для которых ai = 0.

jk В четвертом параграфе первой главы изучено строение многообра зия M, несущего три-ткань W. Как следует из определения ткани W, многобразие ткани является локальным редуктивным пространством специального вида, а связность Черна его канонической связностью. Мы находим соответствующую однородную структуру G/H, структурные уравнения группы Ли G и ее подгруппы H (Теорема 1.12.).

Далее доказана Теорема 1.13. Ткань W является G-тканью, определенной на однородном пространстве G/H.

(G-тканями называются ткани, которые допускают транзитивную группу автоморфизмов.) Во второй главе доказывается существование единственной негруп повой четырехмерной изоклинно-геодезической ткани W и рассмат риваются ее свойства. Такая три-ткань обозначена W4.

В 2.1 доказано, что адаптированные реперы ткани W4 можно выбрать так, что ее тензор кривизны будет иметь единственную ненулевую компоненту b2, которую можно привести к единице. Тогда струк турные уравнения четырехмерной ткани W4 запишутся в виде:

d1 = 0, d2 = 1 1, 1 1 d1 = 0, d2 = 1 1 (0.1) 2 2 d1 = 1 1.

1 Доказана Теорема 2.2. Существует единственная (с точностью до изо топии) негрупповая четырехмерная три-ткань W4 с ковариантно постоянным тензором кривизны и нулевым тензором кручения. Мно гообразие ткани W4 является однородным пространством G/H, где dimG = 5, dimH = 1. Уравнения ткани W4 приводятся к виду:

z1 = u1 + v1, z2 = u2 + v2 - v1(u1)2. (0.2) Здесь G некоторая пятимерная группа, структурные уравнения которой есть уравнения (0.1), H одномерная подгруппа группы G, определенная системой уравнений i = 0, i = 0.

1 Во втором параграфе найдены уравнения изоклинных поверхностей три-ткани W4 и уравнения конуса Сегре, образованного касательными плоскостями к изоклинным поверхностям в некоторой точке M0.

В третьем параграфе путем интегрирования структурных уравнений найдены конечные уравнения пятимерной группы G, определяю щей ткань W4 и уравнения инволютивного автоморфизма, определяющего симметрическую структуру. Записано действие группы G на себе, как группы преобразований, а также ее действие на четырехмерном многообразии M. Здесь же найдены структурные уравнения алгебры A и доказаны Теорема 2.4. Пятимерная алгебра Ли A группы G, определяющая три-ткань W4, является нильпотентной алгеброй типа g5,4 [10].

Теорема 2.5. Всякая пятимерная антикоммутативная алгебра, удовлетворяющая условиям:

A = {e3, e4, e5}, A3 [A A] = {e3, e4}, A4 [[A A]A] = 0, является алгеброй A (g5,4).

Здесь же показано, что группа G может быть получена расширением одной абелевой группы с помощью другой абелевой группы. Для этого был найден вид гомоморфизма : G1 AutG0/IntG0, где G0 и G1 абелевы группы.

В четвертом параграфе изучается симметрическая структура мно гообразия M = G/H, несущего три-ткань W4. В частности, найден в явном виде соответствующий инволютивный автоморфизм группы G. В 2.4 структурные уравнения однородного пространства M мы записываем в каноническом виде, то есть как структурные уравнения соответствующей канонической аффинной связности.

В 2.5 рассматриваются так называемые A-свойства ткани W4.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»