WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

2. Стабилизация в расширенной области G, т.е. интегрирование нестационарной системы уравнений в G с нулевыми краевыми условиями, где в качестве начального условия взята проекция, полученная на предыдущем шаге.

3. Стабилизация в исходной области, т.е. интегрирование системы уравнений с полученными граничными условиями следом на, определенного в G, решения.

В формулировку алгоритма входит циклическое повторение операции продолжения – проектирования (п.1) через равные промежутки времени при интегрировании в G. В таком виде он применяется в реальных расчетах. Формальное описание алгоритма в общем виде дается в §4.2.

В §2.3 проводится дискретизация задачи по пространству и времени. Основная часть этой работы уже была проделана в §1.2 в области. В области G сеточные области Gu и Gp строятся аналогично. При этом выполняется свойство вложения u Gu, p Gp. Разностные аналоги нелинейных членов N(u, u) ukux строятся симметричным образом. Для дискретизации k эволюционной задачи (4) с краевыми условиями u|G = 0 используется проекционная схема Чорина – Темама. В численных экспериментах уравнения, составляющие разностную схему, на каждом шаге решались методом минимальных невязок (GMRES) и методом сопряженных градиентов.

В §2.4 описываются некоторые детали решения вспомогательной спектральной задачи в расширенной области G. Приводятся необходимые для анализа процесса стабилизации собственные числа соответствующих спектральных задач в G и в.

В §2.5 приводятся результаты численных экспериментов по стабилизации и их подробный анализ. Введем дискретный аналог показателя из (5) по формуле (tk) = ln vk-1 - ln vk /. В основе анализа лежит поведеh h ние функции (t) в процессе стабилизации. Изучаются четыре типа задач:

1. Устойчивая задача Стокса (Re = 0, = 0);

2. Неустойчивая задача Стокса (Re = 0, = 2);

3. Устойчивая задача Навье – Стокса (Re = 1, = 0);

4. Неустойчивая задача Навье – Стокса (Re = 1, = 2).

Остановимся на результатах расчета последней задачи, которая представляет собой наиболее общий и сложный случай. При = 2 три младших собственных значения становятся отрицательными, при этом тривиальное решение из устойчивого превращается в неустойчивое. Чтобы противостоять неустойчивости, необходимо выбрать K > 3. Для достижения достаточно высокой скорости стабилизации зададимся K = 7. Это приводит к ожидаемому показателю стабилизации = K+1(G) - 2.38. На рис. 2 изображены результаты стабилизации в области G, на рис. 3 в области.

В зададим сеточную область 32 32, в G 32 64, шаг по времени = 0.01, частоту реортогонализации каждые 10 шагов.

21.31 3.19.42 2.17.52 2.15.63 1.13.74 1.11.84 1.9.95 0.8.06 0.6.17 -0.4.27 -0.2.38 -0.0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.Рис. 2 (t) в G Рис. 3 (t) в График в G имеет осцилляции в начале. Если увеличить K или Re то осцилляции резко возрастут по своей амплитуде и длине временного интервала.

Это эффект нелинейности задачи: проектирование ведется лишь на касательное пространство к многообразию M-. Затем график приобретает идеальный характер, демонстрируя выход показателя стабилизации на предсказанную асимптотику 2.38, что полностью соответствует дифференциальной теории экспоненциального затухания возмущения. Затухание осцилляций с течением времени связано с тем, что решение переходит в окрестность нуля, где M- и L- достаточно близки.

График в имеет две характерных особенности. Первая это несколько больших немонотонных скачков на первых шагах интегрирования. Она является следствием полученных граничных условий. Вторая особенность это неконтролируемое падение к значению 1() - -1. Объяснение состоит в том, что реортогонализация проводится в области G, где этого эффекта нет. В области же имеются свои неустойчивые собственные функции, коэффициенты при которых монотонно растут, а у нас отсутствует инструмент их подавления. Существенным является то, что описываемое изменение (t) происходит, когда падение нормы возмущения достигает 3·1011 на промежутке интегрирования, т.е., по сути, когда цель стабилизации достигнута.

Итоговыми являются эксперименты по стабилизации с большими значениями Re. Они показывает, что из-за осцилляций в G стабилизация невозможна уже при Re = 8. Это ограничение является следствие используемого линейного приближения M- в численном алгоритме стабилизации.

Глава 3 посвящена численному и аналитическому решению спектральной задачи, связанной с устойчивостью течения Куэтта. Она формулируется для оператора, получающегося линеаризацией уравнений Навье – Стокса в окрестности течения Куэтта. Рассматриваются численные методы решения спектральной задачи, в основе которых лежит метод Арнольди; иллюстрируется сходимость спектра дискретной задачи к спектру дифференциальной при измельчении сетки, поведение спектра при изменении числа Рейнольдса; возникновение неустойчивости при решении нестационарных уравнений Навье – Стокса с увеличением числа Рейнольдса и ее связь со спектром.

В §3.1 дается постановка краевой и спектральной задач для уравнений Навье – Стокса. Исходная система, для которой при подходящих числе Рейнольдса Re и периоде T решение не единственно, имеет вид:

vr r r -vr + + Re - v + vrvr + vzvz + pr = 0, r2 r v -v + + Re vvr + vrvr + vzvz = 0, r2 r (6) z z -vz + Re vrvr + vzvz + pz = 0, (rvr)r + (rvz)z = 0, v r=r = 1, v r=r = 0, vr| = vz| = 0, 0 2 1 где = + +, а вектор скорости v = {vr(r, z), v(r, z), vz(r, z)} r2 r r zи давление p(r, z) определены в плоской области = [0, T ] [r0, r1]. Здесь и далее все функции периодичны: v(r, z) = v(r, z + T ), p(r, z) = p(r, z + T ).

Оператор в (6) представим как сумму линейного L и нелинейного N, перейдем к уравнениям для возмущения u = v - w, где w какое-либо стационарное решение, отбросим нелинейные члены по u; тогда в компактном виде задачу можно записать так:

L(u) + Re [N(u, w) + N(w, u)] + G(p) = 0, div u = 0, u| = 0. (7) Полученные уравнения представляют собой линеаризацию нелинейной задачи (6) в окрестности своего решения w. Таким решением является течение Куэтта. При достаточно больших Re задача (6) имеет решение, отличное от течения Куэтта вихри Тейлора. Спектральная задача, связанная с устойчивостью течения Куэтта, имеет вид:

L(u) + Re [N(u, w) + N(w, u)] + G(p) = u, div u = 0, u| = 0. (8) В §3.2 проводится дискретизация задачи. Для дискретизации введем в равномерную прямоугольную сетку. Пусть каждая из дискретных компонент вектора скорости u определена в узлах сетки, а дискретное давление в центрах ячеек. Теперь сеточные аналоги дифференциальных операторов h, div, h, Nh определяются стандартным симметричным образом.

h В §3.3 дается описание алгоритмов, используемых для численного решения сеточного аналога задачи (8). Основным является метод Арнольди, который предназначен для решения частичной проблемы собственных чисел и векторов для несимметричных матриц. Применительно к нашим задачам в качестве оператора A возьмем оператор A-1, сопоставляющий правой части f задачи (7) ее решение u. Найдем несколько максимальных собственных чисел оператора A-1. Тогда обратные к ним величины будут искомыми минимальными собственными числами. Качество полученных приближений измеряется с помощью невязок s = L-1ys - -1ys.

s h В §3.4 дается аналитическое решение спектральной задачи.

Теорема 2. Обозначим µ = - m2. В некоторых случаях задача (8) имеет аналитическое решение:

1. Re = 0, ur = 0, u = 0 : J0( r0)/J0( r1) = Y0( r0)/Y0( r0), 2. Re = 0, ur = 0, uz = 0 : J (µr1) = Y1(µr0)/Y1(µr), 1 1(µr0)/J 3. Re = 0, u = 0, u = 0 : J1( r0)/J1( r1) = Y1( r0)/Y1( r0), z 4. Re = 0, u = 0 : µ1 - im2 = 0, (9) Здесь Jm(r), Ym(r) функции Бесселя и Im(r), Km(r) модифицированные функции Бесселя. Второе уравнение, как и четвертое задает для каждого целого m > 0 бесконечную серию собственных чисел. Первая и третья формулы дают еще пару бесконечных серий собственных чисел (достаточно громоздкие выражения для, мы здесь не приводим).

Теорема 2 также дает явный вид собственных функций.

В §3.5 дается численное решение спектральной задачи (8) и его анализ.

Положим r0 = /2, r1 = 3/2. T = 2. Зафиксируем сетку 32 32 в u.

С ростом Re задача становится все более несимметричной и результаты расчетов показывают, что в спектре появляются комплексные собственные значения. Появление значений с отрицательной действительной частью и увеличение их количества с ростом числа Рейнольдса также является ожидаемым результатом и соответствует росту неустойчивости течения Куэтта.

В §3.6 анализируется численное решение эволюционных уравнений Навье – Стокса при разных числах Рейнольдса (для их решения использовалась схема Чорина – Темама, описанная в §4.3). В качестве начального условия берется возмущенное течение Куэтта, временной интервал [0, 100], шаг по времени 0.01, сеточная область u та же, что и в спектральной задаче.

Расчеты показывают, что полученные результаты вполне соответствуют ожидаемым с ростом Re неустойчивость течения Куэтта появляется примерно с появлением собственных чисел с отрицательной вещественной частью, а при дальнейшем росте Re неустойчивость увеличивается.

Приведем функцию тока решения при Re = 32, t = 100.0. Изображенное на рис. 4 течение имеет вид классических вихрей Тейлора.

Решение, которое в начальный момент времени представляло собой слабо возмущенное течение Куэтта, с течением времени эволюционировало в вихри Тейлора.

Рис. 4 Вихри Тейлора В Главе 4 строится алгоритм стабилизации неустойчивых решений уравнений Навье – Стокса в самом общем несимметричном случае с применением обратной связи. Проводится полный вычислительный цикл по стабилизации неустойчивого течения Куэтта и анализ наблюдаемых явлений.

В §4.1 дается постановка задачи стабилизации. Эволюционные уравнения, соответствующие стационарной задаче (6) после переноса решения в окрестность течения Куэтта w в обозначениях §3.1 примут вид:

ut + L(u) + Re [N(u, u) + N(u, w) + N(w, u)] + G(p) = 0, (10) div u = 0, u|t=0 = u0.

В этих уравнениях при больших Re неустойчивым является нулевое решение, а устойчивым вихри Тейлора за вычетом течения Куэтта. Поэтому стабилизации здесь подвергается нулевое решение, а задачей является построение таких граничных условий u|r=r на части границы области, которые обеспечивают стремление возмущения u к нулю с оценкой (5). Причем начальное возмущение u0 бездивергентно и тождественно равно нулю на.

В §4.2 формулируется алгоритм стабилизации в дифференциальной форме. Дается его обоснование.

Нам потребуется ввести расширенную область G = (рис. 5), а также несколько видоизмененное скалярное произведение в L2(), что вызвано переходом к цилиндрическим координатам:

T r(u, v)L () = (u, v) r dr dz.

0 rВ расширенной области G помимо спектральной задачи вида (8) нам понадобится решать спектральную задачу формально сопряженную к ней в скалярном произведении (, )L (G).

r Алгоритм стабилизации состоит из шести ша rгов, некоторые из которых выполняются однократно (п.1 – п.3), некоторые циклически (п.4 – п.5), затем непосредственно выполняется стабилизация (п.6) с построенными краевы rми условиями. Перейдем к его изложению. За давшись числом > 0, определяющим скорость стабилизации, найдем K из неравенства rRe(K(G)) < < Re(K+1(G)), предварительно вычислив достаточно большую часть спектра.

T z Рис. 5. Область G 1a. Определение M собственных и присоединенных функций i,j, K i = 1,...K, j = 1,..., µ(i), M = µ(i) в G:

i=L(i,j) + Re [N(i,j, w) + N(w, i,j)] + G(pi,j) = ii,j + i,j-1, div i,j = 0, i,j|G = 0.

где w течение Куэтта в, продолженное нулем в.

1b. Определение M сопряженных собственных и присоединенных функций i,j в G:

L ( i,j) + Re N ( i,j, w) + N (w, i,j) + G(p i,j) = i i,j + i,j-1, div i,j = 0, i,j G = 0.

2. Доопределение u0 с на G, т.е. нахождение функции в области :

L() + G(p) = 0, div = 0, |r=r = u0|r=r, |r=r = 0.

1 1 3. Определение вспомогательных M функций wi,j в области как решений задач Стокса с ограничениями функций i,j на в качестве правых частей:

L(wi,j) + Re [N(wi,j, w) + N(w, wi,j)] + G(qi,j) = i,j, div wi,j = 0, wi,j| = 0.

4. Построение функции 0 продолжения u0 в область G:

u0 в, 0 = (11) K µ(i) + ci,jwi,j в.

i=1 j=Коэффициенты ci,j определяются из условия ортогональности к функциям сопряженной задачи: 0, i,j L2(G) = 0, которое сводится к системе линейных алгебраических уравнений A c = -b с симметричной и положительно определенной матрицей A.

5. Интегрирование (стабилизация) уравнений с построенным начальным условием 0 в области G:

t + L() + Re [N(, u) + N(, w) + N(w, )] + G(p) = 0, div = 0, |G = 0, |t=0 = 0.

Интегрирование происходит с возвратом к п.4 через равные промежутки времени, где процедура проектирования применяется к текущему решению (t).

6. Интегрирование (стабилизация) уравнений с построенным граничным условием u| (следом полученного в G решения на r = r1) в области :

ut + L(u) + Re [N(u, u) + N(u, w) + N(w, u)] + G(p) = 0, div u = 0, u|r=r = 0, u|r=r = |r=r, u|t=0 = u0.

0 1 В §4.3 проводится дискретизация задачи по пространству и времени. Фактически она уже построена в §3.2 в области. В G сеточные области строятся так, чтобы выполнялось свойство вложения u Gu, p Gp. Для дискретизации эволюционной задачи (10) применяется проекционная схема типа Чорина – Темама. В численных экспериментах составляющие ее уравнения решались методом минимальных невязок (GMRES).

В §4.4 описываются некоторые аспекты решения прямой и сопряженной спектральных задач в расширенной области G. Приводятся необходимые для анализа собственные числа прямой спектральной задачи в ; прямой и сопряженной спектральных задач в расширенной области G. Далее для экспериментов фиксируются области, сетки и число Рейнольдса:

= [0, 2] [/2, 3/2], u = 32 32, G = [0, 2] [/2, 5/2], Gu = 32 64, Re = 32.

В §4.5 приводятся результаты численных экспериментов по стабилизации течения Куэтта. В основе анализа, как и прежде, лежит поведение функции (t), которая моделирует поведение показателя скорости сходимости в формуле (5) в процессе стабилизации. Для всех экспериментов зафиксируем ряд параметров: норму начального возмущения u0 = 10-2, интервал интегрирования [0, 10], шаг по времени = 0.01, частоту проектирования t = 0.1.

В качестве размерности проектирующего собственного подпространства M брались величины M = 5, M = 10, M = 16. Рассмотри случай M = 10.

В расширенной области (рис. 6) мы наблюдаем сходимость (t) к 1.M+1(G), то есть стабилизация происходит с наперед заданной скоростью.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»