WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

Показано, что 1dRSW модель допускает нелинейные периодические волновые решения с амплитудами, ограниченными сверху некоторым ограничивающим значением. В данном разделе этот факт демонстрируется в лагранжевом описании.

Исследованы разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных. Проведенный анализ дает следующее:

1. если начальный относительный вихрь Q - J = av достаточно отрицательный, разрушение всегда происходит вне зависимости от начальных условий;

2. если относительный вихрь положительный, так же как и производные инвариантов Римана в первоначальный момент, разрушения никогда не происходит.

Следовательно, в контексте приспособления получение ударных волн на антициклонной (отрицательный относительный вихрь) стороне струи должно быть более легким. Поскольку один из инвариантов Римана всегда имеет отрицательную производную для ступенчатых профилей высоты, ударные волны всегда должны получаться путем простого приспособления высоты (без vI), как наблюдалось при численном моделировании (Kuo & Polvany, 1997). Представляется, что производство ударных волн во время приспособления фронтообразных возмущений неизбежно.

В конце параграфа дано лагранжево описание осесимметричной мелкой воды с помощью радиального уравнения для импульса. Форма этого уравнения аналогична форме найденной в прямоугольном случае; преимущество лагранжевой формулировки применимо также и в этом случае.

В заключительном части параграфа обсуждаются полученные результаты.

Глава 3 посвящена построению колмогоровских решений для кинетических уравнений, описывающих турбулентность коротких инерционногравитационных волн.

В параграфе 3.1 приведены стандартные сведения по теории слабой волновой турбулентности для трехволновых и четырехволновых взаимодействий.

В параграфе 3.2 рассмотрены инерционно-гравитационные волны в средних широтах. Для достаточно коротких волн (по сравнению с радиусом Россби) можно приближенно считать, что параметр Кориолиса является постоянным. Это позволяет выделить уравнение для инерционно-гравитационных волн, полагая, что потенциальный вихрь постоянен q = (f +vx-uy)/h = f/h0.

Уравнения движения для инерционно-гравитационных волн принимают простую гамильтоновскую форму H H =, = - (2b), t t где гамильтониан есть H = H2 + H3, H2 = (x - f-1y)2 + (y + f-1x)2 + 2 dxdy, H3 = (x - f-1y)2 + (y + f-1x)2 dxdy.

После перехода к нормальным переменным и исключения трехволнового гамильтониана возникает следующий универсальный гамильтониан H = k|ak|2dk + T1234ak ak ak ak (k1 + k2 - k3 - k4) dk1dk2dk3dk4.

3 1 Для коротких волн закон дисперсии становится близким к линейному, но не является масштабно-инвариантным k ck 1 +. (44) 2(k)Трехволновые матричные коэффициенты в этом случае масштабно-инвариантны и совпадают с матричными коэффициентами для потенциальных движений двумерной сжимаемой жидкости. Но четырехволновой матричный элемент не пространственно-инвариантен. Однако, используя преобразование состоящее в растяжении волновых векторов и углов между ними, найдены два стационарных решения кинетического уравнения. Распределение 1/n(k) P k-14/3 (45) соответствует постоянному потоку энергии P. Распределение n(k) Q1/3k-13/3 (46) соответствует постоянному потоку волн Q. Спектральная плотность энергии будет в этом случае иметь вид k = ck2nk. Локальным является только второе решение. В заключении параграфа полученное решение сравнивается с другими известными спектрами для турбулентных волн в атмосфере.

В параграфе 3.3 рассмотрены инерционно-гравитационные волны на экваторе. Район экватора в атмосфере и океане требует отдельного рассмотрения, потому что вертикальная компонента угловой скорости Земли меняет знак на экваторе. В настоящем параграфе рассмотрены короткие экваториальные волны. Вследствие ограниченной геометрии экваториального волновода динамика экваториальных волн является хорошим кандидатом для применения теории слабой волновой турбулентности, которая требует ансамбля большого числа слабовзаимодействующих волн со случайными фазами.

В главе 1 были получены уравнения для коротких инерционно-гравитационных волн (16). В терминах коэффициентов Фурье уравнения для инерционно-гравитационных волн принимают стандартную гамильтонову форму.

Гамильтониан в нормальных переменных имеет вид H = H2 + H3, где kx 2 H2 = k | bk |2 dk, k = k -, k = kx + ky, (47) 2 kи частота k является положительной для достаточно коротких волн. Добавка H3 имеет стандартную форму, где в главном порядке по малому параметру неоднородности матричные элементы имеют вид k1(k2, k3) + k2(k3, k1) + k3(k1, k2) 2U123 = V123 = 18. (48) k1k2kЗакон дисперсии инерционно-гравитационных волн не является изотропным или масштабно-инвариантным для каждого направления, поэтому проведен дополнительный анализ получающихся кинетических уравнений. Вид получившихся решений существенно зависит от распадного или нераспадного характера дисперсионного закона. Анализ показал, резонансные триады существуют 1) в относительно широком секторе вокруг оси x в правой полуплоскости k пространства; 2) в двух достаточно узких сегментах вокруг оси y. За исключением узких сегментов вокруг оси y больше не существует резонансных триад в левой полуплоскости k пространства. Причем все резонансные триады образуются почти параллельными волновыми векторами.

Таким образом получаются различные кинетические уравнения для различных областей фазового пространства в зависимости от того, разрешены или запрещены резонансные триады, соответственно.

В распадном случае применимо кинетическое уравнение с трехволновым интегралом столкновений. Используя преобразование, состоящее из растяжения волновых векторов и углов между ними, найдено стационарное решение кинетического уравнения N = k-3. Соответствующая плотность спектральной энергии на единицу k дается выражением = kkNk = k-1. Четырехволk новой интеграл столкновений факторизован таким же образом в нераспадной области фазового пространства. Найдены два стационарных решения колмогоровского типа: N = k-4 и N = k-11/3.

В конце параграфа обсуждается западно-восточная асимметрия колмогоровского спектра.

Глава 4 посвящена построению решений и их исследованию для нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с периодическими коэффициентами, описывающего распространение световых импульсов в оптических волоконных линиях передачи информации.

Нелинейное уравнение Шредингера возникает при описании многих физических явлений. Это одно из универсальных уравнений в современной физике. Если коэффициенты постоянны, то нелинейное уравнение Шредингера может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния. Однако если возникает потребность в учете неоднородности в коэффициентах, то замечательное свойство интегрируемости исчезает, но тем не менее необходимость в нахождении решений остается. В последующих двух главах уравнение Шредингера рассмотрено в контексте нелинейной волновой оптики, где это уравнение описывает распространение световых импульсов в оптических волокнах.

В параграфе 4.1 выполнено гамильтоново усреднение для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами A H i = {A, H} = = -d(z)Att - c(z) | A |2 A, (49) z A с гамильтонианом + H = d(z) | At |2 -c(z)/2 | A |4 dt, (50) где функция A есть огибающая электромагнитного поля, периодическая функция d(z) с периодом T1 описывает дисперсию и T2-периодическая функция c(z) описывает колебания мощности, которые возникают за счет наличия потерь и усиления в линии.

После преобразования Фурье и усреднения по z получается уравнение + i - d 2 + T ( + 1 - 2 - 3)23d1d2d3 = 0. (51) z 2 2 T () = c(z) exp{iR(z)}dz, = 2 + 1 - 2 - 3. (52) С помощью квазилинейного преобразования это уравнение приводится к нелинейному уравнению Шредингера, если выполняются условия T () - T(0) 1, (53) и совершая обратные преобразования можно найти приближенные решения исходного уравнения (49).

В параграфе 4.2 получены усредненные уравнения для НУШ с периодическими коэффициентами, которые обобщают все известные до этого модели, и имеют максимальный диапазон применимости. Усреднение проводилось методом Боголюбова, и дано сравнение с другими методами усреднения, такими как многомасштабный метод и метод, основанный на технике преобразований Ли.

Для упрощенной версии усредненного уравнения ivz + d vtt + c |v|2v = cR2 N2(v), (54) с d O(), c O(), и R O(), где N2(B) := 2(|B|2B) + B22B + 2|B|22B - 4B|B|+2(B2B - 2|B|2B) + 2B(B)2, (55) найдены солитонные решения, которые имеют в главном порядке светлый и темный солитон. Для симметричной двухступенчатой дисперсионной карты получено решение в виде светлого солитона ( d > 0) уравнения (54) 16 cR2 d v(z, t) = sech(t)ei d z 1 + 4 (56) c 3 c 64 cR2 19 998 1 + sech2(t) - sech4(t) + 8 - + sech2(t) 8 105 3 c 509 10372 + sech4(t) - sech6(t) + sech8(t).

70 105 Для малых значений 0.01 усредненный солитон и солитонное решение u очень близки друг к другу и имеют sech-форму.

Для более сильного дисперсионного управления усредненный солитон v теряет свою sech-форму. Рисунок 1 показывает квадрат абсолютной амплитуды v (прерывистая линия) и u (сплошная линия) на логарифметической шкале для = 0.1. Функции u и v показывают характерное поведение при сильном дисперсионном управлении. В последнее время, так называемые дисперсионно-управляемые солитоны (ДУ-солитоны) были исследованы только численно и аналитическая форма была неизвестна. На данных рисунках обнаруживается регулярные понижения с каждой стороны от центра импульса. С помощью использованной здесь теории возмущений было получено до трех понижений с каждой стороны от центра.

10-10--4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t Рис. 1: Квадрат амплитуды |u(z, t)|2 настоящего солитона при z = 0 (сплошная линия) и усредненного солитона |v(z, t)|2 (прерывистая линия) в логарифметической шкале для = 0.1 и = 1.

В конце параграфа дано обсуждение полученных усредненных уравнений и сравнение с другими аналогичными результатами.

В параграфе 4.3 приведено описание численного моделирования усредненного нелинейного уравнения Шредингера (51), описывающего динамику оптических импульсов в оптических линиях связи с переменной дисперсией.

Солитонное решение ищется в виде (, z) = () exp(i2z).

Для двухступенчатой системы без затухания матричный элемент T является действительной функцией T = c0 sin(s)/(s), где s т.н. напряжение карты и c(z) = c0. Другой важный пример действительного ядра интегрального оператора T – крупномасштабная линия с переменной дисперсией. Для |u(z=0,t)|, |v(z,t)| K = Lossless 10-10-10-10--4 -2 0 2 Time Рис. 2: Прерывистая линия соответствует ДУ-солитону при K = 1 (два усилителя на дисперсионном периоде), а сплошная ДУ-солитону в рамках модели без потерь с d = 0.01.

короткомасштабного управления T имеет комплексный вид.

Для нахождения солитонного решения используется итерационный метод, предложенный Петвиашвили. Идея метода основывается на аппроксимации ядра T () подходящим набором функций. Эта аппроксимация позволяет применить быстрое вычисление сверточных интегралов и уменьшить число операций до M N log2(N), где M зависит от аппроксимации T ().

Для вычислений рассмотрены два случая дисперсионного управления. В случае крупномасштабного двухступенчатого дисперсионного управления с L Za дистанция усиления равна Za (км) и L = 2K ·Za (км), где K = 1, 2,....

Функция c(z) имеет вид c(z) = c0 exp(-2z), если 0 < z < 1. Матричный элемент T () для этой системы записывается в виде sin[X K] 1 cos[X] 2 X G + T (X) = c0B(G) +, (57) K (1 + [2X/lnG]2) sin[X] lnG G - Za d d G - X = =, B(G) =.

2 L 4 K G ln G При численном моделировании значение коэффициента дисперсии выбиралось d = 2. На рисунке 2 представлено распределение мощности точного солитонного решения уравнения (51) для матричного элемента (57). ПрерыPower вистая линия соответствует ДУ-солитону при K = 1 (два усилителя на дисперсионном периоде), а сплошная линия солитону в рамках модели без потерь. При больших K (K 30) форма солитона не меняется и близка к солитонному решению модели без потерь.

Короткомасштабное дисперсионное управление осуществляется при L Za. При дистанции усиления Za, определенной выше, для двухступенчатой дисперсионной карты период компенсации составит L = Za/J (км). Матричный элемент T123 имеет автомодельную структуру T123 = c0B(G) · F (a, Z, Y ), (58) iY Z e(1-a)Z+iaY - F (a, Z, Y ) = 1 + 1 - · e-iaY/2. (59) Z - iY eZ - 1 (1 - a)Z + iaY a Величина B является функцией только коэффициента усиления G = e2Z и не зависит от J. F (a, Z, Y ) является функцией от параметра a и комбинации величин Z = ln G/J и Y = d/J.

В параграфе 4.4 для описания распространения оптических импульсов в волоконных световодах используется обобщенное нелинейное уравнение Шредингера B 2B i + d(z) + (z)|B|2B = iG(z)B, (60) z tгде B – комплексная огибающая электромагнитного поля и периодические коэффициенты d(z), (z), G(z) описывают дисперсию, нелинейность и усиление (потери). Пусть начальные условия для данного уравнения имеют вид B(t, 0) = B0(t).

Линейная часть уравнения исключается через преобразование B(z, t) = eg(z)+i(R(z)+ d z)X(z, t), (61) z z где g(z) = G(s)ds, R(z) = (d(s) - d )ds. Уравнение для X принимает 0 форму Xz = ic(z)e-i(z) ei(z)X ei(z)X. (62) Это уравнение решается с помощью простых итераций. Для вычислений делается только одна итерация. Кроме того, для практических приложений представляет интерес нахождение решения в точках zn = n после n периодов. Для случая, когда периодический член R(z) значительно превышает линейный член d z в представлении функции (z) = d z + R(z) можно сделать еще одно упрощение для решения z X(t, z) = B0(t) + i c(s)e-iR(s) eiR(s)B0(s) eiR(s)B0(s) ds + O( d z).

(63) Тогда легко найти решение после n периодов B(t, n) = ei d n(B0(t) + nX(t)). (64) Первый член в уравнении (64) описывает линейную эволюцию начального решения, а второй дает нелинейную поправку к решению. Отметим, что функция X(t) описывает нелинейные эффекты. Поправка X(t) может быть найдена численно для произвольной функции B0(t) или аналитически для специфических начальных условий B0(t).

Для начальных данных в виде бесконечной последовательности гауссовых импульсов k B0(t) = e-p t2-qkt-rk (65) k нелинейная поправка X(t) вычисляется аналитически, что позволяет проанализировать взаимодействие импульсов от расстояния между ними.

Решения, полученные на основе предложенного алгоритма для решения уравнения Шредингера (60), показали хорошее совпадение с численными решениями, полученными с помощью симметричного метода расщепления по физическим процессам.

В качестве примера были рассмотрены реальные волоконные линии с распределенной накачкой.

Глава 5 содержит 3 раздела, в которых дано описание построения подходящих пробных функций для решения нелинейного уравнения Шредингера вариационным методом.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»