WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Содержание диссертации Во введении дается понятие универсальных по параметрам итерационных методов, обосновывается актуальность построения и исследования таких методов, формулируются задачи математической физики, для которых разрабатываются универсальные по параметрам многосеточные и переобусловленные итерационные методы; проводится обзор известных результатов и подходов к решению поставленных задач, обсуждается ценность полученных результатов и новизна предлагаемых методов.

Главы 1 и 2 содержат анализ дифференциальных задач и метода конечных элементов, соответственно. Итерационным методам и анализу сходимости посвящена глава 3. Отметим, что материал второй и третей главы не только представляет самостоятельный интерес, но также необходим для целей главы 3.

В главе 1, состоящей из семи разделов, проводится исследование дифференциальных задач. В разделе 1.1 рассматривается задача реакции-диффузии:

- u + d(x) u = f в, (1) u = 0 на.

Для задачи (1) доказываются априорные оценки на L2 нормы первых и вторых производных решения. В разделе 1.2 рассматриваются уравнения конвекции-диффузии:

-u + a·u = f в := (0, 1)2, (2) u = 0 на.

Рассматривается случай a = (1, 0), а также задача с условиями Неймана на границе вытекания. Для задачи (2) доказываются оценки специальных норм решения и норм первых и вторых производных решения. Изучается их зависимость от. Для задачи с условиями Неймана на границе вытекания доказывается следующий результат:

Теорема 1.1 Пусть f L2(), u – решение задачи конвекциидиффузии с a = (1, 0) и коэффициентом диффузии k вдоль линий тока, тогда существует константа c, не зависящая от k и такая, что u + ux c f, uy c f, k uxx + k uxy + uyy c f, u2 dy + k u2 dy + u2 dy c f, x y E W E где W – граница втекания, E – граница вытекания. Здесь и далее · обозначает норму в L2. Более того, если H1 (0, 1) такая, 1 2 что 0 -kx, и · := ·, · := (-x) ·, то -x решение удовлетворяет оценкам ux 2 f k (0) u2 dy f x W 2 u + uy ( f, u).

-x В теореме 2.1 подобные оценки доказываются для задачи с условиями Дирихле на границе вытекания. Из этих теорем получаются следствия 1.1 и 1.2 об оценках зависимости решений вверх по течению от f и об оценках решений вдали от E.

В разделе 1.3 изучается система уравнений:

-u + w u + u = f в, (3) u = 0 на, Далее будет показано, что эта система возникает как вспомогательная при использовании (полу-)неявных схем для уравнений НавьеСтокса с нелинейными членами в вихревой форме, и w = curl v, где v – известное поле скоростей. Заметим, что слагаемое wu в системе (3) можно интерпретировать как косо-симметрическую реакцию. В диссертации детально разобран случай R2, для которого curl v – скалярная функция, которую мы обозначим через w := w, а w u – вектор-функция (-w u2, w u1). Для задачи (3) доказываются априорные оценки на L2 нормы первых и вторых производных решения.

Изучается их зависимость от, w и. Пусть выбрана так, что для правой части из L2() решение однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона принадлежит H2(). Это условие будем обозначать, как (H2) условие. В формулировках теорем об априорных оценках для задачи (3), о сходимости метода конечных элементов и многосеточного метода для нее будут использоваться следующие три предположения. Пусть w L() и cw := ess inf |w|.

(A1) Условие (A1) выполнено, если + cw > 0 и w := C.

+ cw (A2) Условие (A2) выполнено, если w(x) 0 п.в. в или w(x) 0 п.в. в.

(A3) Условие (A3) выполнено, если w Lq()2 для некоторого q > 2 и w C w.

Lq Если w – функция из конечно-элементного пространства, то C предполагается независимым от h. Доказана Теорема 1.3 Пусть f L2(), u H1 – обобщенное решение задачи (3). Тогда u принадлежит H2(), и справедливы оценки 2 2 u + u c(, ) f, 2 2 2 2 2 2 u + CP w u 2CP 4 + 2c(, )2 w f CF с константами CP из оценки u CP u, c(, ) = и CF 2 +CF из неравенства Фридрихса. Если дополнительно выполнены условия (A1) и (A3), то 2 2 2 2 u + ( w + ) u + 2 u + w u C f с константой C, не зависящей от f,,, и w.

Затем в лемме 4.1 доказываются оценки непрерывности для билинейной формы вариационной постановки задачи.

В разделе 1.4 рассматривается система обобщенных уравнений Стокса:

-u + u + p = f в, -div u = 0 в, (4) u| = 0, p dx = 0, Для системы (4) доказывается равномерная по спектральная эквивалентность дополнения Шура, A0 := -div (-+)-1 (оператора окаймления для давления), и специального переобуславливателя в случае достаточно произвольных двух- и трехмерных областей. Для этих целей доказывается Теорема 1.4 Пусть n – внешняя нормаль к, A1 – дополнение Шура для (4) с краевыми условиями u·n = 0, curl un = 0 (в двумерном случае u·n = curl u = 0). Для произвольного p L0, положим q = A1p. Тогда p = q - r, где r := -1q – решение задачи Неймана N r r = q, = 0.

n Теорема позволяет записать A-1 = I - -1. Лемма 1.10 доказы1 N вает обобщенное неравенство Нечаса в случае выполнения условия (H2). На основе этой леммы доказывается Теорема 1.5 Существует константа c() > 0, не зависящая от и такая, что c()A1 A0 A1.

Далее изучается обобщенная задача Стокса со стабилизирующей добавкой (div u, div v) в вариационной постановке задачи (т.н. div стабилизация). В теореме 1.8 доказываются оценки на показатель обусловленности задачи C(, ), определяемый как отношение констант непрерывности,, и infsup устойчивости,, для билинейной формы задачи с седловой точкой. Для задачи (4) эти оценки даны в Теореме 1.9 Справедливы оценки 4( 5 + 1) max{c2, + } C(, ), если = 0, (5) c2 min{1, + } 4( 5 + 1) max{c2, + CF + } C(, ), если = 1, (6) c2 min{1, + } где c0 – константа из неравенства Нечаса.

Далее в следствии 1.3 анализируется влияние div стабилизации на обусловленность непрерывной задачи.

При моделировании двух-фазных течений возникает необходимость в решении следующей модельной задачи, которая рассматривается в разделе 1.5:

-div ((x)Du) + p = f в, div u = 0 в, (7) u = 0 на, с кусочно-постоянной вязкостью:

1 в = > 0 в 2.

На интерфейсе (границе между подобластями), 1 2, задаются условия непрерывности поля скоростей и нормальной составляющей тензора напряжений. Для анализа задачи оказалось необходимым ввести пространство для давления с нестандартной факторизацией M := { p L2() | -1p(x) dx = 0 } и весовой нормой (p, q)M := -1 p q dx. В пространстве для скоростей вводится нор ма u := (u, u). Доказан следующий результат, обобщающий неравенство Нечаса на случай разрывного коэффициента:

Теорема 1.10 Пусть i, i = 1, 2 липшецевы области, тогда существует константа C > 0, не зависящая от такая, что (div u, p) sup C p p M M u uHЭтот результат является ключевым для априорных оценок для решений (7), доказанных далее в разделе 1.5.

В разделе 1.6 рассматриваются неявные схемы для уравнения Навье-Стокса несживаемой вязкой жидкости. Приводятся необходимые в дальнейшем оценки нелинейных членов уравнений. В разделе 1.7 рассматриваются две системы, которые возникают при (квази)линеаризации уравнений Навье-Стокса в вихревой и конвективной формах.

-u + w u + u + P = f в (8) div u = 0 в, -u + a · u + u + p = f в (9) div u = 0 в.

Система (8) возникает благодаря равенству (u·)u = (curl u) u + u, замене кинетического давления в системе Навье-Стокса на uдавление Бернули P = p +, и дальнейшей линеазации задачи с сохранением фундаментальной оценки:

t t ||u(t)||2 + 2 ||u(s)||2ds ||u0||2 + 2 (f(s), u(s))ds.

0 Системы (8), (9) дополняются краевыми и интегральными условиями. Для решений систем доказаны априорные оценки. Далее теорема 1.11 доказывает оценки спектрального типа для дополнения Шура систем (8) и (9).

В главе 2, состоящей из семи разделов, изучаются устойчивые методы конечных элементов для задач из главы 1. Если не сделано других предположений, то предполагается заданным семейство Th квазиравномерных триангуляций с параметром разбиения h.

В разделе 2.1 для уравнений реакции-диффузии доказываются оценки сходимости метода конечных элементов. В разделе 2.для уравнения конвекции-диффузии рассматривается метод конечных элементов с численной диффузией вдоль потока для семейства конечно-элементных пространств Vh:

(+hh)((uh)x, vx)+((uh)y, vy)+((uh)x, v) = (f, v+hh vx) v Vh.

Стабилизационный параметр определяется следующим образом:

h h = если 1, иначе h = 0, [, 1]. Рассматривается случай доминирующей конвекции: 2 h.

В этом разделе предполагается равномерная северо-восточная триангуляция области. В § 2.2.3 приводятся доказательства априорных оценок для решения дискретной задачи и оценок решения вдали от границы вытекания. Получаемые оценки аналогичны результатам из теоремы 1.1 для решений дифференциальной задачи. В § 2.2.доказываются оценки сходимости метода конечных элементов. Для их формулировки нам понадобятся следующие обозначения: W := h { (x, y) | x < 4| log2 h|h }, int := {(x, y) | x < 1 - 3| log2 h|h}.

h В Лемме 2.3 доказываются оценки:

(u - uh)x L2(int) c fh h h (u - uh)y L2(int) c fh.

h В Лемме 2.6 доказывается следующий результат: пусть правая часть fh Vh равна нулю в W, тогда справедлива оценка h hk u - uh L2(int) c fh.

h Оба результата оказываются неулучшаемыми в следующем смысле.

В первом случае нельзя заменить норму · L2(int) на глобальную h L2-норму, а во втором нельзя отказаться от условия равенства нулю fh в части области приграничной к W. Оба эти эффекта проиллюстрированы численными экспериментами.

В разделе 2.3 для системы уравнений (3) доказывается устойчивость дискретной задачи при малой вязкости. Введем на H1 норму, зависящую от параметра:

2 2 |||u||| = u + u + w u, 0.

w Доказаны две теоремы о сходимости метода конечных элементов.

Теорема 2.2 Пусть выполнены условия (A1) и (A2). Если h < и h < 2, также предполагаем выполнение условия (A3). Найдется (0, 1], не зависящее от,, w, u и h, такое, что выполняются следующие неравенства 1 2 |||u - uh||| C hj( u + ( + w ) u ), j = 0, 1, j+1 j 1 2 |||u - uh||| C h( + ( + w )h) u.

Константы C не зависят от,, w, u и h.

Теорема 2.3 Предположим выполнение условий (A1), (A2), (A3).

Для произвольного f L2() имеем оценку сходимости в L2 норме h2 u - uh C min, f + w с некоторой константой C, не зависящей от,, w, h и f.

В конце раздела оценки сходимости иллюстируются результатами численных экспериментов. Показывается, что необходимость условий (A1) – (A3) в предположениях теорем вызваны существом дела.

В разделе 2.4 для обобщенной системы Стокса изучаются устойчивые дискретизации. Здесь и далее в главе сетки могут иметь локальные сгущения. Доказываются оценки сходимости метода конечных элементов с использованием div стабилизации. В частности, в теоремах 2.5, 2.6 доказывается следующий результат.

2 2 2 2 Рассмотрим норму |u, p | = u + u + div u + p.

Имеет место оценка сходимости метода конечных элементов:

| u - uh, p - ph| 1 + C min | u - vh, p - qh| vhVh,qhQh где 1 max{2, + } ( 5 + 1)2, если = 0, min{1, + } 1 max{2, + CF + } ( 5 + 1)2, если = 1, min{1, + } где CF – константа из неравенства Фридрихса, а – константа из условия Ладыженской-Бабушки-Бреци (LBB).

Далее в разделе изучается эффект выбора > 0 на качество приближения. Приводится численная иллюстрация результатов раздела.

В разделе 2.5 для задачи Стокса с интерфейсом доказывается универсальное infsup-условие устойчивости. Выводятся оценки для дискретного решения, доказываются оценки сходимости метода конечных элементов. Здесь предполагается согласованность Th с разбиением области на подобласти 1, 2, а именно (i) (i) Th Th : { T | T Th } = i, i = 1, 2.

Для того, чтобы сформулировать основной результат, необходимо ввести следующие обозначения p = |1|-1 на 1; -|2|-1 на p - qh M µh := inf.

qhMh M p Значение µh характеризует “качество”, с которым можно приблизить p в пространстве конечно-элементных функций. Заметим, что µh = 0, если Mh содержит кусочно-постоянные функции. В общем случае µh c h с некоторой константой c, не зависящей от, h – максимальный диаметр элементов триангуляции Th, имеющих общие точки с интерфейсом. Предположим выполнение LBB условия.

Следующая теорема является основным результатом раздела.

Теорема 2.6 Существуют константы C1 > 0 и C2 > 0, не зависящие от и h такие, что справедливо следующее утверждение:

если µh C1 тогда (10) (div uh, ph) sup C2 ph ph Mh M uh uhVh Заметим, что, в силу сказанного выше, условие (10) не является обременительным. Далее доказывается оптимальная оценка сходи2 2 мости в норме |u, p | = u + p.

M Теорема 2.7 Предположим, что условие (10) выполнено. Тогда существует константа C, не зависящая от h и такая, что выполняется оценка |u - uh, p - ph | C min min |u - vh, p - qh |.

vhVh qhMh В разделе 2.6 для системы типа Осеена L(U) := -u + u + (a · )u + w u + p = f в, div u = g в, u = 0 на (11) рассматривается стабилизированный метод конечных элементов: найти Uh = {uh, ph} такую, что ah(Uh, Vh) = fh(Vh) Vh = {vh, qh}, где ah(U, V ) := a(U, V ) + ( div u, div v) a w p + (L(U), (a · )v + w v + q), a w p fh(V ) := (f, v) + ( g, div v) + (f, (a · )v + w v + q).

Здесь a(U, V ) – билинейная форма метода Галеркина для (11). Отметим, что a = 0 или w = 0 приводит к линеаризованным уравнениям в вихревой и конвективной форме, соответственно; случай, когда a = 0 и w – постоянный вектор, соответствует конвективной форме с учетом Кориолисовых сил. Далее понадобятся константы µu, µp из обратных неравенств на элементе триангуляции vh µuh-1 vh, qh µph-1 qh p Сначала для метода без стабилизации давления, т.е. = 0, и в случае выполнения LBB условия доказывается оценка устойчивости метода конечных элементов, изучается сходимость a w Теорема 2.8 Пусть = = и выполнено условие 2h 0 ; Na, 54µ2Na p F где Na = + CF +( a +CF w )C. Для ошибки Eh = +CF {u - uh, p - ph} имеет место оценка 2 -2 2 Eh C h2(k+1)Na p + Na h2l|u|2 ) a Hk+1() Hl+1( 2 в норме V = |[V ]|2 + a q, a a 2 2 |[V ]|2 = v + v + div v + (a · )v + w v, a 1 - где a = 2Na, k 0 и l > 0 – степени конечно-элементных аппроксимаций для p и u, соответственно.

Для частного случая квазиравномерной сетки доказана Теорема 2.9 Предположим, что Qh состоит из кусочно-постоянных функций и a = h2[(1 + Reh + Ek-1 + Dh)]-1, где Reh = h ||a||h ||w||hh -, Ek-1 =, Dh = и = O(1), a 2Na.

h Предположим, что выполняется (H2) и LBB-условие. Тогда справедлива оценка сходимости:

2 Eh C{1 + (1 + Reh + Ek-1 + Dh) + }h2( u + |p|2).

a h 2 Также для случая квазиравномерной сетки в Лемме 2.15 доказывается модифицированное LBB условие:

Предположим, что Qh H1() и выполняется (H2) и LBB-условие.

Тогда выполняется следующее inf-sup условие:

(div uh, ph) inf sup 1 > 0, (12) phQh uhVh ph uh где 1 не зависит от h.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.