WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

В п. 3.7 изучаются вложения пространств L, друг в друга в терминах порядков порождающих функций.

В п. 3.8 приводятся основные результаты пп. 3.5–3.11 о связи L, с пространствами Лоренца, Марцинкевича и Орлича. Для приложений особенно важен частный случай близости к L, когда оказывается, что (при E и/или Sc[E]) пространства Орлича L и пространства L, совпадают, если и связаны эквивалентными равенствами = In[], = Sc[].

В п. 3.9 изучается класс Sc[E], возникший в п. 3.8.

например, при N = 1 это значит гладкость и вогнутость.

В.А.Вайгант, А.В.Кажихов, В.В.Шелухин, В.И.Юдович, С.И.Похожаев, И.Б.Симоненко.

Более того, именно через это описание, как правило, и решается проблема экстраполяции операторов см. работы авторов, упомянутых в п. II.4.5; мы же решаем эти две проблемы независимо и другими методами.

In определен на const > 0, а Sc на D(); отметим что P = In Sc.

В пп. 3.10, 3.11 изучается вопрос об оптимальности результатов п. 3.8, и в частности показывается, что в случае несовпадения L и L, возникающий зазор все же меньше, чем получаемый из общих соображений теории симметричных пространств, основанных на анализе фундаментальных функций.

В п. 3.12 резюмируются результаты всей Главы 3: пп. 3.5–3.11 в виде сводной диаграммы вложений, а пп. 3.1–3.4 в виде Теоремы 3.12.1.

Глава 4 открывает блок результатов, непосредственно отвечающих на основной вопрос диссертации о теоремах существования для системы (1)– (3). Главной задачей в этой главе является прозрачная иллюстрация основных идей в простейшей ситуации. А именно, в качестве ОУ (3) взято P = (|divu|2)divu · I + 2µ(|D|2)D, (24) что соответствует модели обобщенной ньютоновской жидкости, являющейся естественным обобщением классической модели (4). В связи с отсутствием давления (и плотности вообще) в (24) систему уравнений (1), (2), (24) естественно назвать моделью Бюргерса с нелинейной вязкостью.

Для этой системы ставится первая начально-краевая задача в цилиндре QT = (0, T ):

|t=0 = 0 0, u|t=0 = w, (25) u|(0,T ) = 0, (26) где Rn ограниченная область с гладкой границей, число T > произвольно. Естественно предположить mes({ 0 = 0 } { w = 0 }) = 0, тогда величинаw(x)/0(x), 0(x) > 0, u0(x) = произвольным образом продолжено, 0(x) = вводится корректно в том смысле, что w = 0u0. Коэффициенты вязкости для определенности принимаются в виде (s) = exp( s), µ(s) = exp(s ), (27) где 0 = const > 0.

В п. 4.1 формулируются априорные оценки гладких решений задачи (1), (2), (24)–(26). Для этого используются обозначенияs s (s) = ()d, M(s) = µ()d, (u) = u ln u, = ;

0 Предполагая выполненными какие-либо свойства начального поля скоростей u0, мы подразумеваем, что они справедливы хотя бы для одного из его продолжений на множество { 0 = 0 }, и именно это продолжение будет браться в качестве начальных данных для скорости.

Представление для понимается в смысле главной части, т. е. при u 1.

X = v L1,loc() | |divv|2 E(), |D(v)|2 EM(), v| = 0, X = v L1,loc() | |divv|2 L(), |D(v)|2 LM(), v| = 0, 1/ v = v = |divv|2 + |D(v)|2 LM ().

X L() X В Лемме 4.1.2 при условии 2 + 1/0 получены оценки для следующих величин:

1. (|divu|2)|divu|2 + 2µ(|D|2)|D|2 dxdt I энергетическая оценка.

QT 2. L(0,T,L()) из (1) на основе (14), (27) и п. 1.

3. u L(0,T,X) + |ut|2 dxdt II энергетическая оценка.

QT Отметим, что ввиду Главы 2 быстрый рост в (27) существен для оценки. При доказательстве априорных оценок существенно используется Утверждение 4.1.1. Гладкие векторные поля v в, исчезающие на границе, удовлетворяют при всех > 2 оценке | v|2 L() C2() |D(v)|2 L-2() это результат применения Теоремы 3.12.1 к оператору D(v) v, который (ввиду неравенства Корна) ограничен во всех Lp (2 < p < +) с нормой Cp (т. е. (p) = p).

В п. 4.2 строятся приближенные решения m, um задачи (1), (2), (24)– (26): уравнение (1) решается точно, а (2) смысле Галеркина Фаэдо, с регуляризацией конвективных членов.

В п. 4.3 доказываются основные результаты Главы 4. На основании априорных оценок утверждается -слабая сходимость приближенных решений к некоторым пределам L(0, T, L ()), 0, и u L(0, T, X), (28) что после достаточно стандартных рассуждений о предельном переходе в конвективных членах позволяет получить для этих функций уравнение (1) и (вместо (2)) уравнение (u) + div(u u) = divP + f (29) t (понимаемые в обобщенном смысле), где -P = wk lim P(um), divP L2(0, T, W L ()). (30) Для предельного перехода в вязких членах, т. е. снятия черты с P, ключевую роль играет Теорема 4.3.5. Всякая тройка функций, u, P класса (28), (30), удовлетворяющая (1), (29), (25), (26), удовлетворяет также энергетическому равенству (при почти всех t (0, T )) t t 1 |u|2 s=t dx- 0|u0|2 dx+ P : D(u) dxds- u·f dxds = 0.

2 0 В доказательстве этой теоремы центральным моментом является включение | u| L1(QT ), гарантируемое рассматриваемым классом решений. Отсюда ясно, что, ввиду плохих свойств (хуже любого L1+ см. п. 2.6) требуется почти ограниченность u, что и влечет необходимость быстрого роста (27) коэффициентов вязкости.

Ввиду Теоремы 4.3.5 удается применить стандартные рассуждения метода монотонности и получить окончательный результат:

Теорема 4.3.6. Пусть коэффициенты вязкости в задаче (1), (2), (24)– (26) даются формулами (27), причем 0 1/2. Пусть также f L(QT ), 0 L (), 4, u0 X, число T > 0 произвольно. Тогда в QT суще ствует решение указанной задачи класса (28). При этом уравнения (1), (2) -выполнены как равенства в пространстве L2(0, T, W L ()), начальные данные (25) принимаются по непрерывности в -слабой топологии L (), а краевое условие (26) понимается в смысле обращения u в 0 на (0, T ) как непрерывной по x функции при почти всех t (0, T ).

Теорема 4.3.7. Всякое слабое решение задачи (1), (2), (24)–(26) класса (28) удовлетворяет при почти всех t (0, T ) энергетическому равенству t t 1 |u|2 s=t dx- 0|u0|2dx+ P(u) : D(u)dxds = u·f dxds.

2 0 В п. 4.4 доказано выполнение закона сохранения массы (t, x) dx = 0(x) dx (31) (при почти всех t (0, T )) для слабых решений рассматриваемого классаи сделаны дополнительные замечания об обобщении результатов п. 4.3:

1. снятие ограничения 0 1/2 в Теореме 4.3.6 или требований на рост ;

2. обобщение (24) до более общих ОУ (аналогичных Главе 5, но пока без давления).

Ср. Предложение 5.2.6 ниже.

Глава 5 посвящена обобщению результатов Главы 4 на достаточно общие ОУ стоксовых54 сред. При этом удобно сменить обозначения для тензора напряжений, написав вместо (2) уравнение (u) + div(u u) = divP + f. (32) t ОУ будем рассматривать вида P = -I + P(u), (33) т. е. допускать наличие давления p =, а от вязких членов P(u) требовать выполнения четырех аксиом:

A1) P коэрцитивен, т. е. L(u) P(u) : D(u) dx M(|D(u)|) dx при всех u X;

A2) P монотонен, т. е. (P(u)-P(v)) : D(u-v) dx 0 при всех u, v X;

A3) P(·) действует, в определенном смысле, ограниченным образом:

M(|P(u)|) dx C1 + C2 M(|D(u)|) dx для всех u X;

A4) а также P непрерывен в следующем смысле: P(u - v) P(u) -слабо в LM() при 0 для всех u, v X.

Здесь обозначено X = { u L1,loc() | D(u) LM(); u| = 0 }, u = D(u) LM () X (34) с N-функцией M, удовлетворяющей ограничению роста M(s) exp(s), s s0 = const (35) (аналогично (27)). Требованиям A1–A4 удовлетворяют, например, тензоры N P(u) = 2 ((trD)2)(trD) · I + 2s s(|Ds|2)D2s-1 (36) s=с произвольным N N, если все s и неубывающие выпуклые функции класса C1, причем M() = 22 1(2) есть N-функция, удовлетворяющая 3-условию, и 1 растет существенно быстрее всех прочих коэффициентов. В этом случае (33) имеет вид (5) с N V = ((trD)2) + s(|Ds|2). (37) s=Для системы (1), (32), (33) рассматривается та же задача (25), (26).

Несмотря на сходство постановок с Главой 4, в Главе 5 появляются существенные отличия:

т. е. удовлетворяющих постулатам Стокса в отличие, например, от сред Бингама, рассматриваемых в Главе 6.

1. I энергетическая оценка теперь обеспечивает L(0, T, L ()). Однако для интегрируемости | u| (необходимой для доказательства энергетического равенства и теоремы существования) этого недостаточно55, поэтому оценка из (1) методами Главы 2 по-прежнему необходима, что и влечет требование вида (35).

2. Теряет силу II энергетическая оценка, обеспечивавшая в Главе 4 ограниченность {(um)t} (несмотря на невыполнение уравнения (2) приближенными решениями в методе Галеркина Фаэдо), необходимую для предельного перехода в конвективных членах. В связи с этим в качестве метода построения приближенных решений приходится прибегать к полудискретизации по времени (для удобства с одновременным сглаживанием конвективных членов и параболической регуляризацией):

k - k-+ div(k(uk)h) = k, (38) kuk - k-1uk-+ div(kuk (uk)h) = divP(uk) - k + kfk, (39) k = 0, uk = 0 (40) n k здесь k 1, fk(x) = f(s, x)ds; при k = 0 функции uk, k (k-1) взяты равными соответственно u0 и усреднению 0m от 0 с радиусом усреднения 1/m.

В п. 5.1 показана разрешимость релаксированной стационарной задачи (38)–(40) для uk, k при < 0(, h).

В п. 5.2, в целом аналогично56 Главе 4, получен основной результат Главы 5:

Теорема 5.2.5. Пусть заданы f K (QT ) ( > 7/2, T > 0 про/извольные); 0 L (), 0 0, и такое w, что w/0 L (supp0).

Тогда в QT существует решение задачи (1), (32), (33), (25), (26) в классе L(0, T, L ()), 0, u Y. При этом уравнение (1) выполнено в -пространстве LM(0, T, W L ()), а (32) в Y ; начальные данные (25) -принимаются по непрерывности в пространстве W L () X, крае вое условие (26) понимается в смысле значений непрерывной по Гельдеру (по x при всех t) функции. Всякое решение указанного класса удовлетвоНужно тогда u L, что ввиду Теоремы 3.12.1 приводит к требованию D L.

Если же обладает лучшими свойствами благодаря методам Главы 2, то от D достаточно суммируемости в экспоненциальных пространствах Орлича, и Утверждение 4.1.обеспечивает суммируемость | u|.

Хотя и в условиях худшей суммируемости u по t и новых сложностей с наличием давления.

ряет энергетическому равенству (для почти всех t (0, T )) t t |u|+ ln dx + (P(u) : D(u) - u · f)dxds = 0.

Решение есть предел приближений Роте, сходящихся к (, u) -слабо в L(0, T, L ()) Y, причем плотность сходится почти всюду и сильно в Lp(0, T, L ()) при всех p <, <.

В Теореме 5.2.5 обозначено Y = { v L1,loc(QT ) | D(v) LM(QT ), v|(0,T ) = 0 }, (41) v = D(v) LM (QT ).

Y Также доказано выполнение закона сохранения массы для слабых решений рассматриваемого класса:

Предложение 5.2.6. Для всякой пары функций u L1(0, T, X), L(0, T, L ()), > 2, удовлетворяющей (1), (25)1, имеет место соотношение (31) (для почти всех t (0, T )).

Глава 6 посвящена глобальной разрешимости для модели сжимаемой неньютоновской жидкости Шведова Бингама. Рассматривается та же система (1), (2), в которой тензор напряжений P переобозначен через Pr:

(u) + div(u u) = divPr + f. (42) t Аналогично несжимаемому случаю, ОУ сред Бингама записывается в виде Pr = Pf + Pb, (43) где Pf тензор напряжений стоксовой жидкости (уточнен далее), а Pb есть многозначная функция от D, задаваемая формулой T D, D = 0, Pb = p |D| (44) любой из P, D = 0, т. е. в тех точках, где D = 0, тензор Pb принимает вполне определенные значения, но априори неизвестные (не выражающиеся через и u), и потому решение системы (1), (42)–(44) есть уже не пара (, u), как в стоксовом случае, а тройка (, u, P). Здесь P некоторая ограниченная выпуклая область в пространстве Sn симметричных тензоров ранга 2, действующих в Rn, причем 0 P, (0, P) = 1, т. е. P вписана в единичный шар пространства Sn; p 0 заданное (постоянное) пороговое напряжение, а T тензорное поле, действующее из единичной сферы S1 Sn в P.

Другими словами, pP есть область напряжений, соответствующих твердотельному движению57, а T определяет связь напряжений и скоростей деформаций при выходе напряжений в критическую зону pP.

В Главе 6 общий несферический случай (44) рассмотрен в связи с тем, что это не требует серьезных дополнительных усилий по сравнению со сферическим случаем (когда P есть единичный шар в Sn, а T тождественное отображение), обычно рассматриваемым в литературе.

Для системы (1), (42)–(44) ставится та же задача (25), (26), что и для стоксовых ОУ (т. е. при p = 0), рассмотренных в Главе 5. Таким образом, естественно решать задачу (1), (42)–(44), (25), (26) с помощью регуляризации тензора Pb, т. е. аппроксимации58 его стоксовыми тензорами Pb.

В п. 6.1 приводится точная формулировка модели. Так, формулируется класс рассматриваемых стоксовых тензоров он аналогичен Главе 5:

Pf = -I + P(u), (45) где P удовлетворяет аксиомам A1–A4 (см. изложение Главы 5) и нескольким дополнительным, а именно, уточненной непрерывности:

A5) Если D(u) D(u) почти всюду в QT, и D(u) ограничены в KM(QT ), то P(u) P(u) в D (QT );

и требованиям типа выпуклости:

t A6) Интеграл L(u)ds задает функционал от u, -слабо полунепрерывный снизу, т. е. если D(u) D(u) -слабо в LM(Qt), то t t L(u)ds lim inf L(u)ds;

0 t t A7) Если D(u) D(u) -слабо в LM(Qt), и L(u)ds lim sup L(u)ds, 0 то для некоторой последовательности D(u ) D(u) почти всюду в Qt.

k Здесь смысл обозначений M и L прежний (см. A1, (34) и (35)). В качестве примера тензоров P, удовлетворяющих аксиомам A1–A7, можно указать класс (36) с теми же ограничениями на и s, которые были оговорены после аксиом A1–A4, плюс (для выполнения A5–A7), s C3 и строгая выпуклость функций (2)2 и s(2)2.

От бингамовской составляющей, т. е. от поля T в представлении (44), требуется выполнение следующих аксиом:

Таким образом, твердотельные зоны (ядра) предполагаются несжимаемыми, что является естественным приближением реальной ситуации: в этих зонах напряжения малы, и в них сжимаемостью можно пренебречь. В жидких зонах напряжения могут быть велики, и учет сжимаемости естествен.

Точная формулировка того, в каком смысле эта аппроксимация имеет место, здесь не приводится за недостатком места. Отметим лишь, что в сферическом случае вполне подходит аппроксимация Иосиды, а в несферическом случае она не вполне удобна с позиций физического смысла.

B1) T непрерывное отображение;

B2) µ(B) T(B) : B > 0 при всех B S1;

B3) T(B2) : B1 T(B1) : B1 = µ(B1) при всех B1, B2 S1.

Тривиальный пример описанного класса тензоров Pb дается вышеупомянутым сферическим случаем, когда µ 1.

В п. 6.2 приводятся нетривиальные классы пар (P, T) (т. е. несферических Pb), удовлетворяющих аксиомам B1–B3, а также обосновывается построение аппроксимирующих тензоров Pb.

В п. 6.3 получен основной результат Главы 6. Прежде чем его формулировать, дадим определения:

Определение 6.1.3. Задачей А называется задача (1), (42)–(45), (25), (26), в которой тензор P обладает свойствами A1–A7 с ограничением (35), а поле T свойствами B1–B3.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»