WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

В первом примере для уравнений мелкой воды во вращающейся системе координат ut + uux + vuy - fv + ghx = 0, vt + uvx + vvy + fu + ghy = 0, (8) ht + (uh)x + (vh)y = 0, (9) где u, v – компоненты вектора скорости, h – глубина жидкости, g – ускорение свободного падения, f – параметр Кориолиса, получена нормальная форма Пуанкаре для длинноволновых движений t + if - iDf-1ghD - ighD(Df-1) - i(Dgh)(Df-1) -i(Df-1)D | |2 -2i | |2 D(Df-1) = 0, (10) ht + [gh2/2 + h | |2, f-1] = 0, (11) где | |2= и [f, g] = fxgy - fygx = i(DfDg - DfDg) означает Якоби ан f и g. Здесьвведены обозначения = (u + iv)/ 2, = (u - iv)/ 2, D = (x + iy)/ 2, D = (x - iy)/ 2. Длинноволновое приближение означает, что оператор D мал по сравнению с радиусом Россби. Эти уравнения содержат только резонансные члены второго порядка относительно малого D. Существенно, что параметр Кориолиса f считается положительной функцией от пространственных переменных.

Во втором примере построена нормальная форма Пуанкаре для уравнений мелкой воды на бета плоскости при малой неоднородности и малой нелинейности. Первое означает, что параметр Кориолиса взят в виде линейной функции f = f0+y, где считается малым относительно постоянной части f0 для масштабов движения порядка радиуса Россби R = c/f0. Второе предположение означает, что скорость и отклонение свободной поверхности = h - hz являются малыми величинами относительно скорости звука c = gh0 и высоты покоящейся жидкости h0. После преобразования Фурье и диагонализации главной линейной части нормальная форма первого порядка дается следующими уравнениями с квадратичной нелинейностью (0) ak + ikak + Uklmalamd = 0, (12) t (0) bk + i(k - iBk )bk + Vklmalbmd = 0. (13) t kВ этой форме дисперсионный закон для волн Россби k = - возникает k в первом порядке, и дисперсионный закон для инерционно-гравитационных 2 волн k = f0 + k2 получает анизотропную добавку -iBk вследствие неоднородности, описываемой бета членом. Добавка -iBk отсутствует в литературе, посвященной уравнениям вращающейся мелкой воды.

Специфическое свойство системы (8)-(9), которым обладает и нормальная форма первого порядка, состоит в отсутствии члена вида Uklmblb d в -m уравнении для волн Россби. В общем случае, выражение такого вида описывает усредненное влияние высокочастотных волн на низкочастотные в общих системах для взаимодействия высокочастотных и низкочастотных волн. В системе (8)-(9) инерционно-гравитационные и волны Россби являются высокои низко- частотными, соответственно.

Принимая во внимание только резонансные члены второго порядка, после подходящего преобразования получена нормальная форма (0) (0) (1) ak + i k - iRk ak + Uklm + Rklm alamd t (2) (3) (4) + Rklmblb d + Rklmnalamandµ + Rklmnalbmb dµ = 0, (14) -m -n (0) (0) (1) bk + i k - iBk - iSk bk + Vklm + Sklm albmd t (2) (3) + Sklmnalambndµ + Sklmnblbmb dµ -n (4) (5) + Sklmnalbmbndµ + Sklmnalbmb dµ = 0, (15) -n где n = (n1, n2), dµ = (k - l - m - n)dldmdn. В этой форме бета член генерирует дополнительную собственную нелинейность для волн Россби, медленный член, образованный инерционно-гравитационными волнами и модуляцию инерционно-гравитационных волн на волнах Россби в более высоких порядках. Дополнительная собственная нелинейность волн Россби включает в себя скалярную нелинейность.

Третий пример дает нормальную форму для коротких волн, описываемых уравнениями мелкой воды на экваториальной бета плоскости f = y.

В полученной нормальной форме, квадратичной по зависимым переменным, уравнения, описывающие инерционно-гравитационные волны, отделяются от уравнений для волн Россби. Эти уравнения могут быть записаны в гамильтоновой форме в физических переменных 0 1 H/ + = 0 (16) z -1 0 H/z t с гамильтонианом 1 H = (1 + z)(2 + 2) + z2 + -1zx dxdy. (17) x y 2 В параграфе 1.2 рассматриваются кососимметричные градиентные системы = Kh = KDy (18) с положительно определенной характеристической функцией h, которая без 2 потери общности имеет вид h(y) = y1 +... +yn и кососимметричной матрицей K. Матрица D этом случае совпадает с единичной матрицей. Предположим, что разложение K по степеням y имеет вид K = K0 + K1 +..., где K0 есть постоянная матрица. Тогда имеет место теорема.

Теорема 4 Пусть характеристическая функция системы (18) является квадратичной и положительно определенной, тогда эта система может быть приведена формальной заменой зависимых переменных к форме = Lz, (19) где в правой части находятся только резонансные члены, и матрица L является кососимметричной.

В качестве примера рассмотрены гидродинамические уравнения для медленных движений неизотермической плазмы, помещенной в магнитное поле H. Магнитное поле Н направлено вдоль оси z и может зависеть от пространственных переменных.

v/t + (v)v = -e/M + [v], /t + divv = 0, (20) 4e = - ( - 0 exp(e/T )) (21) M где v,, M скорость, плотность, масса ионов. потенциал электрического поля и = eH/Mc. Температура электронов T и невозмущенная плотность 0 также считаются неоднородными. В однородном случае эта система описывает два типа волн ионно-звуковые и циклотронные.

В результате получается система, описывающая взаимодействие циклотронных и ионно-звуковых волн с заданной точностью /t K11 0 -K31 /t 0 K22 -K32 + = 0, (22) p/t K31 K32 K33 -K43 p q/t 0 0 K43 K44 q где 1/2 c2 c2 1/0 0 K11 = i(f + D D1/2 + 1/2D D 0 ), K31 = 1/2z - (z ), 2f 0 0 0 0 2f 1/1/2 c2 c2 1/0 K22 = -i(f + D 0 D1/2 + 1/2D 0 D ), K32 = 1/2z - (z ), 2f 0 0 0 0 2f 1/c0 i0 c0 c0 i0 c0 p p K44 = D D - D D, K33 = 1/2z + z1/2, 20 20 1/2 f 1/2 1/2 f 1/0 0 0 c0 0 c2 0 c2 c0 q q K43 = (1-D D -D D 0 +DDd2)z1/2+ z - z1/2.

0 2f2 0 2f2 1/2 21/2 c0 0 В силу тождества K31 + K32 0, (23) воздействие циклотронных волн на ионно-звуковые в данном приближении отсутствует. Для ионно-звуковых волн имеем систему pt K33 -K43 p + = 0. (24) qt K43 K44 q В параграфе 1.3 проведено доказательство асимптотической теоремы Дарбу для непрерывных систем.

Теорема 5 Пусть w0(x) = (u0(x), v0(x)) есть произвольная точка на пуассоновом многообразии P. И пусть структурный оператор скобки Пуассона имеет вид J(x; w) = J0 + J1 + J2 +..., (25) где T S 0 An -Bn J0 =, Jn =, n 1, 0 0 Bn Cn S не зависит от w и имеет обратный оператор R. Тогда подходящая замена переменных в окрестности точки w0(x) приводит этот структурный оператор к виду S J =, (26) 0 T где T – вырожденный оператор в точке w0: T (w0) = 0 и не зависит от переменной u.

В качестве первого примера приведено уравнение, описывающие волны Россби в атмосфере, и дрейфовые волны в плазме. Для функций, быстро убывающих на бесконечности, скобка Пуассона этого уравнения приводится к своей постоянной части.

Второй пример – это структурный оператор скобки Пуассона для уравнений вращающейся мелкой воды в переменных u, v, z 0 -(1 + ) x J(x, y; u, v, z) = 1 + 0 y. (27) x y После расщепления в первом порядке структурный оператор принимает вид 0 -1 J0 + J1 = 1 0 0. (28) 0 0 x1y - y1x В параграфе 1.4 доказано предложение для специального класса скобок Пуассона, которые могут быть приведены к произведению канонической и нулевой скобок.

Предложение 1 Если скобка Пуассона имеет вид i -Bi -i 0 -1 J(z; u1, u2, v1) = 1 0 0 +, (29) Bi 0 i=0 0 i 0 где Bi, i не зависят от u1, оператор i является линейным по u1, тогда эта скобка может быть преобразована к следующему виду 0 -1 J0(z; u1, u2, v1) = 1 0 0. (30) 0 0 Приведены соответствующие примеры для одной и двух пространственных переменных.

Глава 2 состоит из 3 параграфов, которые посвящены, соответственно: построению медленного многообразия для двумерных уравнений мелкой воды при постоянном параметре Кориолиса в физическом пространстве; построению быстрого и медленных инвариантных многообразий, нормальных форм Пуанкаре в спектральном пространстве; исследованию фронтального геострофического приспособления в рамках одномерных уравнений мелкой воды.

В параграфе 2.1 рассматриваются безразмерные уравнения вращающейся мелкой воды (8)-(9) при постоянном параметре Кориолиса f. Разделение движений в линейном приближении проводится с помощью замены переменных u = - - +, v = + +, z = +, (31) y y x x x y 2 где = + – лапласиан. Уравнения в новых переменных принимают x2 yвид (1 - ) = u( - 1) + v( - 1), (32) t x y (1 - ) + (1 - ) = ((uz) - u) + ((vz) - v), (33) t x y 2 u u v v - (1 - ) = - u + v + + 2 +, t x y x y x y (34) v u где = - и u, v, z выражаются с помощью (31).

x y Для того, чтобы разделить движения в нелинейной части, делается замена следующего вида + =, = [], = + [], (35) где [], [] являются функциями, аргументы которых есть интегро-дифференциальные операторы от.

С точностью до кубических членов находится формальное решение [] = 2[] + 3[] +..., [] = 2[] + 3[] +..., (36) где 2 2 2[] = 2(1 - )-1-1 -, 2 = (1 - )-1-1[, ], xy x2 y квадратичные члены и 2 2 2 3[] = -1(1 - )-1 [, 2] + 2, - + 2, + x x y y y x +-1(1 - )-2 [(1 - )-1[, ], ] + [, (1 - )-1[, ]], 3[] = -1(1 - )-1 (1 - )[2, ] + [2, ] + [, 2] 2 2 2 + + - + x x y y x x y y 2 -2-1(1 - )-1 2 (1 - )-1[, ] xy xy 2 2 2 - (1 - )-1[, ] - (1 - )-1[, ] x2 y2 y2 x кубические члены в разложении.

Таким образом находится уравнение для медленного многообразия M = {,, : = [], = []} и уравнения движения на нем (1 - ) = [, ] + [, ( - 1)] + ( - 1) + ( - 1). (37) t x y Далее показано, как знание явных уравнений для медленного многообразия позволяет по-новому решить задачу динамической и статической инициализации. В случае динамической инициализации проектирование начальных полей происходит на медленное многообразие ортогонально быстрым переменным. В случае статической инициализации по заданному начальному полю геопотенциала z получается новое уравнение. Чтобы сравнить это уравнение с обычным уравнением баланса 2 2 (z - ) + 2 - = 0, (38) xy x2 yгде = + – функция тока, оставлены только линейные и квадратичные члены и приведены к виду 2 2 (z - ) + 2 - = 0, (39) xy x2 yгде = + (1 - )-1(z - ) и индекс i отброшен. Следовательно, уравнения (38) и (39) имеют одинаковую линейную часть и нелинейные члены (39) переходят в соответствующие члены (38) на масштабах, много меньших радиуса Россби.

В параграфе 2.2 разделение движений проведено в спектральном виде. Поскольку исходные уравнения мелкой воды имеют постоянные коэффициенты, то эквивалентная система для коэффициентов Фурье имеет вид бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. К такой системе можно, по крайней мере формально, применить теорию нормальных форм Пуанкаре для обыкновенных дифференциальных уравнений. В Фурье пространстве хорошо видна особенность уравнений мелкой воды, которая состоит в отсутствии резонансного члена, образованного амплитудами быстрых волн в уравнении для медленных волн. Эта особенность приводит к ряду специальных свойств рассматриваемой модели.

После Фурье преобразования и диагонализации получена система ak + = Uklm alam +Uklmalbm + Uklmalb, (40) m t resonant bk 0 + + ikbk = Vklmalam + Vklmalbm +Vklmalb (41) m t resonant 0 + + Wklmblb + Wklmblbm + Wklmbb, m l m где все матричные элементы известны, и использована компактная запись.

Для этой системы определено быстрое многообразие, которое является аналогом безвихревого движения в классической гидродинамике невязкой жидкости.

Медленное многообразие не может быть определено так же просто, как быстрое многообразие, потому что уравнение (41) содержит член вида Vklmalam, который играет роль внешней силы и генерирует быструю переменную для любой ненулевой медленной переменной ak. Однако приближенное медленное многообразие может быть построено в предположении слабой нелинейности в любом заданном порядке теории возмущений с помощью следующего предложения.

Предложение 2 Любой медленный член в форме Vk1...ia1...ai может быть исключен из уравнения (41) для быстрой переменной bk.

При исключении нерезонансных членов в последующих порядках найдено следующее свойство рассматриваемой системы.

Предложение 3 Уравнение для медленной переменной ak не содержит медленных членов вида Uk1...n(b1b)...(bn-1b).

2 n Таким образом показано, что уравнения для медленной переменной ak в любом порядке содержат лишь собственную нелинейность и модуляцию быстрой переменной bk. Высокочастотная сила, которая могла бы возбуждать медленные движения, отсутствует во всех порядках.

В параграфе 2.3 исследуется проблема нелинейного приспособления локализованных фронтообразных возмущений к состоянию геострофического равновесия (баланса) в рамках уравнений вращающейся мелкой воды без учета зависимости от координаты, проходящей вдоль фронта.

В начале параграфа даны постановка задачи о геострофическом приспособлении и обсуждение известных результатов. Также описаны общие свойства одномерной модели.

Далее, с помощью лагранжева подхода исходная система сводится к одному уравнению для отклонения квазичастиц от своего начального положения X(x, t) = x + (x, t):

1 ghI + f2 + gh I + = fvI. (42) (1 + )2 2 (1 + )Это уравнение должно решаться с начальными условиями (x, 0) = 0;

(x, 0) = uI(x), где uI – начальное распределение продольной скорости. Случай фронтообразного возмущения соответствует hI, uI, vI с общим компактx ным носителем.

С помощью непосредственного применения теории возмущений показано, что в модели нет субинерционных захваченных мод, и частотный спектр является непрерывным. Поэтому все начальные возмущения будут рассеиваться, оставляя лишь стационарную часть s в окрестности начального возмущения. Скорость релаксации к состоянию приспособления будет зависеть от дальнейших деталей потенциального вихря Q(g). Если присутствуют квазистационарные состояния, т.е. состояния, затухающие только путем тоннелирования суббарьеров, скорость затухания будет экспоненциальной, что хорошо известно из квантовой механики (ср. Мигдал, 1977). В противном случае затухание будет дисперсионным, в соответствии с законом t-. Здесь и ниже, "затухание"означает временное уменьшение амплитуды пространственно локализованного возмущения.

Получено уравнение на определение медленного многообразия по начальному потенциальному вихрю gH d2h(X) - + h(X) Q(X) = -f. (43) f dXЗдесь потенциальный вихрь Q считается функцией X путем обратного отображения x = x(X, t) (или a = a(X)):

1 vI(x(X)) Q(X) = f +.

hI(x(X)) x Для него доказана следующая теорема, которая обеспечивает достаточные условия для существования и единственности медленного многообразия.

Теорема 6 Для положительного Q(X) с производными на компактных носителях и произвольной постоянной асимптотикой (фронтальный случай) уравнение (43) имеет единственное ограниченное и везде положительное решение h(X) на R.

Доказательство этой теоремы представлено в отдельном подразделе.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»