WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|

На правах рукописи

Ольшанский Максим Александрович Равномерные по параметру многосеточные и итерационные методы 01.01.07 – вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва – 2006

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Астраханцев Г.П.

доктор физико-математических наук, профессор Карамзин Ю.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Крукиер Л.А.

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Защита состоится 27 октября 2006г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Г.А. Бочаров доктор физико-математических наук 3

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена анализу многосеточных и других итерационных методов, обладающих равномерной по параметрам оценкой скорости сходимости. Методы применяются для нахождения приближенного решения краевых задач, возникающих в вычислительной гидродинамике. Основные черты полученных результатов построение устойчивых аппроксимаций методом конечных элементов и получение нетривиальных оценок сходимости итерационных методов на всем спектре физических и численных параметров, которые определяют дискретную задачу.

Актуальность тематики. История многосеточных методов берет свое начало с работ российских математиков Р.П.Федоренко (1964) и Н.С.Бахвалова (1966). Позже многосеточный метод был “открыт” заново в работах А.Брандта (1973, 1977) и В.Хакбуша (1976). В конце 70х годов метод получил широкое признание, и количество публикаций стало стремительно расти. Современная теория метода была заложена в начале 80-х годов. В 1985 году выходит монография В.Хакбуша со строгим изложением абстрактной теории многосеточных методов и описанием многих приложений. Теория и практика применения метода продолжает развиваться и пополняться. В то время как многосеточные методы стали обязательной составляющей в большинстве прикладных пакетов, и им посвящена огромная библиография, насчитывающая, в том числе, около десятка книг, в русскоязычной литературе им уделено относительно мало внимания.

Из книг можно назвать только монографию В.В. Шайдурова (1988) и недавно опубликованную монографию [2]. Итерационные методы имеют более чем вековую историю - названия многих из них, например, Ньютона, Якоби, говорят за себя. К примеру, самому известному вариационному методу, сопряженных градиентов, в 2002 году исполнилось 50 лет.

Широкое использование многосеточных методов обусловлено их свойством оптимальности по числу неизвестных, входящих в систему алгебраических уравнений. В терминах сходимости итераций это свойство можно сформулировать как наличие нетривиальной оценки на показатель сходимости, не зависящей от размерности системы (или от параметра дискретизации h в случае использования квазиравномерных сеток). Однако при использовании многосеточных методов для решения многих практических задач обнаруживается, что их скорость сходимости может сильно зависеть от значений физических и вычислительных параметров, определяющих систему, например, коэффициентов вязкости, диффузии, плотности, параметров стабилизации и других. При достижении этими параметрами некоторых значений метод может сходиться очень медленно или расходиться. Сказанное выше относится и к итерационным методам с переобуславливателями, построенными на основе многосеточных методов. На построение универсальных по параметрам итерационных методов для решения различных задач в последние десятилетия были направлены усилия многих инженеров и математиков. Универсальным по параметрам итерационным методом будем называть метод, обеспечивающий приемлемую сходимость при всех допустимых значениях физических и численных параметров, входящих в систему уравнений. В англоязычной литературе для обозначения этого свойства используется термин “robust” и его производные. Особенно трудным математическим вопросом считается анализ таких методов, т.е. доказательство равномерных оценок при тех или иных условиях на дифференциальную задачу и метод дискретизации. Среди множества работ в этом направлении отметим работы Бахвалова Н.С., Bramble J.H., Elman H.C., Hackbusch W., Кобелькова Г.М., Пальцева Б.В., Pasciak J.E., Reusken A., Stevenson R., Xu J., Wittum G.

Приведем в качестве одного примера изучаемый в диссертации переобуславливатель Каху-Шабата для обобщенной задачи Стокса, который был предложен в 1988 году. Несмотря на активное использование этого метода в расчетах несжимаемых вязких течений и большой интерес к данной тематике в научных кругах, вопрос получения равномерных оценок для него оставался открытым более 10 лет. Другим примером из диссертации может служить многосеточный метод для задачи конвекции-диффузии. Эти уравнения были рассмотрены одними из первых для приближенного решения многосеточным методом, и за последние 20 с лишним лет накопилось достаточно практического опыта, как это можно делать более или менее эффективно. При доминировании конвекции, однако, с точки зрения математического анализа алгоритмов задача считается (по праву) настолько трудной, что среди множества публикаций можно выделить всего несколько работ, где получены равномерные оценки для простейших случаев.

В целом отметим, что несмотря на обширную библиографию, анализ многосеточных методов и переобуславливателей для несимметричных задач (исключая случай доминирования симметричной части) находится в зачаточном состоянии. Получения результатов для сильно несимметричных задач и составляет основу диссертации.

В качестве метода дискретизации в диссертации используется метод конечных элементов, как широко используемый в реальных приложениях и допускающий математический анализ на основе вариационных принципов. Стоит признать, что не любое уравнение в частных производных можно на сегодняшний день эффективно численно решить, используя метод конечных элементов и многосеточный метод. Однако для многих уравнения, имеющих физический подтекст, такой подход эффективен. В диссертации идет речь о применении многосеточного метода (вместе с переобусловленными итерационными методами) к решению ряда задач, возникающих на практике, например, в гидродинамике и моделировании тепло-массопереноса.

Целью исследования является разработка и изучение итерационных методов, сходимость которых остается достаточно высокой при любых допустимых значениях физических и численных параметров, входящих в систему уравнений, а также получение оценок устойчивости для соответствующих дискретных систем. Главным требованием к теоретической части исследования является строгое доказательство нетривиальных оценок на показатели сходимости итерационных методов, не зависящих от численных и физических параметров системы, а также получение оценок устойчивости и сходимости метода конечных элементов с анализом явной зависимости от данных параметров.

Методология исследования. Доказательство сходимости многосеточных методов основано на свойствах аппроксимации и сглаживания. Эти алгебраические свойства требуют различной техники доказательства. Свойство сглаживания доказывается с помощью средств линейной алгебры, а свойство аппроксимации следует из утверждений о сходимости метода конечных элементов. Доказательство этих утверждений, в свою очередь, существенно базируется на априорных оценках для решений дифференциальных задач, в том числе на оценках вторых производных решений. В общем случае подобные оценки известны. Однако, имея целью доказательство равномерной сходимости итерационных методов, в диссертации находится в явном виде зависимость “констант” из априорных оценок от физических параметров, входящих в постановку дифференциальных задач. Более того, в оценках сходимости метода конечных элементов так же требуется получить зависимость констант от этих параметров, причем в большинстве случаев – оптимальную по порядку. Для достижения этих целей используются средства функционального анализа и теории аппроксимации. Численные эксперименты служат для получения практической информации об исследуемых методах.

Достоверность, научная новизна. Достоверность работы основана на изложении материала в виде последовательности лемм и теорем, иллюстрации теоретического материала результатами численных экспериментов. В диссертации уделяется большое внимание обзору известных результатов для каждой конкретной задачи, их связи с полученными результатами, а также отслеживается соответствие доказанных оценок экспериментальному опыту, в том числе, накопленному в работах других авторов.

Научную новизну работы составляет анализ многосеточных методов для систем линейных алгебраических уравнений с доминирующими косо-симметрическими членами; доказательство равномерных по параметрам оценок сходимости для уравнений конвекциидиффузии и системы с косо-симметрической реакцией. При этом, в отличии от работ других авторов, не накладывается ограничений на шаг самой грубой сетки, а арифметическая сложность одной итерации остается оптимальной. Впервые проводится исследование консервативной (квази-)линеаризации уравнений Навье-Стокса в вихревой форме. Построение эффективных итерационных методов и оценок сходимости устойчивых методов конечных элементов для таких систем также проводится впервые. Новым является доказательство равномерных по параметру оценок для метода Каху-Шабата для обобщенной задачи Стокса в областях, допускающих H2 регулярность задачи Пуассона. Этот метод был предложен в 1988 году, но вопрос получения равномерных оценок долго оставался открытым.

Не исследовалась ранее задача Стокса с интерфейсом, возникающая в моделях двух-фазных течений. Для этой задачи исследуется устойчивость метода конечных элементов, строятся равномерные по скачку в коэффициенте вязкости переобусловливатели, доказываются априорные оценки. Доказываются новые оценки сходимости стабилизированных методов конечных элементов для (квази-) линеаризированных уравнений Навье-Стокса для несжимаемых сред.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в развитии математического аппарата анализа сходимости многосеточных методов для задач с доминирующей кососимметрической частью; в разработке методов построения переобуславливателей нелокальных операторов окаймления для седловых задач, основанных на свойствах аппроксимируемых систем дифференциальных уравнений; в развитии теории стабилизированных методов конечных элементов для задач динамики жидкости.

Практическая ценность состоит в том, что результаты диссертации закладывают твердую математическую основу для геометрических многосеточных методов, широко используемых в прикладных программных пакетах для моделирования процессов тепло-массопереноса; позволяют лучше понять потенциал и ограничения применения таких методов. Равномерные по параметрам итерационные методы, предложенные и исследованные в настоящей работе, могут служить составной частью программных продуктов для моделирования ламинарных, турбулентных, двухфазных течений жидкости и других процессов механики сплошной среды, где требуется проводить расчеты в широком диапазоне физических параметров. Численные методы для уравнений Навье-Стокса с нелинейными членами в вихревой форме важны для использования методов аппроксимации, удовлетворяющих законам сохранения базовых инвариантов: энергии и завихренности потока жидкости, а также для расчетов течений с учетом Кориолисовых сил.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором: на международной конференции “Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания ” (Обнинск, 2006), на международной конференции “Computational Methods for Multidimensional Flows” (Гейдельберг, 2005), на Российко-Голландском семинаре “Robust numerical methods for singular-perturbed problems” (Москва, 2005), Ежегодной конференции “Ломоносовские чтения” (Москва, 2005), на 13-ой международной конференции “European Conference on Mathematics for Industry” (Эйндховен, 2004), на 4-ой и 7-ой международных конференциях “European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering” (Афины 1998, Ювяскюла 2004), на международных конференциях им. Петровского “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы” (Москва 2001 и 2004), на 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5ой международных конференциях “European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications” (Гейдельберг 1997, Ювяскюла 1999, Искья 2001, Прага 2003), 2-ой международной конференции “Second M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics” (Бостон, 2003), 8-ой международной конференции “Уравнения Навье-Стокса и приложения” (С.-Петербург, 2002), Международном Математическом Конгрессе (Берлин, 1998), Российско-Голландском семинаре ‘Robust numerical solution methods for convection- diffusion and Navier-Stokes equations’ (Амстердам-Наймеген, 1998), на международной конференции “Preconditioned Iterative Solution Methods for Large Scale Problems in Scientific Computations” (Наймеген, 1997), на научно-исследовательских семинарах Института вычислительной математики РАН, Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Вычислительного Центра РАН, кафедры вычислительной математики мех.-мат. ф-та. МГУ, университетов Марилэнда, Эмори, Вандербилт, Дортмунда, Гейдельберга, Ахена, Линца, Геттингена, Технического Университета Джорджии.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы, из них 1 монография, 16 публикаций в рецензируемых журналах, 4 публикации в материалах конференций.

Личный вклад автора. Вклад автора в совместные работы заключался: в формировании постановки проблемы [2,6,10,11,16], идеи решения [1,2,6,7,10,11,12,15], теоретическом обосновании [1,5,7,15,16], совместном теоретическом обосновании [4, 6, 10, 11, 12, 13, 14], постановке и анализе численных экспериментов [4,6,10,13,15,16].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Текст работы изложен на 285 страницах, содержит библиографию из 188 наименований, 19 рисунков и 36 таблиц.

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.