WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

Следует, однако, отметить, что эквивалентность исходной (дифференциальной) и вариационной формулировок не является математически очевидным фактом (П.П.Мосолов, 1978) и не всегда имеет место.

Г.Дюво и Ж.Л.Лионса (1972) доказаны теоремы существования и единственности для вариационной формулировки без упрощений (хотя вопрос о связи вариационной постановки с исходной решен формально).

В настоящее время для вариационного подхода в теории несжимаемой жидкости Бингама имеется масса результатов22, в которых показывается дальнейшая регулярность решений и рассматриваются более общие ОУ. В связи с тем, что в вариационном подходе затруднительно непосредственное изучение поведения ядер, в ряде недавних работ23 был предложен возврат к исходной дифференциальной постановке24 в модели Бингама, что позволило подробнее изучить многомерные движения несжимаемой среды Бингама и начать (при n = 1) изучение сжимаемого случая. Имеются также работы25 по неоднородной несжимаемой жидкости Бингама.

Но глобальная теория многомерных движений сжимаемой среды Бингама не развивалась.

Как видно из приведенного обзора, при серьезных успехах в глобальной многомерной теории сжимаемой ньютоновской и несжимаемой неньютоновской жидкостей, теория еще далека от своего завершения. Методы, развитые для уравнений ВСЖ, жестко привязаны к ньютоновским ОУ, и напротив, подходы, разработанные для неньютоновских жидкостей, существенно используют несжимаемость26. В случае одновременного учета сжимаемости, многомерности движения и неньютоновского характера ОУ (3) оставалась открытая проблема: нужны теоремы существования в целом по времени и входным данным слабых и сильных решений.

Таким образом, основным объектом исследования являются уравнения многомерного движения ВСЖ, в особенности с неньютоновскими ОУ.

II.2. Цель диссертационной работы доказательство теорем существования в целом по времени и входным данным для моделей многомерного движения вязких сжимаемых неньютоновских жидкостей (что удается достичь с привлечением теории пространств Орлича), а также исследование поведения в пространствах Орлича дифференциальных операторов, входящих в систему дифференциальных уравнений ВСЖ.

II.3. Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Работа носит теоретический характер. Все результаты в ней формулируются в виде математических теорем и сопровождаются строгими доказательствами.

Y.Kato (1993), J.U.Kim (1987), О.А.Ладыженская, Г.А.Серегин, M.Fuchs (1987– 2000).

В.В.Шелухин, И.В.Басов, J.Malek, M.Ruzicka.

когда решение есть тройка функций:, u и P, т. к. в твердотельных зонах P не зависит от, u.

M.Bhm (1985), E.Fernandez-Cara, F.Guillen, R.R.Ortega (1997), И.В.Басов, В.В.Шелухин (2007).

когда нет принципиальной проблемы оценки плотности, в то время как именно для нерегулярных решений учет сжимаемости особенно важен.

В работе широко используются теоремы вложения, методы теории функций и функционального анализа (включая выпуклый анализ, теорию симметричных пространств и интегральные преобразования), теории нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики (прежде всего, обобщенных решений).

Для доказательства существования решений начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных используется построение приближенных решений (с помощью регуляризации коэффициентов и входных данных, полудискретизации по времени, метода Галеркина с привлечением принципов о неподвижных точках нелинейных операторов) с одновременной оценкой этих приближенных решений; далее осуществляется предельный переход с использованием методов компактности, монотонности и обоснованием слабого предельного перехода в нелинейных членах. При этом оценки приближенных решений для наглядности дополнительно оформляются в виде априорных оценок гладких решений исходной задачи.

Для формулировки оценок решений широко используется аппарат пространств Орлича. Следует отметить, что несмотря на полувековую историю теории этих пространств и их применений в теоремах вложения и оценках решений дифференциальных уравнений27, эта теория еще далека от своего завершения. В связи с этим диссертация в значительной степени посвящена развитию методов пространств Орлича. Так, разрабатываются и применяются экстраполяционные методы оценки поведения функций и операторов в пространствах Орлича, для чего используется техника интегральных преобразований и изучаются интегральные представления N-функций.

При исследовании единственности решений доказываются и применяются утверждения типа леммы Гронуолла (Осгуда) с неограниченным коэффициентом в многомерном случае.

II.4. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты автора:

1. Впервые28 доказаны теоремы существования слабых решений в целом по времени и входным данным для уравнений многомерного движения вязкой сжимаемой неньютоновской жидкости (Главы 4–6). Это сделано для следующих трех подмоделей (т. е. трех видов ОУ):

a) модель Бюргерса (Глава 4: Теорема 4.3.6);

b) модель с давлением (Глава 5: Теорема 5.2.5);

В связи с упомянутой спецификой назовем таких авторов, как М.А.Красносельский, Я.Б.Рутицкий, В.И.Юдович, Ю.А.Дубинский, С.И.Похожаев, И.В.Скрыпник, М.И.Вишик, N.Trudinger, T.K.Donaldson, J.G.Hempel, J.G.Morris, R.Adams, R.O’Neil, A.Kufner, S.Fucik, O.John, G.Talenti, A.Cianchi; все авторы, занимающиеся теорией экстраполяции см. п. II.4.5.

ср. обзор в п. II.1.

c) модель Бингама (Глава 6: Теорема 6.3.2).

2. Показано, что все слабые решения того же класса удовлетворяют законам сохранения массы и энергии (Главы 4–6: Теоремы 4.3.5, 4.3.7, 5.2.5, 6.3.2; Лемма 5.2.3; Предложение 5.2.6; п. 4.4.1). Эти соотношения являются нетривиальными для слабых решений (хотя естественны и нужны с позиций механики) и требуют доказательства. Ранее аналогичный факт доказывался (для ВСЖ) только для ньютоновских моделей29.

3. Впервые получены точные условия на неограниченную divu, гарантирующие однозначную глобальную разрешимость задачи Коши для уравнения неразрывности (1) и сопряженного уравнения переноса, и сформулированы точные классы для решений (Глава 2). Ранее эта проблема рассматривалась либо30 в случае divu, ограниченной по x, либов виде достаточных условий. В работе найдено точное неулучшаемое условие и построены соответствующие контрпримеры. Те же условия являются критерием для утверждения типа леммы Гронуолла (Осгуда) в многомерном случае. Результат для уравнения переноса распространен на случай слабой нелинейности.

4. Разработана техника дальнейших априорных оценок для уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, позволяющая повышать гладкость построенных решений (Глава 7). Ранее продвинутая 32 система априорных оценок для неодномерных уравнений вязкой жидкости предлагалась только для двумерных уравнений ньютоновской ВСЖ33, или же для несжимаемой жидкости34 (также в основном для n = 2).

5. Разработаны:

a) метод экстраполяции операторов из Lp в пространства Орлича, b) представления пространств Орлича как экстраполяционных на основе интегральных преобразований и представлений N-функций, позволяющие конструктивно формулировать поведение функций и операторов в пространствах Орлича (Глава 3). Ранее аналогичные результаты касались либо внутренних свойств шкалы35, либо36 частных случаев, или давались в терминах, затрудняющих конструктивную формулировку экстраполяционных свойств во всей промежуточной шкале.

6. В качестве еще одной иллюстрации экстраполяционных методов (Главы 3) получено простое условие на неограниченный вихрь (в пространP.L.Lions, E.Feireisl, A.Novotny, П.И.Плотников, J.Sokolowski.

R.J.DiPerna, P.L.Lions, F.Bouchut, F.Colombini, N.Lerner, L.Ambrosio, C.DeLellis, M.Lecumberry, S.Maniglia, G.Crippa, N.DePauw.

В.И.Юдович, А.В.Кажихов, В.В.Шелухин, B.Desjardins.

т. е. гарантирующая более чем слабое решение В.А.Вайгант, А.В.Кажихов.

О.А.Ладыженская, Г.А.Серегин, J.Malek, J.Necas, M.Rokyta, M.Ruzicka, P.Kaplicky, J.Stara.

И.Б.Симоненко.

S.Yano, R.Kerman, B.Jawerth, M.Milman, С.В.Асташкин, К.В.Лыков, Е.И.Бережной, А.А.Перфильев, G.Karadzhov, С.Ф.Лукомский, M.Krbec, C.Capone, A.Fiorenza, и др.

ствах Орлича), при котором имеет место единственность решения для уравнений Эйлера (Приложение A). Ранее аналогичный результат был получен37 в виде труднопроверяемого семейства оценок в Lp, в то время как в диссертации получено одно условие в классе Орлича.

II.5. Теоретическая и практическая значимость результатов.

Выводы работы.

1. Доказаны теоремы о глобальной разрешимости для важного класса моделей механики сплошных сред уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей, что открывает новые перспективы в исследовании свойств этих моделей и их применении для описания движений реальных сред.

2. Методы и априорные оценки, применяемые при доказательстве теорем существования, могут быть использованы для разработки численных методов решения рассматриваемых задач.

3. Диссертация является опытом успешного систематического применения теории функций, теорем вложения и пространств Орлича в математическом моделировании и задачах для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных; разработанные методы могут быть эффективны в других задачах теории дифференциальных уравнений, математической физики и механики сплошных сред.

4. Разработанные в диссертации экстраполяционные методы могут применяться при изучении свойств операторов (в частности, дифференциальных) в шкале симметричных пространств.

5. Результаты и методы работы активно используются при выполнении научно-исследовательских работ (см. п. II.6).

II.6. Апробация работы. Результаты по теме диссертации получены в ходе выполнения следующих научно-исследовательских проектов:

1. Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН: бюджетные темы 0120.0 406875, 0120.0 706888.

2. Российский Фонд Фундаментальных Исследований: проекты 96–01–01524, 99–01–00622, 02–01–00645, 05–01–00131, 07–01–00550.

3. Грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ НШ–7525.2006.1.

4. ОЭММПУ РАН: проекты 3.13.1, 4.13.2.

5. Государственный комитет РФ по Высшему образованию: проекты ЗН–201–96, ЗН–335–99.

6. Федеральное Агентство по Образованию, проект 8247 (ЗН–301–05).

7. Президиум РАН: молодежный проект № 102 (6-й конкурс-экспертиза).

8. Президиум СО РАН: проект № 17 по итогам Лаврентьевского конкурса молодежных проектов.

В.И.Юдович (1995).

Результаты работы докладывались на научных семинарах (2007–2008 гг.):

1. Математические проблемы механики сплошных сред, ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук. чл.-корр. РАН П.И.Плотников).

2. Математика в приложениях, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. акад.

РАН С.К.Годунов).

3. Семинар МЭИ(ТУ) по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию, Москва (рук. проф. Ю.А.Дубинский).

4. Общегородской семинар по математической физике им. В.И.Смирнова, ПОМИ, Санкт-Петербург (рук. проф. Н.Н.Уральцева, проф. В.М.Бабич, проф. В.А.Солонников и проф. Г.А.Серегин).

5. Семинар отдела теории функций МИАН, Москва (рук. акад. РАН С.М.Никольский, чл.-корр. РАН Л.Д.Кудрявцев, чл.-корр. РАН О.В.Бесов и чл.-корр. РАН С.И.Похожаев).

6. Избранные вопросы математического анализа, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Г.В.Демиденко).

7. Семинар по геометрическому анализу, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук.

проф. С.К.Водопьянов).

8. Семинар кафедры общей математики ФВМиК МГУ, Москва (рук. акад.

РАН В.А.Ильин и акад. РАН Е.И.Моисеев).

9. Семинар кафедры дифференциальных уравнений МГУ, Москва (рук.

проф. В.А.Кондратьев и проф. Е.В.Радкевич).

10. Вычислительная математика, математическая физика, управление, ИВМ РАН, Москва (рук. проф. Г.М.Кобельков, проф. В.И.Лебедев и проф. А.В.Фурсиков).

11. Прикладная гидродинамика, ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук.

чл.-корр. РАН В.В.Пухначев).

12. Семинар лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. чл.-корр. РАН В.Г.Романов).

13. Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. В.С.Белоносов и д.ф.-м.н.

М.В.Фокин).

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Международная конференция Дифф. уравнения и смежные вопросы теории функций (совм. заседания сем. им. И.Г.Петровского и Моск.

мат. об-ва, 19-я сессия). Москва, МГУ, 20–24 января 1998 г.

2. Seventh International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications. Zrich, Switzerland, 9–13 февраля 1998 г.

3. Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посв. памяти С.Л.Соболева. Новосибирск, ИМ СО РАН, 22–27 июня 1998 г.

4. Seventh International Conference on Navier Stokes Equations and Related Nonlinear Problems. Italy, Ferrara, 13–17 сентября 1999 г.

5. Третья Сибирская школа-семинар Математические проблемы механики сплошных сред, Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 9–12 ноября 1999 г.

6. Межд. конф. Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посв. 100-летию акад. С.М.Никольского. Москва, МИАН, 23–29 мая 2005 г.

7. Межд. конф. Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, посв. 105-летию со дня рожд. акад. М.А.Лаврентьева. Новосибирск, 27–31 мая 2005 г.

8. Воронежская зимняя математическая школа Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронеж, ВГУ, 27 января февраля 2007 г.

9. Межд. конф. Дифф. уравнения и смежные вопросы, посв. памяти И.Г.Петровского (XXII совм. заседание Моск. мат. об-ва и сем. им.

И.Г.Петровского). Москва, МГУ, 21–26 мая 2007 г.

10. Межд. конф. Дифф. уравнения, теория функций и приложения, посв. 100-летию со дня рожд. акад. И.Н.Векуа. Новосибирск, 28 мая 2 июня 2007 г.

11. Пятая межд. конф. по мат. моделированию, посв. 75-летию со дня рожд. акад. В.Н.Монахова. Якутск, 24–28 июля 2007 г.

12. Всероссийская конф. Проблемы механики спл. сред и физики взрыва, посв. 50-летию ИГиЛ СО РАН. Новосибирск, 17–22 сентября 2007 г.

II.7. Публикации. Личный вклад автора. Основные результаты диссертации (см. п. II.4) получены автором и опубликованы в [1–16] (см.

п. IV). Из них 12 работ в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских диссертаций.

Из содержимого совместных публикаций [2,7,13] (соответствующих материалу Главы 2 диссертации) и [12] (соответствующей материалу Приложения A) в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие автору, и материал, необходимый для замкнутости формулировок.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»