WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

y ui i=1 ui i=Главные инварианты уравнения (10) имеют вид f f H0 = -D + fu fu + fu, H-1 = -D + fu fu + fu, 1 1 1 u1 uа высшие инварианты определяются по формулам (см. (6)) DD(ln Hi) = -Hi+1 - Hi-1 + 2Hi, i Z.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2. Нелинейное уравнение (8) интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда последовательность инвариантов Лапласа Hn, n = 0, ±1, ±2,... линеаризованного уравнения (10) обрывается с двух сторон.

В третьем параграфе рассматривается задача об описании нелинейных уравнений uxy = f(u, ux, uy), qxy = F (q, qx, qy), (11) Darboux G. Lecons sur la thorie gnrale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. – Paris: Gauthier-Villars. – 1896. – V. 1 - 4. – 513 с., 579 с., 512 с., 547 с.

Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. – 1997.

– V. 89. – № 2. – P. 351 - 375.

линеаризации которых связаны x-преобразованием Лапласа.

Линеаризация второго нелинейного уравнения (11) имеет вид (DD - Fq D - Fq D - Fq)p = 0. (12) Теорема 3.1. Пусть линеаризованные уравнения (10), (12) связаны x– преобразованием Лапласа. Тогда уравнения (11) преобразуются к одному из следующих видов uxy = f(u), qxy = qf (f-1(qy)); (13) q uxy = f(u, ux), qxy = - qx + q, = (qy, q); (14) q q y y uxy = (u)uy + (u), qxy = (-1(qy))(q + (-1(qy))), = ; (15) -1 -uxy = f1(ux) + uy, qxy = f1(f1 (qy))(qx + f1 (qy)); (16) Hq uxy = f1(u, ux) + (u)uy + (u), qxy = -H qx+ qy (17) +H1 (q + (H(q, qy))), H = H(q, qy), =.

qy Преобразования Беклунда, связывающие уравнения (13) – (17) задаются следующими формулами q = ux, qy = f(u);

q = ux, qy = f(u, ux);

q = ux - (u), qy = (u);

q = ux - u, qy = f1(ux);

q = ux - (u), qy = f1(u, ux) + (u) соответственно.

Вторая глава посвящена классификации интегрируемых нелинейных уравнений uxy = f(u, ux, uy) (18) со специальными правыми частями f(u), f(u, ux), f(ux, uy), основанная на исследовании структуры характеристической алгебры Ли. Для уравнения синус-Гордона построен базис характеристической алгебры.

Определение 0.3. Функция F = F (u, u1, u1, u2, u2,..., un, un) называется симметрией уравнения (8) если она удовлетворяет определяющему уравнению f f f DDF = DF + DF + F. (19) u1 u1 u Исследование классификационной задачи основано на следующем утверждении:

Лемма 4.1. Пусть u-решение уравнения (18) и векторные поля Z и Z имеют вид Z = i, i = i(u, u1, u1, u2,..., un ), i ui i= Z = i, i = i(u, u1, u1, u2,..., un ), i = 1, 2,....

i ui i=Если [D, Z] = 0 и [D, Z] = 0, то Z = 0 и Z = 0 соответственно.

В четвертом параграфе проведена классификация уравнений КлейнаГордона uxy = f(u). (20) Вычисление высших симметрий Ли-Беклунда уравнения (20) основано на исследовании характеристических уравненийDW = 0, DW = 0. (21) где функции W и W зависят от конечного числа переменных (9).

Первое соотношение (21) для уравнения (20) перепишем так:

DW = u1 + f + D(f) +... W = (u1X2 + X1)W, u u1 uкоторое эквивалентно системе X1W = 0, X2W = 0. (22) С уравнениями (22) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями X1, X X1 = Di-1(f), X2 =. (23) ui u i=Пусть Ln – линейное пространство коммутаторов образующих длины n-1, n = 2, 3,.... Например, L2 – линейная оболочка векторных полей X1, X2, а Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. – 1982. – Т. 51. – № 1. – С.

10 - 22.

Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв.

РАН. Сер. матем. – 1994. – Т. 58. – № 4. – С. 33 - 54.

Жибер А.В., Гурьева А.М. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. – 2005. – Т. 6. – № 2(13). – С. 26 - 34.

L3 порождается элементом X3=[X1, X2], L4 – коммутаторами X4=[X2, X3], X5=[X1, X3] и т.д. Тогда x-характеристическая алгебра Ли A представима в виде A = Li.

i=Аналогично вводится y-характеристическая алгебра Ли A уравнения (20) A = Li.

i=n Ограничение на порядок роста размерности пространств n = Li, а i=именно не более чем на единицу, по крайней мере на первых шагах (n 6), полностью определяет правую часть уравнения (20) (леммы 4.2 – 4.4). При этом полученный список уравнений совпадает с известным списком интегрируемых уравнений10:

uxy = eu, uxy = eu + e-u, uxy = eu + e-2u.

В пятом параграфе для уравнения синус-Гордона uxy = eu + e-u (24) описана структура x-характеристической алгебры Ли. Введем кратные коммутаторы следующего специального вида Xi...in = adi... adi Xi, adjY = [Xj, Y ].

1 1 n-1 n Тогда линейное пространство n есть линейная оболочка элементов Xi...in, где ik = 1, 2, k = 1,..., n.

Теорема 5.1. Для уравнения синус-Гордона (24) справедливы равенства 2, при n = 2k dim Ln =, k = 3, 4,..., 1, при n = 2k - при этом линейное пространство L2k-1 порождается векторным полем X1...121, а L2k – полями X1...121 и X21...121. Операторы X1, X2, X21, Y3, Y4, Y5, Z5, Y6, Y7, Z7,..., Y2n, Y2n+1, Z2n+1,..., где Yn = Xi...in, i1 =... = in-2 = in = 1, in-1 = 2, Zn = Xi...in, i2 =... = in-2 = in = 1, i1 = in-1 = Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна–Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. – 1979. – Т. 247. – № 5. – С. 1103-1107.

образуют базис характеристической алгебры.

В параграфе 6 рассматривается уравнение uxy = f(u, ux), (25) x- характеристическая алгебра Ли которого порождена образующими (23), а y-характеристическая алгебра – полями i-Y1 = u1 + D (f), Y2 =.

u ui ui=Показано, что уравнение (25) с y-характеристической алгеброй A размерности два принимает вид uxy = uxA(u).

Если dim A = 3, то уравнение (25) приводится к одному из следующих ux uxy = A(ux), A - =, - const, A при Y4 = (Y1 - uxY3), Y5 = 0;

Auxy = e-c u 1 + u2, x при Y4 = (Y1 - uxY3), Y5 = c1(Y1 - uxY3), c1 - const = 0;

Auxy = s(u)ux +, - const = 0, при Y4 = 0, Y5 = 0;

а с x-характеристической алгеброй A размерности два – uxy = A(ux)eku, k - const, k = 0.

Введем следующие обозначения:

Y6 = [Y1, Y5], Y7 = [Y2, Y5], Y8 = [Y3, Y5], Y9 = [Y1, Y6], Y10 = [Y2, Y6].

Теорема 6.1. Пусть dim i = i, i = 2, 3, 4, 5, 6 тогда уравнение (25) приводится к виду ux uxy = s(u)A(ux), s = 0, A = 22 +, - const. (26) A При этом операторы Y4, Y6, Y8, Y10 принимают вид 22 ux Y4 = (Y1 - uxY3), Y6 = -22 Y5, A2 A ux Y8 = - (2ux + A)Y7, Y10 = 22 Y7 + Y8.

A AУравнение (26) при = 0 сводится к следующему:

uxy = s(u)R(ux), s = 0, (ux - R)(R + 2ux)2 = 1. (27) С точностью до сдвигов имеется два различных случая:

s = 3u и s = 1.

В первом случае уравнение (27) связано с уравнением Цицейки uxy = eu + e-2u.

дифференциальной подстановкойv = - ln(ux - R). (28) Во втором случае является уравнением лиувиллевского типа и сводится подстановкой (28) к волновому уравнению vxy = 0.

Теорема 6.2. Пусть dim i = i, dim j = j, i, j = 2, 3, 4. Тогда уравнение (25) сводится к одному из следующих либо uxy = s(u)A(ux), (29) ux где s + c3s + c1s = 0, A - =, c1, c3,, - const;

A либо uxy = A(u)ux + B(u), где A + c3A + c1A = 0, B + c3B + c1B = 0, A = const, c1, c3 - const.

B Например, при c3 = = 0 уравнение (29) имеет вид uxy = s(u) 1 + u2, c1s + s = 0, c1 - const. (30) x C точностью до сдвигов и растяжений в (30) имеется три различных решения этого уравнения:

s = sin u, s = u и s = 1.

В первом случае уравнение (30) связано с уравнением синус-Гордона дифференциальной подстановкой v = arcsin ux + u, во втором – подстановкой v = arcsin ux. В третьем случае (30) является уравнением лиувиллевского типа и сводится подстановкой v = arcsin ux к волновому уравнению vxy = 0.

А также описаны уравнения (25) с x- и y-характеристическими алгебрами Ли при dim i = i, dim j = j, i = 2,..., 6, j = 2, 3, 4.

В седьмом параграфе рассматривается уравнение uxy = f(ux, uy), (31) характеристическая алгебра Ли которого порождена образующими:

X1 = u1 + f + D(f) +... и X2 =.

u u1 u2 uПоказано, что уравнение (31) с x-характеристической алгеброй размерности два принимает вид uxy = uyA(ux), а при dim A = 3 приводится к одному из следующих:

uy uxy = B(uy), B - =,, - const;

B uxy = A(ux)(uy + 1), - const.

Теорема 7.1. Если размерность пространств i равна i, а пространств j равна j, i, j = 3, 4, то уравнение (31) принимает вид uy ux uxy = A(ux)s(uy), A - = 1, s - = 2, A s i - const, i = 1, 2.

1 При этом X4 = (X1 - uyX3), Y4 = (Y1 - uxY3).

s2 AВ восьмом и девятом параграфах главы 3 перечислены уравнения (18) с конечномерной характеристической алгеброй Ли размерности 2, 3, 4, а также уравнения, для которых выполнены условия n dim n n + 1, m dim m m + 1, n, m = 2,..., 6.

Уравнение (18) с характеристической алгеброй Ли A размерности два приводится к виду uxy = A(u, ux)uy, при этом X3 = X1 (лемма 8.1).

uy Получен полный список уравнений (18) с характеристической алгеброй размерности три (лемма 8.2). Приведем одно уравнение из этого списка 1 ux uy uxy = p(ux)r(uy), p + =, r + =, - const, = 0.

u p r Теорема 9.1. Размерность пространства 4, порожденного операторами длины 1, 2 и 3, равна четырем тогда и только тогда, когда X4 + c1(X1 - uyX3) + c2X5 = и выполняется одно из следующих соотношений для правой части уравнения (18):

либо uy f = c ux cuduy + B, cu + =, y c c(32) B = B(u, ux), c = c(u, uy), где c1 =, c2 = 0,, - const, cлибо функция f удовлетворяет соотношениям fu + fu fu - uyfuu - ffu uy - cfu uy = 0, x y y x y (33) D(c) - cfu - (uyfu + ffu ) = 0, c = c(u, uy), y x где c1 = 0, c2 =, c2 = 0.

c Рассматривая y-характеристическую алгебру Ли, получим "симметричный" вариант (теорема 9.2.).

При выполнении условия (32) и аналогичного условия из симметричной теоремы 9.2 уравнение (18) приводится к виду:

ux uy uxy = K(u)L(ux)B(uy), L + =, B + =, (34) L B где,,, - const (лемма 9.1).

Если размерность характеристической алгебры A равна четырем, то функция K уравнения (34) удовлетворяет соотношению (лемма 9.2) K = K2, - const.

K Пусть dim 5 = 5. Если dim 6 = 6, то уравнение (34) точечной заменой приводится к виду uxy = K(u)L(ux)B(uy), K - 2KK - 4K3 = 0, (ux - L)(L + 2ux)2 = 1, (uy - B)(B + 2uy)2 = которое связано с уравнением Цицейки vxy = ev + e-2v дифференциальной подстановкой 1 v = - ln(ux - L) - ln(uy - B) + P (u), 2 где функция P (u) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения P - 2KP - 3K - 2K2 = 0.

В десятом параграфе более подробно рассматривается уравнение (18) со специальной правой частью вида f(u, ux, uy) = K(u)L(ux)B(uy), (35) которая удовлетворяет соотношениям (33) теоремы 9.1.

Лемма 10.1. Уравнение (18) с правой частью (35), удовлетворяющей системе (33), приводится к виду K uxy = K(u) 1 - u2 1 - u2, = K2. (36) x y K Уравнение (36) является уравнением типа Лиувилля и размерность его характеристической алгебры равна трем.

В параграфе 11 расcматривается уравнение (34), для которого линейное пространство L6 порождено двумя образующими X8, X9, т.е. dim 6 = 7, при условии, что = = uxy = K(u) 1 - u2 1 - u2. (37) x y Введем операторы длины“ 6:

” 3uX10 = [X2, X8] = X8, X11 = [X1, X8], 1-uX12 = [X2, X9], X13 = [X1, X9] и положим: s(u) = K(u).

Теорема 11.1. Пусть размерность пространства 7 для уравнения (37) равна девяти. Тогда uX11 = -3ss u1(X1 - u1X3) + (3s2 + µ)u1X5 + X9.

1 - uА функция s удовлетворяет соотношению вида s - 2s3 - µs = 0, µ - const. (38) Отметим, что модифицированное уравнение синус-Гордона (37), (38) (мСГ) в значительно более громоздкой форме впервые возникло в работе А.В. Борисова, С.А. Зыкова11. Последнее заменой v = arcsin ux + arcsin uy + P (u), P = 2K - 2K2 - µ, Борисов А.Б., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрий и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. – 1998. – Т. 115. – № 2. – С. 199-214.

сводится к уравнению синус-Гордона.

В двенадцатом параграфе рассмотрено применение характеристической алгебры для описания высших симметрий для уравнения мСГ. В терминах образующих характеристической алгебры построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка, обратный к последнему является оператором рекурренции.

Характеристическая алгебра уравнения мСГ порождена образующими u1uX = - s2b2u1 +..., Y = sb + (s u1b - s ) +..., u u2 u1 b uгде b = 1 - u2.

x Теорема 12.1. Дифференциальный оператор Y + sпереводит высшие симметрии порядка n в симметрии порядка n - 2. Оператор рекурренции u1u2 u3 u1uD2 + 2 D - u1D-1( D + D + 3s2u1D+ b2 b2 b+3ss u2 - ss + u2) + s2 + u1 определяет алгебру симметрий уравнения мСГ.

В случае, если s 2 - ss + s4 = 0, то уравнение мСГ точечной заменой приводится к виду uxy = 1 - u2 1 - u2 (39) 1 cos u Это уравнение является интегрируемым по Дарбу12. Для уравнения (39) построен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии.

Теорема 12.2. Оператор b Y + us симметрию F переводит в интеграл W уравнения (39). А оператор s u2 -1 s b + D - D s b2 b s интеграл - в симметрию.

Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв.

РАН. Сер. матем. – 1994. – Т. 58. – № 4. – С. 33 - 54.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна – Гордона // Межвузовский научный сборник, УГАТУ. – 2004. – С. 131 - 144.

[2] Муртазина Р.Д. Векторные поля интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений // IV Региональная школа- конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Материалы конференции. – Уфа. – 2004. – С.

15.

[3] Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических уравнений // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ. – 2005. – С. 39 - 40.

[4] Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли интегрируемых уравнений Клейна-Гордона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: ОПиПМ. – 2006. – Т. 13. – № 3. – С. 525-526.

[5] Жибер А.В., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ.

– 2006. – Т. 7. – № 2. – С. 131 - 136.

[6] Жибер А.В., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения uxy = f(u, ux) // ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»