WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

В данной главе предложен анзац для получения конечномерных уравнений, которые описывают взаимодействия импульсов. При этом предполагается, что исходное уравнение в частных производных имеет вариационную формулировку. Параметрами анзаца являются моменты импульса и коэффициенты тейлоровского разложения фазы.

Рассмотрены два простейших анзаца для описания взаимодействия двух импульсов. В первом случае основными параметрами являются нулевой момент (энергия) импульса и нулевой член в тейлоровском разложении фазы в точке максимума амплитуды импульса. В этом случае удается построить точное решение для конечномерной системы, описывающей взаимодействие двух импульсов. Во втором случае берутся первый момент и первый член в разложении фазы. При этом нулевой момент и нулевой член разложения фазы вычисляются аналитически без учета взаимодействия импульсов.

Рассматривается взаимодействие импульсов в гамильтоновой системе Y H i =, z Y которое получается из вариационного принципа + + i Y i Y S = Y - Y dt + H dz, (66) 2 z 2 z - где гамильтониан системы H есть функционал от Y (z, t). В качестве основного примера рассмотрено уравнение 0 0 iYz + d Ytt + c(z)e-iR eiR Y eiR Y = 0, R0 = R0(z), =, (67) tкоторое имеет гамильтониан + Y c(z) H = d - eiR Y dt. (68) t Нелинейное уравнение Шредингера получается при R0 = 0, c = c0.

В параграфе 5.1 дано описание локализованных импульсов, записанных в полярной форме Y (z, t) = B(z, t) exp(i(z, t)), где B(z, t) и (z, t) есть амплитуда и фаза импульса, с помощью коэффициентов разложения фазы в ряд Тейлора (z, t) = (z, t - X(z)) = n(z) (t - X(z))n = n(z)tn, (69) n=0 n=где X(z) положение центра импульса, и центрированных моментов и импульса + + Mn(z) = B2(t - X(z))ndt, P (z) = B2 dt.

t - В результате получается бесконечная система для канонических переменных (P, X) и (Mn, n).

Рассмотрена простейшая аппроксимация при (z, t) 0(z) = 0(z) и B(z, t) = µ(z)f(z, t-X(z)), где f(z, t-X) есть произвольная функция такая, что f2(z, s)ds = 1. Используя простейшую аппроксимацию для гамильтониана (68) получен конечномерный гамильтониан H = C1(z)M0 - C2(z)M0, (70) + + df c(z) C1(z) = d dt, C2(z) = eiR f dt, dt - который легко интегрируется z M0(z) = M0(0), 0(z) = 0(0) - (C1(s) - 2C2(s)M0) ds.

Полученное решение существенно зависит от выбора функции f, поэтому для правильного задания f необходимо использовать априорную информацию. Если коэффициенты c(z) и R0(z) периодичны с единичным периодом, то периодическое решение получается из общего решения. Коэффициенты Cи C2 зависят от ширины импульса T, поэтому это условие задает связь между шириной T и энергией M0 для периодического решения.

В параграфе 5.2 рассмотрено взаимодействие двух импульсов в виде Y = Y1 + Y2. В общем случае импульс характеризуется положением, амплитудой и шириной и соответствующими скоростями изменения этих параметров. Однако в данном параграфе рассмотрена простейшая аппроксимация в предположении, что импульсы неподвижны и имеют постоянную ширину и форму.

Yk(z, t) = bk(z)fk(t) exp{ik(z)}, k = 1, 2, (71) где fk(t) - форма k-го импульса, fk dt = 1 и фаза зависит только от z.

Действие для данного представления импульсов имеет вид d1 dS = ( b2 + ab1b2 cos(1 - 2) + b2 + ab1b2 cos(1 - 2) + (72) 1 dz dz + db1 dba b2 - b1 sin(1 - 2) + H ) dz, a = f1f2dt, (73) dz dz где H – гамильтониан и a – параметр перекрытия импульсов.

Вводя новые переменные r, R, s, S b2 - b2 b2 + b1 2 1 x1 = r = 1 - 2, x2 = R =, x3 = s = 1 + 2, x4 = S = 2 0.--0.--0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 Distance Distance Рис. 3: Сравнение фазы для разных рас- Рис. 4: Сравнение положений максимустояний между импульсами. Более глад- мов модуля при разных значения малого кие кривые соответствуют случаю уда- параметра. Прямые линии соответствуленных импульсов. ют отсутствию отклонений максимума для больших расстояний между импульсами.

и преобразуя их подходящим образом, можно записать исходную систему в гамильтоновом виде с гамильтонианом H = d S + S2 - R2 cos(r)(2 ln a + 1)a + (74) +2c0(S2 + R2) + (c1 + c2 cos(2r))(S2 - R2) + +2c3 S2 - R2 (S cos() cos(r) + R sin() sin(r)), полученном из (68). Для этой системы получено точное решение в виде r = n, R = 0, S = const и переменная s находится из уравнения ds 1 H + = 0, dz 1 + a cos(n) S здесь H = d (1 + a cos(n) + 2a ln(a) cos(n)) S +2 (2c0 + c1 + c2 + 2c3 cos() cos(n)) S.

Условие на периодическое решение легко получается.

Для исследования точности полученного вариационным методом решения было найдено численное решение для исходного уравнения (67). Для сравнения взаимодействия импульсов на далеком и близком расстояниях приведены Phase Position of maximum рисунки поведения численного и точного решений. Например, на рисунке видно качественное различие поведения фазы. Для разнесенных импульсов фаза ведет себя достаточно гладко. Для близких импульсов фаза импульсов начинают подстраиваться, что приводит к резкому изменению фазы. Рисунок 4 демонстрирует изменения положения максимума для импульсов. Если максимумы разнесенных импульсы двигаются практически независимо, то положение максимумов для близких импульсов расходятся и сближаются синхронно. На представленных рисунках сплошная линия соответствует периодическому решению, полученному вариационным методом и пунктирная линия соответствует численному решению с такими же начальными данными. Все приведенные рисунки показывают достаточно хорошее совпадение указанных решений.

В конце параграфа приведено приближенное решение по малому параметру перекрытия импульсов a.

В параграфе 5.3 также рассматриваются взаимодействия двух импульсов. Решение ищется в виде Y = Y1 + Y2, Yk(z, t) = M0k(z)fk(z, t - Xk(z)) exp{i0k(z) + i1k(z)(t - Xk(z))}, (75) 2 где fk(z, t) – форма k-го импульса, fk (z, s)ds = 1 и sfk (z, s)ds = 0.

Чтобы уменьшить количество неизвестных параметров, параметры нулевого порядка (M0k(z), 0k(z)) находятся из предположения о слабом взаимодействии импульсов. Кроме того рассматриваются только импульсы одинаковой формы Yk(z, t) = Nf(t - Xk(z)) exp{ik(z, t)}, k = 1, 2, (76) где N = M0 – постоянная амплитуда импульсов, форма импульсов с шириной T описывается функцией вида f(t)=exp(-(t/T )2/4)/(2)1/4/ T, k(z, t) = k0(z) + k1(z)(t - Xk(z)) – разложение фаз. При этом нулевой член разложения фазы можно записать в следующем виде 0k(z) = 0k(0) + (z)/2, где (z) известная функция и (0) = 0.

Перейдя к новым зависимым переменным X1 + X2 X1 - XS =, R =, s = 11 + 21, r = 11 - 21, (77) 2 получается действие R2+r2 dr dR R2+r2 ds 2 S = ( Ne- R cos(r0 - sR) + Nr + Ne- r sin(r0 - sR) + dz dz dz R2+r2 dS N s + e- (s cos(r0 - sR) + R sin(r0 - sR)) dz R2+r2 d N 1 + e- cos(r0 - sR) + H ) dz, dz где r0 = 01(0) - 02(0), H – гамильтониан. Поскольку система, получающаяся из этого действия, сохраняет величину R2+rP = s + e- (s cos(r0 - sR) + R sin(r0 - sR)), то ее порядок может быть уменьшен. В результате приближенных преобразований исходная система сводится к канонической гамильтоновой системе с одной парой сопряженных переменных (r, R).

Для сравнения решений проведены расчеты для импульсов с разными начальными положениями и фазами.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты Содержанием диссертации являются результаты, полученные автором в ходе разработки фундаментальных основ для решения крупной научной проблемы связанной с построением приближенных математических моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами. В частности получены следующие основные результаты:

1. Разработан фундаментальный метод построения и исследования математических моделей на основе метода нормальных форм для специальных классов моделей, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентам. Построена нормальная форма Пуанкаре для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и с главной частью в виде линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Построена новая нормальная форма для класса градиентных систем с кососимметричной структурной матрицей и положительной квадратичной характеристической функцией. Доказана теорема об асимптотическом расщеплении скобки Пуассона на невырожденную (симплектическую) скобку Пуассона и вырожденную (транверсальную) скобку Пуассона. В качестве конкретного применения получены и исследованы приближенные математические модели описываемые уравнениями гидродинамического типа.

2. Решена фундаментальная проблема геофизической гидродинамики, связанная с математическим моделированием геострофического приспособления начальных данных для скорости ветра и давления в рамках модели вращающейся мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. В случае зависимости от одной пространственной переменной доказаны существование и единственность для установившегося сбалансированного состояния, показано отсутствие захваченных волн при геострофическом приспособлении, найдены критерии образования сингулярности. В двумерном случае проведено полное разделение быстрых и медленных движений, построены приближенное инвариантное медленное многообразие и уравнения движения на нем.

3. Предложены математические модели для описания инерционно-гравитационных волн во вращающейся мелкой воде в средних широтах и на экваторе. Найдены точные колмогоровские решения кинетического уравнения для коротких инерционно-гравитационных волн, которые имеют анизотропный спектр близкий к линейному, с помощью применения и развития метода слабой волновой турбулентности.

4. Получены усредненные модели распространения оптических импульсов в волоконных линиях передачи информации, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами, с использованием различных методов усреднения и обоснованы условия применимости. Получены аналитические решения усредненных моделей. Разработан и опробован эффективный численный алгоритм для нахождения периодических локализованных решений усредненной модели. Разработана квазилинейная модель для описания распространения оптических импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с большой вариацией периодических коэффициентов, на основе которой предложен эффективный численноаналитический метод нахождения решений.

5. Предложен вариационный метод получения малопараметрических гамильтоновых моделей для описания взаимодействия импульсов. Найдено точное решение для модели взаимодействия двух импульсов. Показана применимость построенных моделей для математического моделирования взаимодействия двух импульсов.

Публикации автора по теме диссертации.

Основные публикации в ведущих рецензируемых журналах:

[1] Медведев С. Б. Асимптотическая нормальная форма скобки Пуассона для одномерных моделей жидкости // Вестник Новосибирского госуниверситета. – 2005. – Т. 5. – Вып. 4. – С. 3-12.

[2] Medvedev S.B., Zeitlin V. Weak turbulence of short equatorial waves // Physics Letters A. – 2005. – V. 342. – P. 269-290.

[3] Медведев С. Б. Теорема Дарбу для распределенных гамильтоновых систем // Вестник Новосибирского госуниверситета. – 2004. – Т.4. – Вып.1.

– С. 37-55.

[4] Курикалова М. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и импульс // Вестник Новосибирского госуниверситета. – 2004. – Т. 4. – Вып. 1. – С. 30-46.

[5] Медведев С. Б., Федорук М. П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами // Письма в ЖЭТФ. – 2004. – Т. 79. – Вып. 1. – С. 19-24.

[6] Медведев С. Б. Нормальные формы для градиентных систем с кососимметричной стуктурной матрицей // Вычислительные технологии. – 2003.

– Т. 8. – № 6. – С. 60–69.

[7] Курикалова М. А., Медведев С. Б., Федорук М. П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических импульсов в волоконных линиях связи // Вычислительные технологии. – 2003. – Т.

8. – Специальный выпуск – С. 77-85.

[8] Turitsyn S. K., Shapiro E. G., Medvedev S. B., Fedoruk M. P., Mezentsev V. K. Physics and mathematics of dispersion-managed optical solitons // Comptes Rendus Physique. – 2003. – V. 4, – Iss. 1. – P. 145-161.

[9] Курикалова М. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза // Вестник Новосибирского госуниверситета. – 2003. – Т. 3. – Вып. 1. – С. 37-55.

[10] Wingen A., Spatschek K. H., Medvedev S. B. Averaged dynamics of optical pulses described by a nonlinear Schrodinger equation with periodic coefficients // Physical Review E. – 2003. – V. 68. – N. 4. – P. 046610-21.

[11] Le Sommer J., Medvedev S., Plougoonven R., Zeitlin V. Singularity formation during relaxation of jets and fronts toward the state of geostrophic equilibrium // Communications in Nonlinear Sciences and Numerical Simulations. – 2003. – V. 8. – Issues 3-4. – P. 415-442.

[12] Zeitlin V., Medvedev S., Plougoven R. Frontal geostrophic adjustment, slow manifold and nonlinear wave phenomena in one-dimensional rotating shallow water. Part 1. Theory // Journal of Fluid Mechanics. – 2003. – V. 481. – P.

269-290.

[13] Medvedev S. B., Styrina O. V., Musher S. L., Fedoruk M. P. Path-averaged optical soliton in double-periodic dispersion-managed systems // Phys. Rev.

E. – 2002. – V. 66. – N. 6. – P. 0666071-066076.

[14] Medvedev S. B., Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Turitsyna E. G. The theory of optical communication lines with a short-scale dispersion management // ЖЭТФ. – 2002. – Т. 121. – Вып. 5. – С. 1040-1050.

[15] Turitsyn S. K., Turitsyna E. G., Medvedev S. B., Fedoruk, M. P. Averaged model and integrable limits in nonlinear double-periodic Hamiltonian systems // Phys. Rev. E. – 2000. – V. 61. – N. 3. – P. 3127-3132.

[16] Medvedev S. B. The slow manifold for the shallow water equations on f-plane // Journal of the Atmospheric Sciences. – 1999. – V. 56. – P. 1050-1054.

[17] Medvedev S. B., Turitsyn, S. K. Hamiltonian averaging and integrability in nonlinear systems with periodically varying dispersion // Письма в ЖЭТФ.

– 1999. – Т. 69. – Вып. 7. – С. 465-470.

[18] Medvedev S. B. Poincare normal forms for partial differential equations // Proc. R. Soc. Lond. A. – 1999. – V. 455. – Iss. 1991. – P. 4061-4075.

[19] Falkovich G., Kuznetsov E., Medvedev S. Nonlinear interaction between long inertio-gravity and Rossby waves // Nonlinear Processes in Geophysics. – 1994. – V. 1. – No. 2/3. – P. 168-171.

[20] Falkovich G. E., Medvedev S. B. Kolmogorov-like spectrum for turbulence of inertial-gravity waves // Europhysics Letters. – 1992. – V. 19. – N. 4. – P.

279-284.

Дополнительные публикации в сборниках и трудах конференций:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»