WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 132 страницы печатного текста. Библиография содержит 123 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации Во введении определяются задачи и формулируются цели исследования.

Здесь же обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, указываются методы исследования, кратко излагаются основные результаты.

Первая глава посвящена исследованию асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (2).

В § 1.1 дана биологическая мотивация выбора исследуемой модели. Приводятся примеры конкретных видов популяций, развитие особей которых соответствует сделанным в этом параграфе допущениям.

В § 1.2 приводятся определения устойчивости, характеризуются методы исследования, цитируются необходимые теоремы.

В § 1.3 ставится задача исследования, цитируются теоремы об устойчивости, необходимые для дальнейшего изложения, вводится определение области асимптотической устойчивости уравнения (2).

Определение 1 Область асимптотической устойчивости уравнения (2) это множество D(k, m) таких пар (a, b), что нулевое решение уравнения (2) с данными коэффициентами a, b и запаздываниями k, m асимптотически устойчиво.

В § 1.4 сформулирована и доказана лемма, в которой определяются натуральные числа j, s, необходимые для полного решения задач первой главы Лемма 1 Пусть натуральные числа k, m взаимно просты и k > m.

Тогда существует пара натуральных чисел (j, s), такая что |mj - ks| = 1, j < k, s нечетно. (3) Если m нечетно, то такая пара единственна; если m четно, то таких пар ровно две: в одной j четно, в другой нечетно.

Основной результат первой главы изложен в § 1.5. Здесь сформулирована Теорема 1 Пусть k, m взаимно просты и k > m. Нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда пара (a, b) есть внутренняя точка конечной области, ограниченной линиями I. a + b = 1, sin k sin m II. a =, b = -, sin(k - m) sin(k - m) III. (-1)ma + (-1)kb = 1, sin k sin m IV. a = (-1)m, b = -(-1)k, sin(k - m) sin(k - m) j s где значения изменяются между и ; здесь j, s натуральные числа, k m удовлетворяющие условию (3).

Здесь же делаются замечания, приводятся примеры, дается иллюстрация областей асимптотической устойчивости для различных четностей запаздываний k, m (см. рис. 1). Область асимптотической устойчивости обладает важным свойством симметрии. А именно, справедлива Лемма 2 Пусть k, m взаимно просты и k > m. Тогда если (a, b) D(k, m) (см. определение 1), то ((-1)ma, (-1)kb) D(k, m).

b b k нечетно, k четно, 1 m = 1 m = a a 1 -1 --1 -k нечетно, k четно, k нечетно, b b b m нечетно, m нечетно, m четно 1 1 m > 1 m > a a a -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -Рис. 1. Области асимптотической устойчивости уравнения (2); k, m взаимно просты; k > m. Выделена общая для всех k, m область устойчивости |a| + |b| < 1.

§ 1.6 содержит леммы, необходимые для доказательства теоремы 1. В лемме 1.6.1 определяются условия неустойчивости нулевого решения уравнения (2), тем самым отсекаются лишние области на плоскости (a, b). В лемме 1.6.фиксируются свойства нулей годографа на действительной оси комплексной плоскости: локализация в интервалах, движение по оси при изменении коэффициента a. В лемме 1.6.3 описано поведение годографа в точках его пересечения с действительной осью на комплексной плоскости, а именно, направление таких пересечений. Лемма 1.6.4 носит сугубо технический характер.

В лемме 1.6.5 устанавливается связь между расположением нулей годографа уравнения (2) на действительной оси, их нумерацией и натуральными числами из лемм, изложенных в § 1.4.

В § 1.7 приводится доказательство основной теоремы (теорема 1) первой главы об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (2).

В § 1.8 проводится сравнение областей асимптотической устойчивости для различных запаздываний k, m по квадрантам плоскости (a, b). Для этого введено на множестве пар натуральных чисел бинарное отношение больше“.

” Определение 2 Будем говорить, что (k1, m1) (k2, m2) в квадранте Qrt = {(a, b) : (-1)ra 0, (-1)tb 0} (r, t = 0, 1), если D(k1, m1) Qrt D(k2, m2) Qrt. Будем говорить, что (k1, m1) (k2, m2) в Qrt, если D(k1, m1) Qrt = D(k2, m2) Qrt. Будем говорить, что пары (k1, m1) и (k2, m2) несравнимы в Qrt, если в Qrt неверна дизъюнкция (k1, m1) (k2, m2) или (k2, m2) (k1, m1) или (k1, m1)(k2, m2). (4) Результаты сравнения областей асимптотической устойчивости отражены в следующей теореме.

Теорема 2 Пусть (k1, m1), (k2, m2), (k3, m3), (k4, m4) четыре пары взаимно простых натуральных чисел, пусть kr > mr (1 r 4).

1. Имеет место соотношение (k1, m1) (k2, m2) в Q00.

2. Пусть k1 и k2 нечетны, k3 и k4 четны.

2.1. Если k1 < k2, m1 m2 или k1 k2, m1 < m2, то (k1, m1) (k2, m2) (k3, m3) (k4, m4) в Q10.

2.2. Если k1 > k2, m1 < m2, то (k1, m1) и (k2, m2) несравнимы в Q10.

3. Пусть k1 + m1 и k2 + m2 нечетны, k3 + m3 и k4 + m4 четны.

3.1. Если k1 < k2, m1 m2 или k1 k2, m1 < m2, то (k1, m1) (k2, m2) (k3, m3) (k4, m4) в Q11.

3.2. Если k1 > k2, m1 < m2, то (k1, m1) и (k2, m2) несравнимы в Q11.

4. Пусть m1 и m2 нечетны, m3 и m4 четны.

4.1. Если k1 < k2, m1 m2 или k1 k2, m1 < m2, то (k1, m1) (k2, m2) (k3, m3) (k4, m4) в Q01.

4.2. Если k1 > k2, m1 < m2, то (k1, m1) и (k2, m2) несравнимы в Q01.

Эта теорема дает возможность для любых пар запаздываний либо установить, какой член дизъюнкции (4) имеет место, либо констатировать несравнимость пар. Это продемонстрировано на следующем примере.

П р и м е р. Положим, в уравнении (2) мы имеем возможность управлять запаздываниями, выбирая 82 k 89, 63 m 69. Для каждого квадранта укажем такие пары (k, m), которые доставляли бы максимальные области асимптотической устойчивости. Для этого каждую пару (k, m) из предписанного диапазона сократим на общие делители (см. таблицу 1). Теорема 2 дает следующие результаты. В Q00 все области одинаковы; в Q10 максимальная область устойчивости при (k, m) = (85, 68) (5, 4); в Q11, так же, как в Q01, при (k, m) = (84, 63) (88, 66) (4, 3).

В § 1.9 приводятся примеры и даются комментарии к теореме 2. Даются рекомендации по увеличению области асимптотической устойчивости посредством управления запаздываниями.

В § 1.10 проводится сравнение результатов первой главы с ранее известными результатами. Указаны преимущества результатов диссертации перед конкурирующими работами.

В § 1.11 представлена программа Delays&Stability, разработанная автором диссертации. Указаны функциональное назначение, область применения, используемые для разработки программы технические средства и расТаблица 1.

(k, m) 63 64 65 66 67 68 82 (82,63) (41,32) (82,65) (41,33) (82,67) (41,34) (82,69) 83 (83,63) (83,64) (83,65) (83,66) (83,67) (83,68) (83,69) 84 (4,3) (21,16) (84,65) (14,11) (84,67) (21,17) (28,23) 85 (85,63) (85,64) (17,13) (85,66) (85,67) (5,4) (85,69) 86 (86,63) (43,32) (86,65) (43,33) (86,67) (43,34) (86,69) 87 (29,21) (87,64) (87,65) (29,22) (87,67) (87,68) (29,23) 88 (88,63) (11,8) (88,65) (4,3) (88,67) (22,17) (88,69) 89 (89,63) (89,64) (89,65) (89,66) (89,67) (89,68) (89,69) сматриваются примеры применения. В одном из примеров по заданным коэффициентам уравнения (2) находится список всех пар взаимно простых запаздываний k, m, обеспечивающих асимптотическую устойчивость этого уравнения.

В другом примере по заданной паре запаздываний и приближенным значениям коэффициентов указываются возможные изменения коэффициентов, при которых сохраняется асимптотическая устойчивость уравнения (2).

Листинг основных файлов программы приводится в приложении к диссертации.

Во второй главе рассматривается модель (1) динамики популяций. Для удобства мы изучаем уравнение xn-m xn =, (5) 1 + xn-m + xn-k которое получается из (1) линейной заменой переменной xn и в отношении устойчивости ведет себя в точности так же, как уравнение (1). Здесь получены достаточные условия, а для некоторых комбинаций запаздываний k, m необходимые и достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в этой модели.

В § 2.1 ставится задача и дается определение глобальной асимптотической устойчивости. Это понятие введено следующим образом.

Рассмотрим нелинейное разностное уравнение s-го порядка xn = F (xn-1,..., xn-s), n = 0, 1,..., (6) где F непрерывная функция своих аргументов, F : Rs R+. Каждое реше+ ние (xn) уравнения (6) однозначно определяется начальными условиями n=xi = i, i > 0, -s i -1, (7) где i – заданные константы (положительность требуется для содержательной интерпретации). Пусть xn x стационарное решение уравнения (6).

Определение 3 Стационарная траектория xn x уравнения (6) назы вается глобально асимптотически устойчивой, если она локально асимптотически устойчива и lim xn = x для любых начальных условий (7).

n В § 2.2 излагаются основные результаты второй главы, сформулированные в следующих теоремах.

Теорема 3 Если > 1, 0, то для любых запаздываний k, m N условие < 1 достаточно для глобальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения уравнения (5).

При некоторых запаздываниях k, m указанное в теореме 3 условие глобальной асимптотической устойчивости является неулучшаемым. Этот результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 4 Если > 1, 0, запаздывания k и m взаимно просты, k нечетно, m четно, то условие < 1 является необходимым и достаточным для глобальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения уравнения (5).

Замечание 1 Если порядок уравнения (1) большой, а запаздывания не взаимно просты k = dk1, m = dm1 (d > 1), то можно понизить порядок уравнения, сократив запаздывания на наибольший общий делитель d, и перейти к исследованию уравнения меньшего порядка.

В § 2.3 доказываются леммы к теоремам 3, 4, отражающие важное свойство перманентности (ограниченности сверху и отделимости от нуля) всех траекторий модели (5).

В § 2.4 приводятся доказательства теорем 3, 4.

В § 2.5 проводится сравнение теорем 3, 4 с ранее известными результатами. Здесь же с привлечением результатов первой главы сравниваются области локальной и глобальной асимптотической устойчивости уравнения (5). В конце параграфа указаны некоторые открытые вопросы, и приводятся рекомендации по управлению западываниями для увеличения области устойчивости в плоскости параметров.

На рисунке 2 проиллюстрированы для сравнения результаты теорем 3, второй главы диссертации, теоремы 1 первой главы диссертации и результаты, которые получили V.L. Kocic и G. Ladas (области глобальной устойчивости G1 и G2).

В третьей главе исследуется асимптотическая устойчивость ненулевого стационарного решения двух вариантов дискретного логистического уравнения с двумя запаздываниями.

В § 3.1 ставится задача. Интересным объектом исследования в нелинейной динамике14 является дискретное логистическое уравнение xn = (a - bxn-1)xn-1. (8) Запаздывания в (8) введены двумя различными способами. Получены слеМун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир. 1990.

неуст. неуст.

неуст. глоб. уст.

Gглоб. уст.

1 a) m = 1, k = 1, 2 б) m > 1, m четно неуст. неуст.

Gнеуст. неуст.

лок. уст.

лок. уст.

1 глоб. уст. глоб. уст.

k-1 k-в) m = 1, k > 2 г) m > 1, m нечетно Рис. 2. Области устойчивости уравнения (1) с взаимно простыми запаздываниями k, m. Области глобальной устойчивости G1 = {(, ) | > 1, > 0 } и G2 = k-(, ) 1 <, > 0 получили V.L. Kocic и G. Ladas.

k-дующие уравнения:

xn = axn-m - bxn-kxn-m, (9) xn = axn-m - bx2. (10) n-k Результатом линеаризации уравнений (9), (10) вокруг их стационарного реa - шения xn = yn + являются линейные уравнения вида (2). Это соответb ственно уравнения yn = yn-m - (a - 1)yn-k, (11) yn = ayn-m - 2(a - 1)yn-k. (12) В этой главе представлено независимое от первой главы диссертации решение задачи об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (11), (12). Примененный нами метод исследования позволяет обнаружить качественный эффект: влияние делимости запаздываний k, m в уравнениях (11), (12) на устойчивость. Кроме того, полученные результаты удалось представить в общей для уравнений (11), (12) форме.

Результаты об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (11), (12) позволили получить необходимые и достаточные условия локальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения нелинейных уравнений (9), (10).

В § 3.2 доказываются теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (11) и о локальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения нелинейного уравнения (9). Ввиду очевидной связи между этими теоремами, приведем текст только одной.

Теорема 5 1) Если a < 1, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво.

2) Если k делится на m, то при выполнении неравенства 1 < a < 1 + 2 sin (13) k 2(2 - 1) m нулевое решение уравнения (11) асимптотически устойчиво; при a > 1 + 2 sin (14) k 2(2 - 1) m оно неустойчиво.

3) Если k не делится на m, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво при любых a = 1.

В § 3.3 рассматриваются уравнения (10) и (12). Для этих уравнений здесь решены аналогичные с § 3.2 задачи.

Теорема 6 1) Если |a - 2| > 1, то нулевое решение уравнения (12) неустойчиво.

2) Если 1 < a < 3 и k делится на m, то при выполнении неравенства 5-3a arccos k < (15) -3a2+8a-m arccos 2a нулевое решение уравнения (12) асимптотически устойчиво; при 5-3a arccos k > (16) -3a2+8a-m arccos 2a оно неустойчиво.

3) Если k не делится на m, то нулевое решение уравнения (12) неустойчиво при любых a = 1.

Далее переформулирован текст теоремы 5, для сближения его с текстом теоремы 6.

Теорема 7 1)Если |a - 2| > 1, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво.

2) Если 1 < a < 3 и k делится на m, то при выполнении неравенства -(a-1) arccos k < (17) 2-(a-1)m arccos нулевое решение уравнения (11) асимптотически устойчиво; при -(a-1) arccos k > (18) 2-(a-1)m arccos оно неустойчиво.

3) Если k не делится на m, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво при любых a = 1.

В § 3.4 проведено сравнение интервалов устойчивости для уравнений (11), (12) и уравнения a - yn = yn-m - yn-k, (19) a которое происходит от модели Пиелоу с двумя запаздываниями axn-m xn =. (20) 1 + bxn-k В таблице 2 указаны области асимптотической устойчивости нулевого реk шения уравнений (11), (12), (19) при N. Эти области суть интервалы m (1, a) тех значений параметра a, при которых нулевое решение соответствующего уравнения асимптотически устойчиво.

Таблица 2.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»