WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

.

....

.

...

hN(1) hN(2N) 0...

1 - N 2N - N Здесь определитель F отличается от E- только первой строкой, которая у F имеет вид (0, f(1),..., f(2N)), f(n) f(z = n); величины hl(n) связаны с el, l, fl и n соотношением hl(n) = l + 2flf(n) (3) (черта над символом обозначает комплексное сопряжение), а параметры n могут принимать произвольные действительные значения или образовывать произвольные комплексно–сопряженные пары. Ключевую роль в получении решения (2) играет переход от первоначального набора параметров {el, l, fl} к эквивалентному набору параметров {n, l, fl}, причем выражение el через n, fl и l задается формулой N 2N 2 (l - n) flfk n=el = - 2, (4) N N l - k (l - k) (l - k) k =l k=k=а n являются (формально) корнями уравнения e(z) + (z) + 2f(z)f(z) = 0, которое, в силу произвольности n, решать не нужно.

Для потенциалов (2) найден явный вид всех метрических функций, входящих в осесимметричный интервал Папапетру, что позволяет применять полученное многосолитонное решение в конкретных приложениях. Формулы (2) в частном случае описывают систему N черных дыр Керра–Ньюмена, расположенных на оси симметрии и разделенных подпорками. Анализ условия отсутствия подпорок приводит к ограничениям на метрические функции и, из которых следуют условия равновесия, выделяющие многокомпонентные равновесные конфигурации из общего решения.

Для выделения подклассов электровакуумных решений, обладающих симметрией и антисимметрией относительно экваториальной плоскости, найдены условия на потенциалы Эрнста и на данные на оси симметрии таких решений. Так, в случае экваториальной симметрии, потенциалы Эрнста удовлетворяют равенствам E(-z, ) = E(z, ), (-z, ) = e2i(z, ), = const, (5) а в случае экваториальной антисимметрии условия на E и имеют вид E(-z, ) = E(z, ), (-z, ) = ±(z, ). (6) Соответственно, данные на оси симметрии e(z) и f(z) должны удовлетворять условиям e(z)(-z) = 1, f(z) = -e2if(-z)e(z) (7) (экваториально симметричный случай) и e(z)e(-z) = 1, f(z) = f(-z)e(z) (8) (экваториально антисимметричный случай). Соотношения (7) и (8), которые справедлиы лишь для асимптотически плоских полей, позволили получить ограничения на параметры, характеризующие экваториально симметричный и антисимметричный подклассы общего многосолитонного решения.

В отсутствие электромагнитного поля (fl = 0), 2N–солитонное решение значительно упрощается, и для него, путем раскрытия определителей в основных формулах, выводится представление, наиболее удобное для поиска конкретных равновесных состояний.

Благодаря тому, что решение расширенное, субэкстремальный или суперэкстремальный характер каждого отдельно взятого источника при поиске равновесных конфигураций оказывается несущественным. Показано, что все параметры, входящие в солитонные вакуумные решения, могут быть выражены через мультипольные моменты системы, и в явном виде получены формулы, связывающие различные параметризации вакуумного многосолитонного решения с релятивистскими мультипольными моментами Героча–Хансена.

Для наиболее известного частного случая, описывающего систему двух коллинеарных керровских частиц, проанализировано поведение метрических функций на оси симметрии, выписаны в явном виде условия равновесия частиц при равенстве гравитационной силы притяжения и отталкивающей силы взаимодействия угловых моментов. Получено общее решение системы уравнений, определяющих равновесные конфигурации в расширенной двойной метрике Керра, в аналитическом виде найдены комаровские массы и угловые моменты обеих компонент. Доказана теорема о невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами, которая дает строгое обоснование ранее высказанной гипотезе Хоэнселарса об отсутствии таких равновесных конфигураций.

Выведен общий закон равновесия двух керровских частиц, который имеет замечательно простой вид и связывает произвольные массы и угловые моменты частиц с координатным расстоянием, на котором наступает равновесие:

J1 JJ ± (M + s)2 + s + = 0, (9) M1 Mгде M = M1+M2 и J = J1+J2 – соответственно полная масса и полный угловой момент системы, Mi и Ji – масса и угловой момент i-ой компоненты бинарной системы, а s – расстояние между компонентами. Тип керровской частицы в (9) произволен, т.е. частица может быть как субэкстремальным, так и суперэкстремальным объектом.

В конце данной главы закон (9) использован для простого доказательства невозможности равновесных состояний двух керровских частиц с положительными массами Mi, удовлетворяющими неравенству Mi2 > |Ji| (оно характеризует изолированную неэкстремальную черную дыру Керра).

Третья глава посвящена конкретным равновесным конфигурациям различных видов. Сначала общие формулы, полученные для двойного решения Керра в предыдущих параграфах, используются для нахождения конкретных физически значимых равновесных конфигураций двух керровских частиц. Несмотря на то, что две субэкстремальные компоненты не могут находиться в равновесии без присутствия отрицательной массы, уже в случае бинарных систем с одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компонентой возможны равновесные конфигурации, в которых положительны массы обеих компонент. Приводятся конкретные примеры таких конфигураций, строятся соответствующие им поверхности предела стационарности и исследуется наличие особенностей в приведенных случаях равновесия. Показано, что в равновесных состояниях с двумя положительными массами не возникают безмассовые кольцевые сингулярности, присущие состояниям с одной или двумя отрицательными массами.

Физически допустимые равновесные конфигурации впервые получены и для двух неодинаковых суперэкстремальных керровских компонент. Для них сначала даются значения параметров двойного решения Керра, определяющие равновесие, затем подсчитываются индивидуальные комаровские массы и угловые моменты каждой из компонент. Построены поверхности предела стационарности в таких бинарных системах, и они представляют собой две разнесенные тороидальные поверхности, на которых отсутствуют кольцевые особенности при положительности массы каждой из компонент.

В электростатическом случае получены общие формулы, позволяющие расматривать в аналитическом виде равновесные состояния N заряженных невращающихся массивных источников, которые могут быть как черными дырами, так и суперэкстремальными объектами. Для двойного решения Райсснера–Нордстрема найдены равновесные конфигурации, состоящие из одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компонент. Проведенный численный анализ условий равновесия указывает на отсутствие равновесия между двумя субэкстремальными черными дырами Райсснера– Нордстрема и двумя суперэкстремальными статическими заряженными источниками. Используя результат Варзугина и Чистякова для так называемых “неприводимых” масс, двойное решение Райсснера–Нордстрема удалось переписать, используя в качестве произвольных параметров комаровские массы и заряды источников, а также расстояние между последними. С помощью этого представления точного решения найдена аналитическая формула для силы взаимодействия между двумя произвольными сферическими заряженными массами, которая имеет следующий простой вид:

M1M2 - (Q1 - µ)(Q2 + µ) M2Q1 - M1QF =, µ :=, (10) R2 - (M1 + M2)2 + (Q1 + Q2)2 R + M1 + Mгде M1 и M2 – массы источников, Q1 и Q2 – их заряды, а R – относительное расстояние между их центрами.

Далее изучается возможность равновесных состояний в двойном решении Керра–Ньюмена, где обе компоненты наделены произвольной массой, угловым моментом и электрическим зарядом. Анализ субэкстремального случая опровергает заявление Бичака и Хоэнселарса о возможности равновесия двух неэкстремальных черных дыр Керра–Ньюмена, имеющих положительные массы, что подтверждает гипотезу Томимацу об отсутствии таких равновесных конфигураций. Конкретные примеры равновесия найдены, как и в чисто вакуумном случае, для бинарных систем, состоящих из двух суперэкстремальных компонент, и из одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компоненты.

В заключительном параграфе главы рассматривается равновесие между экстремальной и неэкстремальной компонентами в двойном решении Керра. Для возможности анализа такой модели строится точное решение, описывающее этот предельный случай, и выводятся условия равновесия, которые решаются численно. Для каждого равновесного состояния строятся массы и угловые моменты компонент бинарной системы, а также соответствующие поверхности предела стационарности. Когда неэкстремальная компонента является черной дырой, по крайней мере одна из керровских масс должна быть отрицательной. Физически значимые равновесные конфигурации с положительными массами возможны, когда неэкстремальной компонентой является суперэкстремальный объект. Полученные равновесные конфигурации свидетельствуют о невыполнении для неизолированной экстремальной компоненты известного соотношения |J| = M2 между угловым моментом и массой экстремальной изолированной черной дыры Керра.

В четвертой главе разрабатывается эффективный общий подход к сравнению точных и приближенных решений ОТО в стационарном осесимметричном случае, основанный на исследовании поведения потенциалов Эрнста сравниваемых решений на оси симметрии.

Сначала обсуждаются проблемы, возникающие при описании одной и той же физической модели с помощью точного и приближенного метода; они связаны главным образом с трудностями установления соответствия между двумя применяемыми подходами. Отмечается, что наряду со взаимно непротиворечивыми результатами, с помощью точных и приближенных решений были сделаны и исключающие друг друга выводы относительно одних и тех же физических моделей, в частности, относительно возможности равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах.

Процедура получения точного аналога заданного приближенного решения иллюстрируется на примере известной метрики Боннора для двух вращающихся частиц, которая первоначально объявлялась возможным приближением к двойному решению Керра. По бонноровской метрике был найден определяющий ее приближенный потенциал Эрнста, чье поведение на оси симметрии затем было взято в качестве исходных данных для построения методом Сибгатуллина точного решения, имеющего на оси симметрии такой же вид. При этом оказалось, что точным аналогом бонноровского приближенного решения является очень специальный подкласс четверного решения Керра, описывающий систему четырех керровских источников, из которых два – субэкстремальные, а остальные два – суперэкстремальные. Ни при каком выборе параметров в рассмотренном точном решении невозможен переход к двойному решению Керра, что в конечном итоге приводит к правильной физической интерпретации решения Боннора как описывающего специфическую систему четырех вращающихся частиц, а не двух.

Обратный процесс генерирования приближенных решений из точных осуществляется с помощью разложения метрических функций по малым параметрам. Конкретный выбор малого параметра в точных решениях, построенных методом Сибгатуллина, облегчается благодаря изначально известному поведению решений на оси симметрии, и этот выбор зависит от типа изучаемой физической системы. Так, впервые построены приближенные аналоги двойного решения Керра, приводящие к равновесным конфигурациям вращающихся частиц, которые не противоречат известным точным результатам. В зависимости от того, состоит ли бинарная система из двух черных дыр, двух суперэкстремальных объектов или одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компоненты, схема получения соответствующего приближенного решения изменяется, оставаясь в то же время органично связанной с общей структурой точного решения. Построены комаровские характеристики источников в приближенных двойных решениях Керра и показано соответствие приближенных условий равновесия точному закону равновесия двух керровских частиц.

Пятая, заключительная глава посвящена двум задачам классической теории потенциала, представляющим интерес для астрофизики и наблюдательной астрономии, поскольку в них исследуется распределение массы в различных моделях тонких галактических дисков. Общая математическая постановка проблемы и трудности ее разрешения прямолинейным путем, приводящим к сложному интегральному уравнению нефредгольмовского типа, обсуждаются в первом параграфе главы. В следующем параграфе разрабатывается эффективный метод, позволяющий находить распределения поверхностной плотности в самогравитирующем диске бесконечного радиуса с изолированной точечной массой в центре по известному распределению скорости вращения вещества в диске (кривой вращения). Подсчет поверхностной плотности () в диске по заданному распределению угловой скорости () осуществляется с помощью двух последовательных квадратур: сначала находится дополнительная функция по интегральной формуле x (x) d 2dt 1 2dt = -, (11) 2ax3/2 dx 2 x t3/2 x - t t3/2 1 - t 0 где a – радиус внутренней границы диска, x = a2/2, а затем вычисляется по формуле x (t)dt (x) = - (12) 42G t t - x x (G – ньютоновская гравитационная постоянная). Для массы диска Md и массы центрального тела M получены простые формулы a2 (t) a3 1 2dt Md = lim и M =. (13) t2G t 2G t3/2 1 - t Разработанный метод применен к широкому классу кривых вращения, имеющих кеплеровскую асимптотику. Доказано существование верхнего предела для массы галактического диска при заданной массе черной дыры, причем этот предел оказывается существенно зависящим от вида кривой вращения.

Используя математическую аналонию, существующую между бесконечными дисками с внутренней границей и конечными сплошными дисками, в дальнейшем развивается новый подход к реконструкции поверхностной плотности в плоских галактических дисках конечного радиуса по произвольному гладкому распределению угловой скорости. Сначала, как и в предыдущем случае, общее решение задачи нахождения плотности () представлено в виде двух последовательных квадратур, а затем для () получена формула, требующая лишь однократного интегрирования:

1 dv2 d R dv2 d () = F µ, + F µ,, 2G d d R2 - 2 R2 - µ arcsin, µ arcsin, (14) R2 - 2 R2 - где R – радиус диска, v = – линейная скорость, а F (, k) – неполный эллиптический интеграл 1-го рода. Эта интегральная формула является обобщением хорошо известной формулы Томре, полученной для случая бесконечных дисков, и переход к последней происходит в пределе R.

В последнем параграфе для широкого класса кривых вращения показано существование верхнего предела значений массы и радиуса галактического диска при аналитическом продолжении кривой вращения в невидимую часть диска. Здесь же на примере новой плоской кривой вращения, представляющей собой ломаную линию, продемонстрирован эффект накопления вещества в периферийной части диска при увеличении его радиуса.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»