WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

Определение 6.3.1. Задачей A называется задача (1), (42), (45), (25), (26), замыкаемая соотношением Pr = Pf + Pb.

Разрешимость задачи A следует из Теоремы 5.2.5.

Теорема 6.3.2. Пусть заданы: тензорная функция P(·) со свойствами A1–A7 при ограничении59 (35), поле T со свойствами60 B1–B3, число T > и входные данные того же класса, что и в Теореме 5.2.5. Тогда:

1. Задача А имеет в QT решение класса L(0, T, L ()), 0, u Y (см. (41)), удовлетворяющее энергетическому равенству t t |u|+ ln dx + (P(u) + Pb(u)) : D(u) - u · f dxds = 0.

2. Уравнение (42) (замыкаемое соотношениями (43)–(45)) удовлетворяетD ся этим решением в том смысле, что Pb(u) = pT при D = 0, а на |D| множестве {D = 0} величина Pb(u) есть вполне определенный тензор Pb со значениями из множества pP.

3. Решение (, u) есть предел решений (, u ) некоторой последоваk k тельности задач A, сходящихся к нему в смысле k (, u, P(u), Pb(u)) (, u, P(u), Pb(u)) -слабо в L(0, T, L ()) Y LM(QT ) L(QT ), причем (, D(u )) (, D(u)) сильно в Lp(0, T, L ()) Lp(QT ) с k k любыми p < +,, и почти всюду в QT.

4. Уравнение (1) выполнено для рассматриваемого решения в простран-стве LM(0, T, W L ()), а (42) в Y, начальные данные (25) при -нимаются по непрерывности в пространстве W L ()X, а краевое например, в виде (36) с вышеописанными ограничениями на коэффициенты.

например, в стандартном сферическом виде с тождественным полем T.

условие (26) понимается в смысле значений непрерывной по Гельдеру (по x при всех t) функции.

Глава 7 посвящена проблеме построения продвинутой 61 системы априорных оценок решений уравнений (1), (2) для неньютоновских ОУ.

Новизна предлагаемых методов состоит в одновременном учете сжимаемости, многомерности и неньютоновского характера ОУ. В связи с поставленной целью удобно записать (1), (2) в виде d + divu = 0, (46) dt du = w + f, (47) dt divP = w, (48) где w вспомогательный вектор, рассматриваемый как новая неизвестная функция, а d + u · (49) dt t оператор материальной производной.

В п. 7.1 предлагается система энергетических тождеств для системы (46)–(49), замыкаемой ОУ вида (обобщение (5) на сжимаемый случай) V (D) P = -p()I +. (50) D Эти тождества выводятся из системы (46)–(49), рассматриваемой как уравнения для величин (, u), и из подходящим образом (а именно, так, чтобы не возникали новые производные от плотности) построенных ее дифференциальных продолжений, рассматриваемых как уравнения для величин (, V ), (, w), (, w) и т. д. При этом основные операции (в том числе построение дифференциальных продолжений) производятся над уравнением импульса (47), а уравнение неразрывности (46) и вспомогательное уравнение (48) играют роль своеобразных связей, позволяющих исключать возникающие производные от. Чтобы из этих тождеств получить оценки, необходимо изучить свойства регулярности решений квазилинейной эллиптической системы V (D(u)) div = F. (51) D В п. 7.2 получены энергетические тождества для (51), и в модельном случае периодических краевых условий62 для потенциалов вида (37) выт. е. такой, которая могла бы обеспечить глобальное существование более регулярных решений, чем слабые.

Впрочем, другие краевые условия также возможны.

ведена ключевая II энергетическая оценка (D) dx C F, (52) L2() где (D) = 2 ((trD)2)|trD|2 + |((trD)2)|2+ N n D + 2s(2s - 1) s(|Ds|2) Ds-1 +|s(|Ds|2)|2, xk s=1 k= () = ()d + 1, s() = s()d + 1.

0 В п. 7.3 на модельном примере (модель Бюргерса, т. е. p = 0 в (50);

краевые условия периодичности по x и начальные данные (25)) показано, как энергетические тождества для (46)–(50) и оценка (52) позволяют продвинуться дальше по сравнению с I, II энергетическими оценками Главы 4, а именно, получить ключевую III энергетическую оценку w L(0,T,L2()) + D(w) L2(QT ) C. (53) В п. 7.4 на основе (53) получены дальнейшие оценки для величин 1 L(0,T,W2 ()), t L(0,T,L2()), ut L2(QT ), divP L2(0,T,Wr ()) и P L(0,T,Ws ()) с некоторыми r и s; обсуждаются дальнейшие перспективы и препятствия в тесно связанных проблемах оценок для (51) и (46)–(50), и проблема единственности.

Приложение A содержит результат, не входящий в число первостепенных в диссертации; он приводится как интересная, по мнению автора, иллюстрация того, как экстраполяционные методы, разработанные в Главе 3, могут работать в других областях, помимо уравнений (1), (2).

А именно, рассмотрена классическая проблема глобального существования и единственности решений для уравнений Эйлера v + (v · )v + p = f; div v = 0 (54) t на примере задачи в ограниченной области Rn с гладкой границей:

v|t=0 = v0; v · n|(0,T ) = 0. (55) Центральным результатом Приложения A является доказанная в п. A.Теорема A.11. Решение задачи (54), (55) в классе + ln ln M(s) rot v L(0, T, LM()), M K1 = M ds = + (56) sсуществует (при n = 2) и единственно (при любых n), где давление p определяется с точностью до аддитивной функции от времени.

Существование решения задачи (54), (55) в этом классе (при n = 2) показано в п. A.2 аналогично работам В.И.Юдовича (1963, 1995), а при доказательстве единственности центральной идеей является использование Теоремы 3.12.1 с A : rot v D(v), (p) = p, = + оказывается (п. A.1), что тогда при M K1 в Теореме 3.12.1 в точности получится K, что позволяет применить Утверждение 2.2.2 с f = |D(v)|.

При этом, как показано в п. A.4 (Утверждение A.17) на основе результатов п. 3.8, условие (56) эквивалентно найденным В.И.Юдовичем (1995)63, однако это выясняется лишь апостериори, а формулировка (56) намного проще.

Заключение содержит краткое резюме основных результатов, полученных в диссертации, и перечень некоторых нерешенных проблем.

Приложение B содержит список некоторых употребляемых в диссертации обозначений и терминов, собранный воедино для удобства читателя.

IV. Публикации автора по теме диссертации Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

IV.1. Публикации в журналах из списка ВАК 1. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости. ДАН, 1998, Т. 361, N 2. С. 161–163.

2. Кажихов А.В., Мамонтов А.Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича. Сиб. мат. журн., 1998, Т. 39, N 4. С. 831–850.

3. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости. Мат. Сб., 1999, Т. 190, N 8. С. 61–80.

4. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I. Сиб. мат.

журнал, Т. 40, 1999, N 2. С. 408–420.

5. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II. Сиб. мат.

журнал, Т. 40, 1999, N 3. С. 635–649.

6. Мамонтов А.Е. Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости. Мат. Заметки, 2000.

Т. 68. вып. 3. С. 360–376.

7. Королев О.И., Мамонтов А.Е. О классах корректности задачи Коши для слабонелинейного уравнения переноса. Вестник НГУ, серия математика, механика, информатика, 2003, Т. III, вып. 2. С. 46–61.

В наших обозначениях они формулируются в терминах пространств L,.

8. Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования N-функций. I. Сиб. мат. журнал, Т. 47, 2006, N 1. С. 123–145.

9. Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования N-функций. II. Сиб. мат. журнал, Т. 47, 2006, N 4. С. 811–830.

10. Мамонтов А.Е. Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича. Вестник НГУ, серия математика, механика, информатика, 2006, Т. VI, вып. 2. С. 33–56.

11. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений сжимаемой жидкости Бингама. Мат. заметки, 2007, Т. 82, вып. 4. С. 560–577.

12. Мамонтов А.Е., Уваровская М.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости: условия существования и единственности решений. Прикл. мех. техн. физ., 2008, Т. 49, N 4(290). С. 130–145.

IV.2. Прочие публикации 13. Kazhikhov A.V., Mamontov A.E. Transport Equations and Orlicz spaces, in the book: "Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications. Seventh International Conference in Zrich, February 1998. V. II" (International Series of Numerical Mathematics, Vol. 130), 1999, Birkhuser, Basel Boston Berlin. P. 535–544. Editors: Michael Fey and Rolf Jeltsch.

14. Mamontov A.E. Global Regularity Estimates for Multidimensional Equations of Compressible Non-Newtonian Fluids. Annali dell’Universit di Ferrara (Nuova Serie), Sezione VII, Scienze Matematiche, Vol. XLVI, 2000, P. 139–160.

15. Mamontov A.E. Extrapolation from Lp into Orlicz spaces via integral transforms of Young functions. J. of Anal. and Appl., 2006, V. 4, N 2, P. 77–118.

16. Мамонтов А.Е. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича. Труды С.-Петерб. мат. об-ва, 2008, Т. 14. С. 145–181.

Подписано в печать 23.06.2008 Заказ № Формат бумаги 60 84 1/16 Объем 2 п.л.

Тираж 100 экз. Бесплатно Ротапринт Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН 630090, Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 15.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»