WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

В §4 рассматриваются колебательные системы с произвольным числом степеней свободы под действием малого параметрического возбуждения и при наличии малых диссипативных сил. Исследуется поведение мультипликаторов в окрестности точек простого и комбинационного резонансов (в точках резонанса возникают двукратные полупростые мультипликаторы). Выводятся общие формулы первого приближения для областей простого и комбинационного резонансов (областей неустойчивости) в невырожденном случае. Эти формулы записаны в терминах частот и форм собственных колебаний соответствующей невозмущенной консервативной системы. Для двух важных типов периодического возбуждения, определяемых скалярным периодическим множителем или симметрической матрицей возбуждения, области резонансов являются полуконусами в пространстве трех параметров: частоты и амплитуды параметрического возбуждения и параметра диссипации, рис. 4. Хорошо известные образы зон простого резонанса на плоскости частота–амплитуда возбуждения в системах без и при наличии диссипации являются вертикальными сечениями полуконуса плоскостью = const, ограниченными гиперболами. В случае комбинационного резонанса описан феномен дестабилизации малой диссипацией Рис. 4: Полуконус области параметрического резонанса в пространстве параметров.

в терминах бифуркации кратного полупростого мультипликатора.

В §5 исследуется влияние малого периодического по времени возбуждения на устойчивость неконсервативной системы. Предполагается, что автономная система теряет устойчивость статическим (дивергенция) или динамическим (флаттер) способом. Выводятся формулы для аппроксимации границы области устойчивости при наличии малого периодического возбуждения. При этом считается, что система зависит от вектора постоянных параметров. Показано, что граница области устойчивости является гладкой в случае дивергенции автономной системы, но может иметь особенности в случае флаттера. Особенности возникают в случае резонанса между частотой возбуждения и частотой флаттера. Резонансное соотношение имеет вид 2/k при целом k > 0.

Это соотношение похоже на классическое условие простого параметрического резонанса колебательной системы, однако здесь – критическая частота флаттера системы, а не собственная частота колебаний.

Глава 5. Параметрический резонанс в механических системах В пятой главе решаются задачи о параметрическом резонансе в конкретных механических системах. Рассматриваются бесконечномерные системы, которые методом Галеркина или методом конечных разностей сводятся к конечномерным.

В §1 решается задача о комбинационном резонансе для плоской формы балки под действием периодических моментов (задача В.В.Болотина). Изгибно-крутильные колебания балки описываются функциями, зависящими от продольной координаты и времени. В данной системе существенным является комбинационный резонанс, обусловленный взаимодействием изгибной и крутильной форм колебаний одного и того же тона. Используя результаты §4 главы 4, получена общая формула для зон комбинационного резонанса. Численные расчеты области резонанса, проведенные с помощью метода Флоке, хорошо согласуются с полученной асимптотической формулой.

В §2 исследуются колебания упругой балки переменного сечения, нагруженной периодической осевой силой. Рассматривается произвольный периодический закон изменения осевой силы и учитывается внешнее демпфирование. Выводятся общие формулы для зон простого и комбинационного резонансов в терминах собственных частот и мод свободных колебаний балки. Определяются критические значения амплитуды возбуждения и поправки к значениям соответствующих резонансных частот.

В §3 решается задача оптимизации формы балки по критериям параметрического резонанса. Рассматривается плоская балка переменной ширины и фиксированной массы под действием периодической осевой силы. Формулируются две задачи оптимизации: максимизация критической амплитуды силы и минимизация ширины области резонансных частот для заданной зоны резонанса. Показано, что эти задачи эквивалентны при условии малости амплитуды возбуждения и коэффициента внешнего демпфирования. Более того, оптимальное решение оказывается не зависящим от закона периодического изменения силы, коэффициента внешнего демпфирования и номера резонанса, однако существенно зависит от граничных условий. Разработан конструктивный метод оптимизации, в котором задача сводится к минимизации функционала, зависящего только от частот и мод свободных колебаний стержня. Таким образом, нет необходимости использовать метод Флоке в процессе оптимизации. Численно найдены оптимальные решения для шарнирно опертой балки и балок с граничными условиями упругой и жесткой заделки.

Существенно, что предложенный метод может быть использован в других задачах оптимизации по критериям параметрического резонанса.

В §4 приводятся экспериментальные результаты по определению зон параметрического резонанса для однородного и оптимального шарнирно опертых стержней. Эксперименты проводились автором совместно с Х.Ябуно и Х.Канеко в лаборатории нелинейной динамики университета г.Цукуба (Япония). Форма оптимального стержня определяется решением, полученным в предыдущем параграфе. На рис. изображены границы областей параметрического резонанса Рис. 5: Теоретические и экспериментальные границы зоны параметрического резонанса для однородного и оптимального стержней.

на плоскости: частота – амплитуда возбуждающей силы. Пустые и черные кружки обозначают экспериментальные данные для однородного и оптимального стержней, соответственно. Пунктирной и сплошной линиями показаны границы, полученные теоретически. Экспериментальные результаты свидетельствуют о хорошем совпадении с теорией.

В §5 исследуется влияние пульсаций жидкости на устойчивость упругой трубы. Труба консольно закреплена в вертикальном положении со свободным концом внизу. В случае постоянной скорости потока жидкости потеря устойчивости вертикального положения равновесия происходит динамическим способом (флаттер). Критическим является третий тон колебаний. Исследуются нерезонансный и резонансный режимы пульсаций скорости потока жидкости. При определенных значениях параметров системы показано, что в нерезоРис. 6: Граница области устойчивости для трубы, проводящей жидкость, при резонансном режиме пульсаций скорости жидкости.

нансном режиме пульсации стабилизируют систему: критическая средняя скорость потока возрастает (в главном члене – пропорционально квадрату амплитуды пульсаций).

В случае резонанса между частотой пульсаций и критической частотой флаттера 2 наблюдается “провал” на границе области устойчивости, рис. 6 (параметры: частота и амплитуда µ пульсаций и средняя скорость потока u0;

область устойчивости находится под изображенной поверхностью). При этом пульсации могут существенно понизить критическую среднюю скорость потока. Полуконическая особенность, которая реализуется в данном случае, подобна полуконусу области резонанса колебательной системы (рис. 5).

Однако как физические параметры системы, так и сам резонансный эффект в данном случае – другие. В частности, резонанс в данной задаче возможен только на критическом тоне флаттера. При значениях средней скорости потока ниже критической скорости для автономной системы наблюдаются выпуклые области резонанса на плоскости: частота– амплитуда пульсаций (сечения конической части границы горизонтальной плоскостью u0 = const). Это объясняет, почему в данной системе не наблюдаются области резонанса на первом тоне колебаний. Используя симметрию задачи, в §показано, что резонансный режим пульсаций всегда приводит к такой же особенности на границе области устойчивости с характерным провалом при частотах, близких к резонансным.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Монография:

1. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. New Jersey: World Scientific, 2003. 420p.

Статьи:

2. Майлыбаев А.А. О касательных конусах к области устойчивости семейства действительных матриц. Вестник Московского университета. Математика, механика.

1998. Вып. 6. С. 51–54.

3. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости. Прикладная математика и механика. 1998. T. 62. № 6. С. 984–995.

4. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Об особенностях границы области устойчивости. Доклады РАН. 1998. Т. 359.

№ 5. С. 632–636.

5. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. О границах областей устойчивости гамильтоновых систем. Прикладная математика и механика. 1999. T. 63. № 4. С. 568–579.

6. Майлыбаев А.А. Приведение семейств матриц к нормальным формам и приложение к теории устойчивости.

Фундаментальная и прикладная математика. 1999. T.

5. № 4. С. 1111–1133.

7. Майлыбаев А.А. Метод приведения семейств матриц к нормальным формам. Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 2.

С. 168–172.

8. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Об особенностях границ областей устойчивости гамильтоновых и гироскопических систем. Доклады РАН. 1999. T. 365. № 6. С.

756–760.

9. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Об особенностях границ параметрического резонанса. Доклады РАН. 2000.

T. 373. № 5. С. 623–627.

10. Майлыбаев А.А. Об устойчивости полиномов, зависящих от параметров. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2. С. 5–12.

11. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. О границах области параметрического резонанса. Прикладная математика и механика. 2000. T. 64. № 6. С. 947–962.

12. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией. Прикладная математика и механика. 2001. T. 65. № 5. С. 779–792.

13. Майлыбаев А.А. Вычисление кратных собственных значений и жордановых цепочек векторов для матриц, зависящих от параметров. Доклады РАН. 2001. T. 379. № 2. С. 165–169.

14. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией. Доклады РАН.

2001. T. 378. № 5. С. 633–638.

15. Григорян С.С., Майлыбаев А.А. О подготовительной теореме Вейерштрасса. Математические заметки. 2001.

T. 69. № 2. С. 194–199.

16. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Трехмерные области параметрического резонанса. Труды МИАН. 2002. Т. 236.

С. 304–317.

17. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Взаимодействие собственных значений при изменении параметров. Доклады РАН. 2003. T. 393. № 5. С. 609–614.

18. Сейранян А.П., Майлыбаев А.А. Бимодальные бифуркации положений равновесия в симметричных потенциальных системах. Доклады РАН. 2007. Т. 417. С. 49–55.

19. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Sensitivity analysis of eigenvalues and singularities of stability domains. Proceedings of the 7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization (St.Louis, USA). 1998. V. 3. P. 2166–2176.

20. Mailybaev A.A. Transformation of families of matrices to normal forms and its application to stability theory. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 21. No. 2. P. 396–417.

21. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. On singularities of a boundary of the stability domain. SIAM J. Matrix Anal.

Appl. 1999. V. 21. No. 1. P. 106–128.

22. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multimodal optimal solutions and singularities of stability boundary. Proceedings of the 3nd World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization (Buffalo, USA). 1999. V. 3. P. 156–158.

23. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Singularities of Stability Boundaries in Optimization Problems. Proceedings of the II International Conference “Strength, Durability and Stability of Materials and Structures” (Panevezys, Lithuania).

1999. P. 282–287.

24. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. On stability boundaries of conservative systems. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 2001. V. 52. No. 4. P. 669–679.

25. Mailybaev A.A. Transformation to versal deformations of matrices. Linear Algebra Appl. 2001. V. 337. No. 1–3. P.

87–108.

26. Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Stability boundaries of linear periodic systems. Proceedings of the 1st MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics (Cambridge, USA). 2001. V. 2. P. 1613–1616. Amsterdam: Elsevier, 2001.

27. Mailybaev A.A. On stability domains of nonconservative systems under small parametric excitation. Acta Mechanica.

2002. V. 154. No. 1–4. P. 11–33.

28. Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Interaction of eigenvalues in multi-parameter problems. Journal of Sound and Vibration. 2003. V. 267. P. 1047–1064.

29. Mailybaev A.A., Yabuno H. and Kaneko H. Optimal shapes of parametrically excited beams. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2004. V. 27. No. 6. P. 435–445.

30. Mailybaev A.A. Computation of multiple eigenvalues and generalized eigenvectors for matrices dependent on parameters. Numerical Linear Algebra with Applications. 2006.

V. 13. P. 419–436.

31. Mailybaev A.A., Seyranian A.P. Bifurcations of Equilibria in Potential Systems at Bimodal Critical Points. Journal of Applied Mechanics. 2008. V. 75. 021016.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»