WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Далее получены ОС классической и моментной теорий и закон теплопроводности Фурье нулевого приближения и приближения порядка r в моментах как для однородного, так и неоднородного относительно x3 материала. Получены выражения граничных условий физического и теплового содержаний (первого, второго и третьего родов) на лицевых поверхностях и выведены системы (-) (+) (-) (-) (+) µ µ уравнений для нахождения векторов-функций P, P, µ, µ и функций T, µ µ (+) T, применяемых при представлении ОС в нормированных моментах. Даны определения систем уравнений в моментах приближения (r, N), а также систем законов Гука и теплопроводности Фурье в нормированных моментах приближения (r, N) и в моментах приближения (r, N). Получены граничные условия физического и теплового (второго и третьего родов) содержаний на граничном контуре в моментах приближения (r, N). Для тонких тел с двумя малыми размерами рассматриваются соответствующие соотношения в моментах приближения (r, M, N). Кроме того, выписаны кинематические и тепловые (первого рода) граничные условия на контуре и начальные условия в моментах приближения N.

Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах приближения (r, N) для тел с одним малым размером и приближения (r, M, N) в случае тел с двумя малыми размерами моментной ТМДТТТ, а также нестационарной температурной задачи в моментах аналогичных приближений для этих тел моментной ТМДТТТ. Рассмотрены частные случаи постановок задач.

Обсуждены способы получения некоторых частных случаев постановок задач из них.

Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел получается бесконечная система уравнений, которая имеет то преимущество, что она содержит величины, зависящие от двух переменных – гауссовых координат x1 и x2 базовой поверхности. Итак, уменьшение числа независимых переменных на единицу достигается ценой увеличения количества уравнений до бесконечности, что разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В этой связи сделан следующий необходимый шаг для упрощения проблемы. Производится редукция бесконечной системы к конечной. При этом приводится несколько различных способов такой редукции. После редукции к конечной системе рассматриваемую задачу можно решить приближенно с (-) соответствующими граничными условиями на граничном контуре S базовой (-) поверхности S. При этом степень приближения шаг за шагом можно увеличить. Здесь возникает известная проблема выполнения граничных условий на лицевых поверхностях. В рассматриваемой теории тонких тел в теоретически возможных случаях удается и эту проблему решить. При упрощенной схеме приведения бесконечной системы уравнений к конечной для любого приближенного решения построено корректирующее слагаемое, учет которого обеспечивает выполнение граничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела.

В частности, построены корректирующие слагаемые, обеспечивающие выполнение граничных условии на лицевых поверхностях при постановках изотермических задач в перемещениях и вращениях, а также при постановках задач в тензорах напряжений и моментных напряжений.

В четвертой главе Некоторые вопросы тензорного исчисления приведены основные определения из линейной алгебры и функционального анализа.

В частности, даны определения полугруппы, группы, кольца и поля, а также линейного пространства и модуля. Сформулирована локальная теорема существования гомеоморфизмов. Введены определения внутреннего r-произведения и локального скалярного произведения тензоров, ранг которых не меньше r, а также локальной нормы тензора. Даны определения, сформулированы и доказаны основные теоремы и утверждения, касающиеся линейной зависимости и независимости системы тензоров любого ранга. Кроме этого, приведены определения и доказательства некоторых теорем, относящихся к ортогональной и биортонормальной системам тензоров. Дано определение мультипликативного базиса (мультибазиса) и рассмотрены способы построения базисов модулей с помощью базисов модулей меньших размерностей. В этой связи сформулировано и доказано несколько теорем. Более подробно изучены тензорные модули четного порядка и задачи о нахождении собственных значений и собственных тензоров тензора любого четного ранга, чем в работах И.Н.Векуа и Я.Рыхлевского. Даны канонические представления тензора любого четного ранга.

Приведены элементарные сведения о многочленах с тензорными коэффициентами и о действиях над ними. Сформулирована и доказана обобщенная теорема Безу, на основании которой доказана теорема Гамильтона Кэли. Рассмотрено и другое доказательство последней теоремы. Доказано несколько важных теорем, применяющих при выводе формулы, выражающий присоединенный тензор (2p) B() для тензорного двучлена E - A через тензор A C2p() (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга 2p) и его инварианты. Далее даны определения минимального многочлена тензора модуля C2p() и тензора модуля Cp() (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга p), а также тензора модуля Cp() инвариантного относительно заданного тензора модуля C2p(). Здесь – некоторая область n-мерного евклидова (риманова) пространства. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы, касающиеся минимальных многочленов. Кроме того, сформулированы 1-я, 2-я и 3-я теоремы о расщеплении модуля Cp() на инвариантные подмодули. Особое внимание уделено теоремам о сопряженном, нормальном, эрмитовом и унитарном тензорах модулей C2p() и R2p() (элементы этого модуля действительные тензоры ранга 2p). Доказаны теоремы о полярном разложении тензоров модулей C2p() и R2p(), а также теоремы о существовании общей полной ортонормальной системы собственных тензоров для конечного или бесконечного множества попарно коммутирующих нормальных тензоров модулей C2p() и R2p(). Даны канонические представления вышеупомянутых тензоров.

В пятой главе К теориям многослойных конструкций и тонких тел рассмотрена эффективная параметризация многослойной тонкой области, заключающаяся в использовании в отличие от классических подходов нескольких базовых поверхностей. Многие соотношения этой главы получаются из соответствующих соотношений первой главы, если в них корневые буквы снабжать снизу индексом, обозначаемом номер слоя. Введены в рассмотрение свойственные предложенным параметризациям геометрические характеристики. В частности, выписаны выражения для компонент переноса ЕТВР, а также соотношения, связывающие сопровождающие рассмотренные в работе параметризации различные семейства реперов и базисов и порожденные ими соответствующие семейства символов Кристоффеля. Введены в рассмотрение компоненты контакта ЕТВР. Получены выражения для рассмотренных семейств символов Кристоффеля, компонент вторых тензоров и средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством компонент переноса единичного тензора второго ранга.

Сформулированы фундаментальная теорема для многослойной тонкой области при ее новой параметризации и порождающая вариант теории многослойных конструкций кинематическая гипотеза [20]. Определены набла-операторы и введены в рассмотрение различные сопровождающие теорию оболочек градиенты мест и даны их представления [19, 25]. Приведены выражения для градиента вектора перемещения и его компонент при различных семействах параметризаций. Представлены компоненты переноса единичного тензора актуальной конфигурации через компоненты градиентов мест. Определены меры и тензоры деформации, характерные для варианта теории. Даны различные представления тензора деформаций Коши-Грина и линейного тензора деформаций.

Приведены представления тензоров напряжений Коши-Лагранжа и ПиолыКирхгоффа в свойственной варианту теории форме. Из принципа виртуальной работы МДТТ получен аналогичный принцип для варианта теории, а также дифференциальные уравнения в компонентах внутренних усилий новой структуры, чем классические. Выписаны граничные условия и межслойные контактные условия при полном контакте слоев. Даны их краткие формы записи.

Получены ОС линейной теории термоупругости, с помощью которых выписаны ОС для произвольного анизотропного слоя многослойной конструкции.

Учитывая последние ОС в свою очередь в выражениях компонент тензоров внутренних усилий, получены соответствующие ОС для рассматриваемого слоя многослойной конструкции. Кроме того, ОС получены как для изотропного произвольного тонкого слоя, так и для слоя класса TS (тонкого или пологого).

В последнем случае получены и обратные ОС.

В шестой главе К теории многослойных плоских криволинейных стержней аналогично пятой главе и работе [6] рассматривается параметризация многослойной плоской криволинейной стержневой области на основе нескольких базовых кривых. Формулируется кинематическая гипотеза, порождающая теорию многослойных плоских криволинейных стержней. Из полученного принципа виртуальной работы выведены уравнения движения и равновесия и соответствующие граничные условия, а также выписаны межслойные контактные условия при полном контакте слоев. Кроме того, даны краткие формы записи уравнений и граничных условий.

В седьмой главе Некоторые задачи на основании описанной теории тонких тел в МДТТ решены задачи о кручении слоистого цилиндра, слоистого цилиндра под внутренним давлением, задача о растяжении и сжатии слоистого цилиндра. Для упругой среды дается сравнение полученных результатов с известными результатами теории оболочек и некоторыми решениями толстых тел других авторов. Описывается применение сформулированной теории к решению задач о сложном нагружении в общей теории пластичности А.А. Ильюшина.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые получены в рамках нового научного направления и которые сводятся к следующему:

1. Рассмотрены новые параметризации областей однослойного и многослойного тонких тел. Построено тензорное исчисление при новой параметризации области тонкого тела. Введены в рассмотрение компоненты переноса, основные компоненты и компоненты контакта ЕТВР. Дано представление ЕТВР.

С помощью компонент переноса ЕТВР осуществлена связь между различными семействами параметризаций. Получены выражения для семейств символов Кристоффеля, компонент вторых тензоров и средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством компонент переноса ЕТВР. Компоненты переноса и компоненты ЕТВР, зависящие от поперечной координаты x3, представлены в виде рядов относительно этой координаты. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел при их новой параметризации.

2. Получены дополнительные рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева, играющие важную роль при построении различных уточненных вариантов теорий тонких тел.

3. Введены характерные для теорий тонких тел дифференциальные операторы и даны различные представления следующих дифференциальных операторов: градиента, повторного градиента, ротора, дивергенции, лапласиана, повторной дивергенции и градиента дивергенции. Приведены представления и некоторые утверждения относительно классического и обобщенного (Б.Е.Победри) тензоров несовместности.

Дано представление тензора несовместности Б.Е.Победри через пятнадцать изотропных тензоров шестого ранга, а также в дивергентном виде и через тензор напряжений.

Кроме того, получены представления классического и обобщенного тензоров несовместности, обобщенных уравнений (уравнений Б.Е.Победри), уравнений в перемещениях (Ламе) и уравнений в перемещениях и вращениях моментной теории как при изотермических, так и неизотермических процессах при новой параметризации области тонкого тела. Даны представления законов термодинамики и теплопроводности Фурье, а также уравнения притока тепла, граничных и начальных условий при новой параметризации.

4. Построена теория моментов относительно полиномов Лежандра и Чебышева. Получены моменты важных выражений и упомянутых выше дифференциальных операторов. Найдены выражения для момента k-го порядка произведения двух функций на произвольную степень поперечной координаты x3.

Получены системы уравнений движения и притока тепла и определяющих соотношений (ОС) физического и теплового содержаний в моментах для теории тонких тел. Выведены граничные и начальные условия в моментах. При этом получены системы уравнений движения нулевого и первого приближений в моментах как классической (в тензоре напряжений), так и моментной (в тензорах напряжений и моментных напряжений) МДТТТ, а также системы обобщенных уравнений в напряжениях нулевого и первого приближений в моментах. Выведены системы уравнений в перемещениях, перемещениях и вращениях нулевого и первого приближений в моментах как при изотермических, так и неизотермических процессах, а также системы уравнений притока тепла нулевого и первого приближений в моментах. В случае тел с двумя малыми размерами рассматриваются моменты искомых величин (m,n) порядков.

5. Получены ОС классической и моментной теорий и закон теплопроводности Фурье нулевого приближения и приближения порядка r в моментах как для однородного, так и неоднородного относительно x3 материала. Найдены выражения для граничных условий физического и теплового содержаний (первого, второго и третьего родов) на лицевых поверхностях и выведены системы (-) (+) (-) (+) (-) (+) µ µ уравнений для нахождения векторов-функций P, P, µ, µ и функций T, T, µ µ позволяющих записать ОС в нормированных моментах. Даны определения систем уравнений в моментах приближения (r, N), а также систем законов Гука и теплопроводности Фурье в нормированных моментах приближения (r, N) при не упрощенной схеме приведения бесконечной системы к конечной и в моментах приближения (r, N) при упрощенной схеме приведения бесконечной системы к конечной. Рассмотрены частные случаи приближений. Получены граничные условия физического и теплового (второго и третьего родов) содержаний на граничном контуре в моментах приближения (r, N). Кроме того, выписаны кинематические и тепловые (первого рода) граничные условия на контуре и начальные условия в моментах приближения N. Даны различные формы записи уравнений движения и притока тепла как для классической, так и для моментной теории упругости, а также законов Гука и теплопроводности Фурье в моментах приближения (r, N) при рассматриваемых параметризациях области тонкого тела. В случае тонких тел с двумя малыми размерами рассматриваются соответствующие соотношения в моментах приближения (r, M, N).

6. Рассмотрены различные способы построения линейно независимых изотропных, гиротропных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров.

Сформулированы утверждения и теоремы, позволяющие построить эти тензоры. Построены линейно независимые вышеуказанные тензоры с первого до шестого ранга включительно, когда компоненты тензора не обладают никакой симметрией и в том случае, когда имеются разные виды симметрии.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»