WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

d =Возмущения кратных собственных значений при наличии малого параметра исследовались М.И. Вишиком, Л.А. Люстерником (1960) и В.Б. Лидским (1966) в невырожденном случае. Наличие же многих параметров приводит к тому, что вдоль отдельных кривых нарушаются условия невырожденности. Эти вырождения типичны и имеют особое значение с точки зрения теории устойчивости. В главах 2 и 3 показано, что возмущения параметров, стабилизирующие динамическую систему, могут определяться вырожденными направлениями. В §2 и §3 в многопараметрической постановке наряду с невырожденными случаями рассмотрены основные виды вырождений. Основная трудность анализа связана с недифференцируемостью собственных значений по параметрам в точках кратности. Это приводит к асимптотическим разложениям по дробным степеням, причем дробные показатели степеней зависят от типа вырождения. В §3 подробно рассматривается важный случай двукратного собственного значения с жордановой клеткой.

В §4 проводится аналогичное исследование для полупростого собственного значения, которому отвечает число линейно независимых собственных векторов равное его алгебраической кратности. В §5 подробно рассматривается случай полупростого двукратного собственного значения.

При высокой кратности собственного значения анализ возмущений вдоль кривых в пространстве параметров существенно усложняется. Это связано с увеличением числа различных “существенных” вырождений. В этом случае полезными оказываются методы теории версальных деформаций (нормальных форм), часто используемые при качественном анализе в теории особенностей. В §6 и §7 разрабатывается подход, позволяющий использовать эти методы для количественного анализа кратных собственных значений. В §6 анализ кратных корней полиномов проводится при помощи подготовительной теоремы Вейерштрасса, а для анализа кратных собственных значений матриц в §7 используется теория версальных деформаций матриц В.И. Арнольда (1971). Научное содержание §6 и §7 состоит в развитии конструктивных методов, позволяющих находить преобразования исходного многопараметрического семейства матриц или характеристических полиномов к нормальной форме вблизи точек с кратными собственными значениями. В дальнейшем это позволило применить методы теории версальных деформаций к количественному многопараметрическому анализу устойчивости.

Заметим, что ранее данные методы использовались преимущественно для качественного анализа.

Для приложения полученных в главе 1 результатов необходимо развитие численных методов определения значений параметров задачи, при которых возникает кратное собственное значение того или иного типа. Трудности определения этих значений, как уже отмечалось выше, связаны с негладкостью собственных значений в точках кратности. Дополнительной трудностью является необходимость работать в пространстве параметров, а не в пространстве матриц, как это обычно делалось в численных методах линейной алгебры. В §8 разработан численный метод определения кратных собственных значений в многопараметрических семействах матриц. При помощи этого метода определяются значения вектора параметров, при которых возникает кратное собственное значение, само собственное значение и соответствующие векторы цепочки Жордана. Рассмотрен случай кратных собственных значений, которым отвечает одна цепочка Жордана. Этот случай наиболее типичен для семейств несимметрических матриц. Метод основан на теории версальных деформаций, при помощи которой удалось построить линейную аппроксимацию искомых величин. Далее эта аппроксимация используется в методе Ньютона для нахождения точных значений. Разработанный численный метод реализован в виде набора процедур в пакете MATLAB.

Глава 2. Особенности границ областей устойчивости автономных систем Данная глава посвящена анализу границ областей устойчивости динамических систем общего вида. Задача об определении области асимптотической устойчивости в пространстве параметров сводится к анализу спектра линеаризованной системы, т.е. к определению собственных значений матрицы, зависящей от параметров.

В §1 приводятся общие результаты теории особенностей, позволяющие выделить случаи общего положения при многопараметрическом исследовании устойчивости. В §§2–4 развиваются количественные методы анализа области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы.

Подробно рассмотрены особенности, возникающие на границах областей устойчивости в двух и трехпараметрических системах. Многие особые точки на границе устойчивости связаны с возникновением кратных собственных значений, лежащих на мнимой оси. Это определяет особый (недифференцируемый) характер поведения собственных значений при изменении параметров, что в конечном счете отражается на сингулярной форме области устойчивости. Используя результаты главы 1, выводятся асимптотические формулы, позволяющие определить область устойчивости и ее границу в окрестности особенности каждого типа. Конструктивность полученных формул определяется тем, что для их использования требуется лишь информация о системе в точке особенности: производные матрицы системы по параметрам, собственные и присоединенные векторы.

В §5 на примере двухзвенного маятника под действием следящей силы показано, что эффект дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокс Г.Циглера, 1952) может быть объяснен в терминах особенностей границы области устойчивости. Показано, что граница области устойчивости системы в пространстве трех параметров (величина следящей силы p и два коэффициента вязкого трения в шарнирах 1 и 2) имеет особенность типа “ребро” с окончанием в точке особенности “тупик на ребре” p0.

Эти особенности лежат на оси следящей силы p, т.е. отвечают системе без диссипации, рис. 1. Геометрия области устойчивости в окрестности особенности “тупик на ребре” определяется из общей теории, приведенной в §§1–4. Геометрические свойства данной особенности приводят к таким эффектам, как скачок (резкое уменьшение) критической нагрузки при введении сколь угодно малого демпфирования и отсутствие предела критической нагрузки при стремлении параметров диссипации к нулю.

В §6 дается обобщение полученных результатов на случай особенностей произвольной коразмерности для систем с произвольным числом параметров. Приводятся явные асимптотические формулы, определяющие область устойчивости в окрестности особых точек ее границы. Эти результаты получены методами теории версальных деформаций, разработанными в §6 и §7 главы 1.

Глава 3. Границы областей устойчивости консервативных систем В третьей главе исследуются границы областей устойчивости консервативных систем. В §1 рассматриваются колебаРис. 1: Особенность “тупик на ребре” на границе области устойчивости иллюстрирует парадокс дестабилизации Г.Циглера.

тельные системы с потенциальными силами. Положение равновесия такой системы устойчиво при условии, что функция потенциальной энергии имеет в данной точке минимум.

При помощи анализа возмущений простых и кратных частот колебаний описывается регулярная часть границы области устойчивости и классифицируются ее особенности. В частности показано, что в случае общего положения граница области устойчивости двухпараметрической системы не имеет особенностей, а единственной особенностью в случае трех параметров является конус. Выводятся формулы, позволяющие определять область устойчивости в окрестности произвольной регулярной или особой точки ее границы по собственным векторам и производным функции потенциальной энергии, вычисленным в рассматриваемой точке.

В §2 исследуется устойчивость упругого составного стержня, нагруженного продольной силой F. Стержень состоит из четырех звеньев равной длины, соединенных упругими шарнирами с различными коэффициентами жесткости a2 (конечi номерная модель упругого стержня переменного сечения).

При определенном выборе коэффициентов жесткости критическая нагрузка является бимодальной, т.е. одной и той же критической силе отвечают две линейно независимые формы потери устойчивости. При ограничении на жесткость системы (условии, аналогичном постоянству объема стержня) бимодальное решение соответствует максимуму критической силы как функции коэффициентов жесткости, т.е. бимодальное решение является оптимальным. Оптимальность бимодальных решений определяется геометрией конической особенности границы области устойчивости, рис. 2. Этот эффект, очевидно, является общим, что и объясняет естественность оптимальных упругих конструкций с бимодальными критическими нагрузками. В течение последних 30 лет решения такого типа были найдены разными авторами в различных механических системах.

В §3 излагается общая теория бимодальных бифуркаций в потенциальных системах с одной или двумя симметриями. Дается полная классификация бифуркаций и перестроек при изменении параметров системы. Все формулы записаны в явном виде в терминах производных функции потенциальной энергии системы с произвольным числом степеней свободы. В качестве механического примера исследуются потеря устойчивости и закритическое поведение упругого составного стержня, нагруженного продольной силой. Обнаружен эффект потери устойчивости симметричного составного стержня по асимметричной форме.

§4 посвящен исследованию границ областей устойчивоРис. 2: Коническая особенность в точке максимума критической нагрузки (бимодальное решение).

сти линейных гамильтоновых систем. Дается классификация особенностей общего положения на границах областей устойчивости в случае систем с двумя и тремя параметрами. Классификация проводится с использованием версальных деформаций гамильтоновых матриц, полученных Д.М.

Галиным (1975). Далее выводятся конструктивные формулы, позволяющие находить область устойчивости в окрестности произвольной (регулярной или особой) точки границы. Гамильтоновы системы отличаются довольно большим числом типов особенностей и высокими кратностями собственных значений, определяющих особые точки, рис. 3. Так, в случае общего положения максимальная кратность собственного значения в точке на границе области устойчивости трехпараметрической системы равна шести (особенность типа “трехгранный шпиль” 06).

В §5 рассматриваются две механические задачи. В задаче об устойчивости упругой шарнирно опертой трубы, проводящей жидкость, исследована область гироскопической стабилизации. На границе этой области имеется особенность типа точки возврата. Вторая задача связана с вращением в поле силы тяжести системы, состоящей из тяжелого диска, соединенного с ротором при помощи двух стержней. Система является статически неустойчивой, но может быть стабилизирована вращением (гироскопическая стабилизация). Показано, что в пространстве трех параметров (частоты вращения и коэффициентов упругой податливости двух шаровых шарниров) область гироскопической стабилизации имеет особенность типа “трехгранный шпиль” (±i)4 (последняя особенность, изображенная на рис. 3). Эта особенность отвечает резонансу, в котором все четыре частоты системы совпадают, образуя жорданову клетку. В обеих задачах геометрия особенности существенно влияет на процесс гироскопической стабилизации. Наличие особенности приводит к тому, что область гироскопической стабилизации является очень узкой.

Общие результаты §4 существенно облегчают анализ границы такой области.

Глава 4. Многопараметрическая теория параметрического резонанса В четвертой главе развиваются общие методы многопараметрического анализа устойчивости линейных систем с коэффиРис. 3: Особенности общего положения на границе области устойчивости трехпараметрических гамильтоновых систем (“S” обозначает область устойчивости).

циентами, периодически зависящими от времени. Устойчивость периодической системы определяется при помощи метода Флоке, требующего вычисления фундаментальной матрицы системы. Тогда асимптотическая устойчивость определяется условием || < 1 для всех мультипликаторов системы (собственных значений матрицы монодромии). Для вычисления производных матрицы монодромии по параметрам используются формулы, полученные в работе А.П.Сейраняна, Ф. Солема и П. Педерсена (1999).

В §1 выводятся формулы для производных по параметрам произвольного порядка для матрицы монодромии и ее мультипликаторов. Анализируются бифуркации кратных мультипликаторов при изменении параметров системы.

В §2 дается классификация особенностей на границе области устойчивости периодических систем в случае общего положения. Эти особенности геометрически аналогичны особенностям в случае автономных систем. Типы особых точек определяются перечислением собственных значений, лежащих на единичной окружности, и их жордановой структурой.

Но в периодических системах имеются типы особых точек, существенно отличающиеся от случая автономных систем.

Выводятся аппроксимации области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. В формулах для аппроксимаций требуется лишь информация о системе в рассматриваемой точке: производные матрицы системы по параметрам и времени, фундаментальная матрица, мультипликаторы, собственные и присоединенные векторы. Поскольку фундаментальная матрица обычно известна из анализа устойчивости в данной точке, предлагаемый подход позволяет эффективно определять локальную форму границы области устойчивости.

В §3 полученные результаты применяются к задаче об устойчивости упругой составной трубы, проводящей жидкость, для анализа влияния пульсаций на критическую среднюю скорость потока. Показано, как результаты §2 позволяют при существенно меньшем объеме численных расчетов (по сравнению с прямым применением метода Флоке) определять стабилизирующие направления в пространстве параметров.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»