WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

II.8. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, 7 глав, Приложений A и B, Заключения и списка литературы, включающего 433 наименования. Работа изложена на 334 страницах и содержит 2 таблицы.

III. Краткое изложение содержания диссертации Введение содержит: обоснование актуальности темы диссертации, предварительную формулировку изучаемых проблем и обзор их современного состояния, обоснование целесообразности применяемых подходов и краткий обзор содержания диссертации.

Глава 1 носит подготовительный характер в ней содержатся вспомогательные сведения из теории функций, функционального анализа и дифференциальных уравнений. Большинство из них являются известными фактами и приводятся для удобства. Через LM, EM и KM обозначаются соответственно пространство Орлича, его сепарабельная часть и k k класс Орлича, порожденные N-функцией M. Символы W LM и W EM обозначают пространства Соболева Орлича, построенные на LM и EM соответственно. Выражение M означает N-функцию, двойственную (дополнительную) к M, а и суть стандартные порядки на N-функциях.

Из материала Главы 1 автору принадлежит, в частности, описание негативных пространств Соболева Орлича, приведенное в п. 1.2. Здесь нерефлексивность пространств Орлича и другие особенности приводят к новым по сравнению с пространствами Соболева тонким моментам; стандартные определения негативных пространств становятся здесь неэквивалентными и приводят к различным пространствам.

В Главе 2 основной задачей является исследование классов корректности для линейного уравнения переноса + div(u) = h, (6) t т. е. классов для h и особенно для u, для которых можно гарантировать корректность задачи |t=0 = 0 (7) для (6), и классов, в которых при этом строится само решение. Это необходимо для дальнейшей оценки плотности из (1) в системе ВСЖ. Для простоты в Главе 2 рассматривается периодическая задача Коши, т. е. задача (6), (7), в которой предполагается периодичность всех величин по xk с периодами Tk, так что в качестве области определения решений можно n рассматривать цилиндр QT = (0, T ), где = (0, Tk), а качестве k=краевых условий выступает условие периодичности. Большинство результатов Главы 2, и в частности те, которые используются далее, сохраняют силу и при других краевых условиях.

Задачу (6), (7) удобно анализировать параллельно с сопряженной:

+ u · = g, |t=T = T. (8) t Как упоминалось в п. II.4.3, в случае неограниченной38 divu для задач (6), (7) и (8) в работах других авторов не было разработано теории о корректности. В Главе 2 это удается сделать с помощью формулировки требований на divu и на решения, в терминах классов Орлича. При этом ключевую роль играет класс выпуклых функций+ ln M(s) K = M ds = +, (9) sА именно такая ситуация возникает при рассмотрении слабых решений системы (1), (2).

Здесь отсутствие нижнего предела в интеграле означает, что его выбор не играет роли (это может быть любое положительное число).

состоящий из быстро (экспоненциально) растущих функций, порождающих пространства Орлича, лежащие между L и всеми Lp (p < ).

В п. 2.1 изучаются внутренние свойства класса (9) и вопрос о минимальных требованиях на u, обеспечивающих корректное построение характеристик для (6), (8)1:

dx = u(x(t), t), x(0) = x0. (10) dt Оказывается, что требование u LM, M K в точности соответствует (ввиду теорем вложения) модулю непрерывности u по x, достаточному (и вообще говоря необходимому, по теореме Осгуда) для единственности в (10). Если же M K, то строится Пример 2.1.4 поля u = u(x) (при n = 2) такого, что divu = 0, диагональная часть тензора u лежит в LM(), но весь тензор u L1(), и в результате две разные характеристические поверхности выходят из одной прямой на плоскости {t = T }, порождая нетривиальное решение однородной задачи (8). Результаты п. 2.не используются далее, но они интересны как иллюстрация роли класса K и требования u L1(0, T, W1 ()), (11) которое играет существенную роль ниже40.

В п. 2.2 исследуются минимальные требования на коэффициент f в неравенстве типа Гронуолла (Осгуда) t dx fdxds + (t), (12) гарантирующие возможность оценки для. Эта проблема играет фундаментальную роль при доказательстве теорем единственности для дифференциальных уравнений в частных производных, в частности (6) и (8)1.

Одним из основных в п. 2.2 является Утверждение 2.2.2. Если = 0, L1+(QT ), > 0, f KM(QT ) с некоторой M K, то из (12) (при 0, f 0) вытекает 0.

В Утверждениях 2.2.3 и 2.2.4 этот факт обобщается на случаи = 0 (то гда удается дать оценку на, превращающуюся при sup || 0 в 0) и функций, знакопеременных по t; при этом если еще и знакопеременна по x, то все результаты теряют силу, как показано соответствующим примером. Отметим, что другими авторами41 результат типа Утверждения 2.2.2 был получен только в виде более сильного достаточного условия на f; либо же (В.И.Юдович, 1995) было найдено неулучшаемое условие, но в труднопроверяемом виде системы оценок в Lp.

Как и во всех работах, упомянутых в п. II.4.3.

В.И.Юдович, А.В.Кажихов, В.В.Шелухин, B.Desjardins.

В п. 2.3 для задач (6), (7) и (8) формулируются классы корректности.

Ключевую роль здесь играет соотношение (подробно изученное в п. 2.6) M( () - ()) = () (13) между N-функцией M (порождающей класс Орлича для divu) и N-функцией (порождающей класс для ), а также функцией = (для ).

В Утверждении 2.3.1 выводятся априорные оценки гладких решений L(0,T,L()) eT 1+ M(divu)dxds ( 0 + h ), (14) L() L1(0,T,L()) QT L(0,T,L()) eT 1+ M(divu)dxds ( T + g ), (15) L() L1(0,T,L()) QT которые имеют место при условии M K. В Утверждениях 2.3.4 и 2.3.показывается существование слабых решений задач (6), (7) и (8) в классах, диктуемых оценками (14), (15), или в более близких к L1 и L классах (т. е. для 1, 1 вместо и ), при этом требуется divu KM(QT ), M K. (16) В Утверждении 2.3.6 показан аналогичный факт, но для крайнего случая, т. е. в рамках (16) решения задач строятся в классах, диктуемых оценками L(0,T,L1()) 0 + h L1(QT ), (17) L1() L(QT ) T L() + g L1(0,T,L()). (18) В п. 2.4 для доказательства единственности решений задач (6), (7) и (8) дополнительно к (16) требуется (11). Сначала в Утверждении 2.4.1 доказывается единственность слабого решения (которое теперь назовем обобщенным решением) задачи (8) класса (18) на основе Утверждения 2.2.2.

Затем дается Определение 2.4.2. Пусть выполнено (11), (16), а входные данные задачи (6), (7) класса (17). Обобщенным решением задачи называется функция класса (17), удовлетворяющая соотношению двойственности t (g + h)dxds = (t)T dx - 0(0)dx (19) 0 для всех t (0, T ), g и T класса (18), где есть обобщенное решение задачи (в смысле Утверждения 2.4.1) + u · = g, |s=t = T.

s Это позволяет в Утверждении 2.4.3 показать существование и единственность обобщенного решения (6), (7) в смысле Определения 2.4.2, а также, аналогичным образом, в Определении 2.4.4 и Утверждении 2.4.построить единственное обобщенное решение той же задачи класса (14).

Наконец, в Определении 2.4.6 и Утверждении 2.4.7 (снова с помощью двойственности, аналогично (19), но в обратную сторону) строится единственное обобщенное решение задачи (8) класса (15). Такой же результат верен во всех промежуточных пространствах между L и L1 и между L и L.

В п. 2.5 показана существенность требования M K в результатах пп. 2.2–2.4. А именно, для любых M K и T > 0 строятся контрпримеры:

a) L(QT ), f L(0, T, LM()) такие, что 0, f 0, 0, но (12) выполнено с = 0 Пример 2.5.1.

b) L(QT ), u L1(0, T, W LM()), 0, но есть решение (8) с g = 0, T = 0 Пример 2.5.2.

c) Та же u, что и в п. b), L(QT -) ( > 0); L1(QT ) решение (6) с h = 0 (здесь даже 0 L()), но supp (t) стягивается в точку (т. е.

(t) ) при t T, так что задача (6), (7) не имеет решения даже в классе L(0, T, L1()) Пример 2.5.3.

В итоге получена корректность задач (6), (7) и (8) при условиях (11), (16) в классах Орлича, близких к L(0, T, L1()) для и к L(QT ) для, и в самих этих пространствах, причем чем хуже M (т. е. чем медленнее она растет) тем уже полоса в шкале отведенная для L и L. При пере ходе функции M через границу класса K корректность нарушается, хотя оценки в граничных классах (17), (18) сохраняют силу42.

В п. 2.6 изучено соотношение (13), на котором строились результаты пп. 2.3, 2.4 показано, что оно возможно для N-функций тогда и только тогда, когда M K, а обладает свойством ( ()-())/() 0 при, что и означает упомянутое расположение L между L1 и всеми L1+ (и соответственно L между L и всеми Lp, p < ).

Оставшиеся пп. 2.7–2.11 Главы 2 посвящены обобщению результатов для уравнения (1) на квазилинейный случай + div(u) + () = 0. (20) t Точные формулировки результатов о существовании и единственности решения задачи (20), (7) приведены в Теоремах 2.11.3–2.11.5, которые здесь не выписаны, т. к. это требует долгих предварительных построений. Отметим лишь, что по-прежнему существенно используются (16) и аналог (11) 1 (W1+ вместо W1 ), а от требуется лишь:

Таким образом, хотя очевидными (и налагающими формально минимальные требования на вектор u) являются оценки решений задач (6), (7) и (8) в L1 и L, но классами корректности оказываются пространства Орлича.

1. непрерывность и монотонность на всей оси R, 2. в окрестности ± рост быстрее линейной функции, и подходящий знак: sgn (s) = sgns, 3. некоторые ограничения на характер (но не скорость) роста на ±.

Глава 3 играет вспомогательную роль, хотя ее результаты представляют самостоятельный интерес. Основным итогом Главы 3 является Теорема 3.12.1. Пусть линейный оператор A L(Lp) при p (, ), где 1 < +, причем A C(p), где (). Пусть L(Lp) 0 решение уравнения M[], (21) т. е. ядро преобразования F, с характеристикой. Тогда A L(LM, L), где C(), M произвольна (M пороговая функция преобразования F,), а M = F,[] (с любым ). В частности, при = + верно и A L(L, LM ).

Поясним понятия, участвующие в формулировке Теоремы 3.12.1. Символ () означает множество измеримых на [, ) функций, для которых существует решение 0 уравнения (21); в нем 1/p + M[](p) = (s)spds преобразование Меллина с точностью до степени 1/p; а отношение 1 2 значит C11(p) 2(p) C21(p) при p. Далее, F, есть интегральное преобразование типа свертки + с ядром : F,[](v) = (s)(vs)ds. Термин характеристика пояс нен ниже. Символ C() означает множество N-функций, эквивалентныханалитическим функциям вида (s) = (p)spdp, L1(, ), supp, 0. (22) Пороговой для F, функцией называется такая M, что F,[M] при конечных значениях аргумента44.

Теорема 3.12.1 описывает экстраполяцию линейных операторов вправо45 со шкалы Lp в пространства Орлича. Ее новизна заключается в полном и конструктивном описании свойств операторов во всех промежуточных пространствах, а не только в конце шкалы (L), а также в применяемом методе (интегральные преобразования и представления). Фактически в смысле стандартной эквивалентности N-функций Такие функции как F,[M] порождают L в качестве своих пространств Орлича.

Этот результат легко распространяется на нелинейные операторы, а для линейных операторов (с помощью двойственности) переформулируется для экстраполяции влево, но эти обобщения не приводятся в диссертации за ненадобностью для ее основных целей.

в Главах 4–6 используется только случай = +, который представлен в Теореме 3.12.1 наиболее полно, как видно далее.

В п. 3.1 дается описание класса C(), для которого применима Теорема 3.12.1. Введем обозначения:

(u) m(p) = min, P[](u) = m(p)updp u up эти величины имеют смысл для всех D() { | (s) s, < ; (s) s }.

Легко видеть, что C() D(), и необходимо дать достаточные условия для C(). Оказывается, что хотя класс функций вида (22) достаточно узок, но эквивалентные им функции (т. е. C()) образуют богатый подкласс в D(), поддающийся конструктивному описанию без необходимости восстановления веса в разложении (22). Особенно удобен случай = +, когда в класс E = { D(+) | P[] } C(+) попадают почти все D(+), а именно, достаточно (s) exp(ln s · ln ln s) плюс некоторые необременительные ограничения на характер (но не скорость) роста на.

В п. 3.2 изучаются свойства преобразования F,. Показано, что оно сохраняет отношения, и и тем самым действует на классах N-функций (т. е. на пространствах Орлича). На степенных функциях F, не повышает скорость роста: F,[sp] = p(p)vp, где = M[] так называемая характеристика F, (в общем случае скорость роста повышается). Третий (помимо ядра и характеристики ) способ описания F, это его пороговая функция, она связана с характеристикой формулой + M(v) = -p(p)vpdp. Оказывается, что при изменении с точностью до образы F, от фиксированной функции (или класса) меняются в пределах одного класса эквивалентности, т. е. F, как оператор на пространствах Орлича остается тем же это и позволяет решать уравне ние (21) с точностью до.

В п. 3.3 даются описание класса () и алгоритм решения уравнения (21), т. е. восстановления ядра преобразования F, по его характеристике это необходимо для применения Теоремы 3.12.1. Хотя образы преобразования Меллина всегда аналитичны, и процедура его обращения требует выхода в комплексную плоскость C, но нам нужно обращать M с точностью до, что и позволяет рассматривать неаналитические и строить без выхода в C, причем в терминах асимптотики в окрестности точки. Например, в класс (+) попадают все функции, скорость роста которых достаточно мала46, а характер роста достаточно регулярнапример, заведомо достаточно не быстрее pN, N > 0.

ный47; существуют богатые классы и более быстро растущих (+), эти классы можно размножать произведениями представителей, что соответствует сверткам ядер. Во всех случаях построен алгоритм асимптотического вычисления через из функциональных уравнений. Ответ не зависит от выбора и, так что эти числа можно выбирать для удобства аналитических представлений, если таковые найдутся (например, из таблиц преобразований), так что индекс в () не означает зависимости от.

В п. 3.4 приведена сводка результатов пп. 3.1–3.3 и даются ответы на некоторые дополнительные вопросы, возникшие в этих пунктах.

Пп. 3.5–3.11 посвящены смежной задаче описанию пространства L,() = { u Lp() | p [, ) : u C(p) } с нормой Lp u Lp u = sup. (23) L, (p) p[,) Такого рода шкала оценок возникает в связи с теоремами вложения и в прикладных задачах48. Описание множеств вида (23) стандартная задача теории экстраполяции49.

В п. 3.5 даны общая постановка проблемы и исторический обзор.

В пп. 3.6–3.11 с помощью техники интегральных представлений, развитой в пп. 3.1–3.4, описывается место пространств L, в шкале симметричных пространств, и прежде всего пространств Орлича. Для этого требуются обозначения vpdp 1 u In[](v) =, Sc[](p) = = max.

u p(p) 1/p(u) m1/p(p) В п. 3.6 изучается поведение операторов In, Sc и методы их обращения.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»