WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

На основе (12) доказываются оценки сходимости для (11) с w = 0.

Теорема 2.10 Предположим, что выполняется (H2), LBB-условие и Qh H1(), а масштабирование уравнений такое, что a 1.

Пусть параметры = 1, h2/, a h2 (13) удовлетворяют условию + h2µ-2 h2 u a2 ; 0 min ; ;

8a2 3µ2 u Тогда справедлива равномерная оценка Eh C h2(k+1)|p|2 + h2l|u|2, C = C(h,, ).

a Hk+1() Hl+1() Далее в разделе рассматривается метод со стабилизацией давления, p т.е. = 0. Метод может использоваться для любых, в том чис ле LBB-неустойчивых, аппроксимаций p и u. Доказывается оценка устойчивости схемы, изучается сходимость и выбор параметров.

Теорема 2.11 Положим h2 [(1 + Re + Ek-1 + D )]-1, (1 + Re + Ek-1 + D ).

a w p При выборе параметров: = = = справедлива оценка сходимости Eh C -1(1 + Re + Ek-1 + D )-1 + b h2(k+1)|p|b Hk+1() + (1 + Re + Ek-1 + D ) h2l|u|2 ) Hl+1( -2 в норме V = |[V ]|2 + b q, где b = cNb, Nb = + CF + b b ( a + CF w )CF -, 2 2 |[V ]|2 = v + v + div v + (a · )v + w v + q b Для частного случая LBB устойчивых аппроксимаций (в этом случае типичным является соотношение l = k + 1) оптимальным может стать выбор параметров, как показано в следующей теореме.

Теорема 2.11 Предположим w = 0 и зададим масштабирование уравнений такое, что a = O(1). Для стабилизированного ме тода конечных элементов с параметрами = 1, h2/, имеет место оценка для ошибки Eh C h2(k+1)|p|2 + h2l|u|2, C = C(,, h).

b Hk+1() Hl+1() Далее в разделе теория иллюстрируется примерами расчетов. В частности, эксперементально было установлено, что для гладких решений не только ·, но и · норма ошибки равномерно ограb Lничена по.

В разделе 2.7 для системы Навье-Стокса и в конвективной, и в вихревой форме приводится пример дискретизации и примеры расчетов для задачи о движущейся каверне и задачи о течении за ступенькой.

В главе 3, состоящей из восьми разделов, анализируются итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации уравнений из главы 1 с помощью метода конечных элементов. При анализе многосеточных методов предполагается, что задана система вложенных конечноэлементных пространств V0 V1 · · · Vk · · · Vl H1() с квазиравномерными сетками и кусочно-полиномиальными, степени не выше r, функциями vk Vk. Соответствующий параметр дисhk кретизации удовлетворяет условию: c02-k c12-k, константы hc0, c1 не зависят от k.

Ниже через Mk(1, 2) обозначается матрица итераций многосеточного метода на k-ом сеточном уровне, если на каждом уровне используется 1 предсглаживающих и 2 постсглаживающих итераций.

В разделе 3.1 дается формальное определение геометрических многосеточных методов. Доказывается несколько вспомогательных результатов из линейной алгебры. В разделе 3.2 для уравнений реакции-диффузии доказывается, что геометрический многосеточный метод с каноническими операторами перехода с сетки на сетку является универсальным по параметрам, т.е. его показатель сходимости ограничен сверху некоторой константой меньше единицы, и не зависящей от h и :

Теорема 3.4 Для любого (0, 1) существует 0 > 0, не зависящее от k и, такое, что для матрицы итераций W-цикла со сглаживаниями Якоби с параметром или симметричными ГауссаЗейделя справедливо Mk(, 0) 0.

Теорема 3.5 Для матрицы итераций V-цикла со сглаживаниями Якоби с параметром или симметричными Гаусса-Зейделя справедливо CA Mk,, = 2, 4,...

Ak 2 2 CA + с константой CA, не зависящей от k и.

В разделе 3.3 для уравнений конвекции-диффузии доказывается универсальная по параметрам сходимость W-цикла (т.е. показатель сходимости ограничен сверху некоторой константой меньше единицы, не зависящей от h и ) для устойчивой конечно-элементной аппроксимации задачи, с использованием равномерного измельчения сетки и специальных блочных сглаживающих итераций. Анализ строится на основе нового свойства аппроксимации, ранее не встречавшегося в литературе по многосеточным методам, и нового свойства сглаживающих итераций, по быстрому подавлению ошибки около границы втекания. Эти свойства, также как и более трационное свойство сглаживания, формулируются и доказываются. Для задачи с условиями Дирихле на границе вытекания доказывается Теорема 3.8 Пусть выполняются условия на количество сглаживающих итераций на k-ом уровне:

k cpok, µk cpr k4, k kс подходящими константами cpo, cpr, k0. Справедлива следующая оценка нормы матрицы итераций W-цикла:

Mk AT A с константой < 1, не зависящей от k и. Константы cpo, cpr и k0 так же не зависят от k и.

При рассмотрении случая условий Неймана на границе вытекания условие на число предсглаживаний имеет вид k cpo и исчезает условие на k0. Заметим, что теория требует логарифмического роста числа сглаживаний при измельчении сетки, однако на практике необходимость такого увеличения не отмечена. В конце раздела приводятся примеры расчетов.

В разделе 3.4 для системы (3) в двухмерном случае приводится доказательство оценки сходимости W-цикла многосеточного метода, не зависящей от, w, h и. Сначала доказывается свойство аппроксимции, потом доказывается свойство сглаживания. В качестве сглаживающих итераций используется блочный метод Якоби с блоками 2 2, учитывающими косо-симметрическую часть матрицы системы уравнений. Доказывается результат о сходимости:

Теорема 3.11 Предположим выполнение условий (A1) – (A3), тогда для любого (0, 1) существует 0 > 0, не зависящее от пара метров задачи, и сеточного уровня k, такое, что для матрицы итераций W-цикла получаем Mk(, 0) 0.

В конце раздела приводятся примеры расчетов.

В разделе 3.5 для обобщенной системы Стокса рассматриваются несколько блочно-переобусловленных итерационных методов.

Сначала описываются используемые методы: метод Узавы, неточный метод Узавы, метод MINRES с блочно-диагональным переобуславлевателем. Затем обсуждаются два переобуславливателя для дополнения Шура: масштабированная матрица масс для пространства давления и переобуславливатель Каху-Шабата. Равномерные оценки для переобуславливателя Каху-Шабата доказаны в разделе 1.5 на дифференциальном уровне. Для случая матрицы масс оценки спектральной эквивалентности доказаны в лемме 3.22, где показано влияние div стабилизации на отношение констант эквивалентности. В конце раздела приводятся численные примеры.

В разделе 3.6 для задачи Стокса с интерфейсом в качестве переобуславливателя для оператора окаймления для давления предложена матрица масс относительно скалярного произведения с весом, (-1·, ·), в пространстве конечно-элементных функций давления Qh.

Она обозначена через M. Доказана Теорема 3.11 Предположим, что выполнено условие (10) и Rd, тогда для всех y (Me), где e – вектор, все элементы которого равны 1, справедливы неравенства C2 My, y Sy, y d My, y с константой C2, не зависящей от h и.

Из теоремы следует, что спектральное число обусловленности матри - цы M S равномерно ограничено на подпространстве (Me). Для - эффективного вычисления M в лемме 3.25 доказано, что M равномерно спектрально эквивалентна диагональной матрице, с элемен тами, составленными из сумм элементов матрицы M по соответствующей строке. В сочетании с известными результатами о равномерной по параметру сходимости многосеточного метода для задачи типа Пуассона со скачком в коэффициенте диффузии это позволило построить блочные итерационные методы для решения (7), обладающие свойством универсальности по и h. В конце раздела даются примеры расчетов для модельной трехмерной задачи.

В разделе 3.7 рассматриваются переобусловленные методы для системы типа Осеена (8). Предложен переобуславливатель дополнения Шура вихревой формы уравнений. Для того, чтобы определить этот переобуславливатель на дифференциальном уровне, рассмотрим задачу 1 p - div (G(x)p) = F в, gij nj = 0, на. (14) xi где G(x) = {gij(x)}, i, j = 1,..., d – матрица “диффузии”, которая в терминах и w имеет вид • 2D G(x) = I - (w). (15) 2 + w2 2 + w• 3D G(x) = (I + -2(w w)) - (w). (16) 2 + w2 2 + wI – единичная матрица, обозначение (w w) используется для матрицы с элементами равными wi(x)wj(x), (w) обозначает матрицу векторного произведения с w:

0 -w3 w0 -w 2D : (w) =, 3D : (w) = w3 0 -w1.

w -w2 w1 Обозначим через L(w)-1 : L0() H1() L0() разрешающий 2 задачу (14) оператор. В диссертации оператор Q-1(w) = I + L(w)-1 (17) S предложен в качестве переобуславливателя для дополнения Шура системы (8), которое обозначим через S. Дается мотивация такого выбора. С одной стороны, в случае когда можно пренебречь кососимметрическими членами, новый переобуславливатель совпадает с оптимальны I - -1. С другой стороны, если члены диффузии не N имеют существенного глобального влияния, то L(w) снова близок к S. Далее в диссертации проводится анализ переобуславливателя с использованием рядов Фурье в модельном случае w = w = const для периодической задачи в R2. Этот анализ дает основания полагать, что выбор QS в (17) подходит и для промежуточных ситуаций. В частности, устанавливается следующий факт. Если обозначить = w/, то переобуславливатель Q-1(w) дает следующее улучшение по S сравнению с известным Q-1(0) при и 1:

S cond(QS(w)-1S) 1 + O(), cond(QS(0)-1S) 1 + O(2).

В этом же подразделе с помощью анализа Фурье изучается влияние div стабилизации на число обусловленности переобусловленного дополнения Шура и на распределение собственных значений.

Из построенного оператора QS(w) и многосеточного метода для задачи (3) формируется блочно-треугольный переобуславливатель для всей системы (8). Приводятся результаты численных экспериментов.

В разделе 3.8 показывается, как изучаемые в диссертации итерационные методы и методы конечных элементов могут быть использованы для решения нелинейной системы Навье-Стокса. Приводятся примеры расчетов.

В Заключении сформулированы основные научные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации Основным научным результатом диссертации является анализ многосеточных алгоритмов и переобуславливателей, обеспечивающих равномерную по параметрам задачи сходимость итерационных методов решения широкого круга задач математической физики. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.

1. Предложен многосеточный метод для конечно-элементной аппроксимации модельной задачи конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле и смешанными краевыми условиями.

Для него доказана равномерная по и h оценка сходимости без предположений на малость самой грубой сетки.

2. Для консервативной (квази-)линеаризации уравнений НавьеСтокса в вихревой форме предложен блочный переобуславливатель, обеспечивающий эффективность итерационного метода для линейной задачи. В случае периодической модельной задачи проведен полный анализ нового переобуславливателя.

3. Доказаны равномерные по параметру оценок для переобуславливателя Каху-Шабата для обобщенной задачи Стокса в областях, допускающих H2 регулярность задачи Пуассона.

4. Для системы уравнений с косо-симметрической реакцией, вспомогательной при решении уравнений Навье-Стокса в вихревой форме, доказаны равномерные по параметрам оценки устойчивости метода конечных элементов и предложен универсальный по параметрам многосеточный метод. В случае R2 доказана оценка сходимости W-цикла многосеточного метода, не зависящая от набора параметров при некоторых ограничениях на функцию вихря.

5. Для задачи Стокса с интерфейсом доказано равномерное (относительно скачка в коэффициенте вязкости) inf-sup условие устойчивости, как для дифференциальной задачи, так и для конечно-элементной. Получены оптимальные оценки сходимости метода конечных элементов в специально выбранных нормах. Предложен переобуславливатель для дополнения Шура дискретной задачи, для которого доказана оценка, не зависящая от и h. Это позволило построить блочные итерационные методы, обладающие свойством универсальности.

6. Впервые доказаны результаты о сходимости широко используемого на практике “сокращенного” стабилизированного метода конечных элементов для задачи Осеена. Проведен единый анализ сходимости стабилизированных методов конечных элементов для линеаризованных уравнений Навье-Стокса как в конвективной, так и в вихревой форме.

Основные публикации автора по теме диссертации 1. Olshanskii M.A., Reusken A., Analisys of a Stokes interface problem.// Numerische Mathematik, 2006, V. 103, No.1, P. 129–149.

2. Ольшанский М.А., Лекции и упражнения по многосеточным методам. Физматлит, Москва, 2005.

3. Ольшанский М.А., Анализ многосеточного метода для уравнений конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле.// Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 2004, Т. 44, No.8, С. 1462–1491.

4. Olshanskii M.A., Reusken A., Convergence analysis of a multigrid solver for a finite element method applied to convection-dominated model problem.// SIAM J.Num.Anal., 2004, V. 43, No.3, P. 1261–1291.

5. Gelhard T., Lube G., Olshanskii M.A., Starcke J.-H., Stabilized finite element schemes with LBB-stable elements for incompressible flows.// J. Comput. Appl. Math., 2005, V. 177, No.2, P. 243–267.

6. Olshanskii M.A., Reusken A., Grad-Div stabilization for the Stokes equations.// Mathematics of Computation, 2004, V. 73, No.248, P. 1699– 1718.

7. Olshanskii M.A., Reusken A., A Stokes interface problem: stability, error estimate and a solver.// Proc. of European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS (Eds. P. Neittaanmki, etal.), 2004.

8. Olshanskii M.A., Preconditioned iterations for the linearized Navier - Stokes system in rotation form.// Computational Fluid and Solid Mechanics 2003, K.J. Bathe (Editor), Elsevier, 2003, P. 1074–9. Olshanskii M.A., A low order Galerkin finite element method for the Navier-Stokes equations of steady incompressible flow: A stabilization issue and iterative methods.// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 2002, V. 191, No.48, P. 5515–10. Olshanskii M.A., Reusken A., Navier-Stokes equations in rotation form: a robust multigrid solver for the velocity problem.// SIAM J. Sci.

Comp., 2002, V. 23, No.5, P. 1682–11. Lube G., Olshanskii M.A., Stable finite element calculations of incompressible flows using the rotation form of convection.// IMA J.

Num. Anal., 2002, V. 22, P. 437–461.

12. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A., Effective Preconditioning of Uzawa Type Schemes for Generalized Stokes Problem.// Numerische Mathematik, 2000, V. 86, No.3, P. 443–470.

13. Olshanskii M.A., Reusken A., On the convergence of a multigrid method for linear reaction-diffusion problems.// Computing, 2000, V. 65, P. 193–202.

14. Chizhonkov E.V., Olshanskii M.A., On the domain geometry dependence of the LBB condition.// Math. Modelling Numer. Anal., 2000, V. 34, No.5, P. 935–951.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.