WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Характерное время горения, b, связанное очевидным образом с шириной зоны горения Lf, много больше R, характерного времени реакции, определяемого составом смеси. Можно записать 1 1 E exp -.

b R RT Из (6) может быть вычислено время R. Принимая во внимание соотношение b = k/Uf, получаем, что реакция горения начинается при температуре, много меньшей энергии активации. Действительно, для характерных параметров, используемых в работе, имеем b = Lf/Uf = 2.5 · 10-6 с, R = = 1.375 · 10-11 с. Отсюда E/RT 12.2.

Далее дан краткий обзор теории неустойчивости Дарье–Ландау. Приведён вывод критического значения длины волны, выше которой возмущения неустойчивы при Le = 1 и большой энергии активации в случае малой, но конечной ширины фронта. Кратко описан механизм нелинейной стабилизации фронта пламени. Отмечено, что применимость нелинейной теории и уравнение для стационарного искривлённого фронта пламени ограничена, поскольку для труб достаточно большой ширины развивается вторичная неустойчивость.

В разделе 1.3 проведено обезразмеривание задачи. Выбраны значения параметров обезразмеривания: температура и плотность непрореагировавшей смеси, ширина фронта в качестве единицы длины. Другие параметры, такие как обезразмеривающая скорость, будут являться следствиями основных.

Во Второй главе представлен алгоритм решения двумерной задачи горения, основанный на консервативной схеме расщепления по процессам, т. е.

обобщённая задача диффузии–конвекции, которая решается с помощью аддитивных схем, когда на первом этапе рассматривается задача диффузии с помощью неявных консервативных разностных схем, а на втором этапе система гиперболических уравнений.

В разделе 2.1 проведено расщепление по процессам. Исходная система уравнений представлена в векторном виде, включая диффузионную часть.

В [3,4] для одномерной задачи горения рассмотрена схема расщепления, которая, в сущности, представляет собой вариант аддитивной схемы, причём первый шаг это решение диффузионных задач, а последующий решение газодинамической задачи. Такой подход аналогичен известным схемам О. М. Белоцерковского3.

Переменные, относительно которых записывается система:

2, Ix = vx, Iy = vy, w = [e + (vx + vy)], y = Y.

Векторный вид:

tu + xf + yg = xA + yB + z.

Здесь f и g векторы, соответствующие гиперболической части, A и B потоки в параболической части, z источник. Такой вид позволяет расщепить на процессы, переноса и диффузии, при построении разностной схемы.

В разделе 2.2 подробно приведён вывод схемы в гиперболической части и исследованы её свойства. Гиперболическая часть системы (1) имеет вид t + x(vx) + y(vy) = 0, (7а) t(vx) + x(vx + p) + y(vxvy) = gx, (7б) t(vy) + x(vxvy) + y(vy + p) = gy, (7в) 1 2 2 2 t([e + (vx + vy)]) + x(vx[e + (vx + vy)] + vxp) + 2 2 + y(vy[e + (vx + vy)] + vyp) = vxgx + vygy, (7г) t(Y ) + x(vxY ) + y(vyY ) = -Z(, Y, T ). (7д) В отличие от ряда работ4, в настоящей работе для системы газодинамических уравнений предложено использовать явные схемы с коррекцией О. М. Белоцерковский, В. А. Гущин, В. В. Щенников Метод расщепления в применении к решению задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 1.

С. 197–207.

А. Ю. Демьянов Поведение ньютоновских характеристик в задаче перехода горения в детонацию // XLIV научная конференция МФТИ, 2001;

M. A. Liberman, V. V. Bychkov, S. M. Golberg, L. E. Eriksson Numerical study of curved flames under confinement // Combustion Sci. and Technol. 1998. V. 136. No 1. P. 221–251.

потоков типа TVD (Total Variation Diminishing уменьшение полной вариации) для уменьшения числа нефизичных осцилляций. Такие схемы основаны на базовой схеме С. К. Годунова первого порядка. Одним из основных аспектов при использовании схем типа TVD является выбор лимитеров (называемых также ограничителями), при коррекции потоков, введение которых повышает порядок аппроксимации на гладких решениях.

Существенным для построения схемы является свойство однородности потока f g f = u, g = u, u u f g a =, b =.

u u Схема имеет следующий вид. Консервативная форма:

fm+ /2 - fm-m - um /+ = 0, (8) h Разностная схема с ограничением потока в скалярном случае:

h - a fm+1 - fm fm - fm-fm+ /2 = fm +,, (9) 2 h h где лимитер, функция, обеспечивающая свойство TVD, a = const > > 0 коэффициент переноса, m номер узла сетки.

Обобщение на одномерную гиперболическую систему:

-a = Sa DaSa, (10) + fm+ /2 = Fm + Fm+1, + + -1 + Fm = fm + (I - a)Sa Da (Sa(um+1 - um), Sa(um - um-1)), (11) 2 h - - -1 Fm+1 = fm+1 - (I + a)Sa Da (Sa(um+1 - um), Sa(um+2 - um+1)). (12) 2 h Здесь Da диагональная матрица из собственных значений матрицы a, ± Sa матрица, строки которой есть левые нуль-векторы a, Da = (Da± ±|Da|).

Для двумерного случая схема строится аналогичным образом.

Исследованы наиболее употребительные лимитеры, например minmod, superbee и т. п. Каждый из них можно сравнить, во-первых, по точности передачи характерных профилей в скалярном случае. Во-вторых, по степени выраженности фронтов в газодинамических задачах. Установлено, каковы порядки точности и аппроксимации в различных схемах с коррекцией потоков, а также каково влияние диффузионных процессов на эти явления.

В целом имеет место соответствие профиля получаемых величин точному решению задачи о распаде разрыва, что выражается в правильном определении уровней, v, p в профилях и скоростей фронтов. Использование сглаженных начальных условий хотя бы на 2 расчётных интервала, а также учёт вязкости и теплопроводности позволяют эффективно применять схемы с лимитерами для расчёта физических задач. Чем точнее схема передаёт особенности решения (лимитер superbee), тем заметнее некоторые дефекты, например, немонотонность у фронта, энтропийный след и т. д, поэтому для проведения расчётов использован лимитер minmod, который в меньшей степени приводит к нефизическим немонотонностям, сохраняя свойство высокого разрешения фронтов.

Приведённый метод решения лишён ряда недостатков методов, развитых другими группами исследователей. Предложенная схема квазимонотонна, использует минимальный шаблон, имеет порядок аппроксимации O(h2 + 2) на гладких решениях почти всюду, где меняется шаблон схемы, и шаг по времени определяется критерием Куранта, т. е. O(h), а не O(h2), как при использовании явных схем в параболических задачах.

Схемы с минимальным шаблоном не имеют ложных осцилляций, вызванных использованием расширенного шаблона, а также хорошо согласуются с граничными условиями. В результате появилась возможность использовать не избыточно подробные сетки и за разумное время провести цикл расчётов процессов горения в широких трубах, шириной (5 6)c.

В разделе 2.3 подробно рассмотрены аспекты, возникающие в двумерной гиперболической схеме. Отмечается, что учёт ряда членов, возникающих из общего класса явных схем для гиперболической системы, позволяет достичь условия устойчивости max(qx, qy) 1, а не qx + qy 1 в противном случае, где qx, qy числа Куранта.

Рассмотрена схема при расчёте граничных условий. При её выводе используется метод характеристик и знание собственных значений на границе: 0, -c и c, где c скорость звука.

В разделе 2.4 рассмотрены особенности разностной схемы в параболической части задачи.

Диссипативная часть системы (1) имеет следующий вид.

t = 0, (13а) t(vx) + x(-xx) + y(-xy) = 0, (13б) t(vy) + x(-yx) + y(-yy) = 0, (13в) 2 t([e + (vx + vy)]) + + x(-vxxx - vyxy + qx) + y(-vxyx - vyyy + qy) = 0, (13г) t(Y ) + x(-(/Sc) xY ) + y(-(/Sc) yY ) = 0. (13д) Рассматривается соотношение, вытекающее из параболической части системы уравнений горения. При наличии диссипативных процессов часть кинетической энергии переходит в тепловую. Это приводит к появлению источника диссипации в уравнении теплопроводности:

t([cvT ]) + x(-(cp/Pr) xT ) + y(-(cp/Pr) yT ) = Av, Av квадратичная диссипативная форма относительно производных скоростей, равная div(v · T) - v · div T = xxxvx + xyxvy + yxyvx + yyyvy = = [( - )(div v)2] + [2((xvx)2 + (yvy)2)] + [(xvy + yvx)2].

При условии Av 0 произвольный положительный начальный профиль температуры должен оставаться положительным в любой момент времени, что равносильно выполнению для уравнения теплопроводности условия достижения минимума решения либо в начальных данных, либо на границе при любых начальных условиях.

Описанные условия выполняются в дифференциальной постановке задачи, являясь следствиями уравнений системы. В разностном же случае это, вообще говоря, не так: в задачах размерности два и более возникает проблема аппроксимации положительного источника. Если условие положительности источника диссипации выполняется в разностной форме, то температура в системе остаётся положительной при переходе с одного временн слоя на другой. Такие схемы назовём положительными. В настояого щей работе построена схема, которая не только является консервативной, т. е. правильно аппроксимирует баланс полной энергии, но и обеспечивает корректное описание термодинамических следствий из основной системы, в данном случае процесса превращения кинетической энергии в тепловую для правильного определения как внутренней, так и полной энергии. Такие схемы можно назвать по аналогии с работами С. К. Годунова термодинамически обусловленными.

1 Am+ /2,k - Am-1 Bm,k+ /2 - Bm,k-/2,k /div( · T)m,k = +.

v hx hy 4 u 2 v u v Am+ /2,k = + u + - u + v + = 3 x 3 y y x m+1/2,k 4 um+1,k + um,k um+1,k - um,k = + + 3 2 hx 2 1 vm+1,k+1 - vm+1,k-1 vm,k+1 - vm,k-+ - um,k + um+1,k + 3 2 2hy 2hy 1 um+1,k+1 - um+1,k-1 um,k+1 - um,k-+ vm,k + vm+1,k + 2 2hy 2hy vm+1,k + vm,k vm+1,k - vm,k +, (14) 2 hx для Bm,k+ /2 аналогично. Обозначено u = vx, v = vy.

В конце главы, разделе 2.5, обсуждаются различные особенности математического моделирования задач горения в каналах.

Показано, что шаг по пространству должен быть не более Lf/2 при расчёте одномерных задач и до Lf/5 для двумерных для правильной передачи скорости фронта.

Далеко от фронта пламени для ускорения счёта строится сетка с увеличивающимися ячейками.

Перед пламенем всегда распространяется звуковая волна, скорость которой существенно больше скорости пламени. Реализовать условия поглощения при наличии неоднородного поля скоростей становится затруднительным, вследствие чего возникает необходимость моделирования течения в достаточно длинном канале. С другой стороны, для правильного разрешения фронта необходимо брать до пяти ячеек на фронт. Всё это приводит к необходимости считать на многопроцессорной вычислительной системе.

Третья глава посвящена численным экспериментам. Рассмотрены задачи как с гладкими, так и с условиями прилипания на стенках.

В разделе 3.1 приводятся расчёты тестов из [7], отражающих некоторые качества схемы, в частности, схема сохраняет свойства симметрии, несмотря на то что сетка не адаптирована к структуре решения. Кроме того, можно видеть, что изначально некруговой разрыв на достаточно большом расстоянии от центра возмущения принимает форму круга. На рис. 1 представлено распределение плотности для начального разрыва в виде эллипса.

В разделе 3.2 описан численный способ получения плоского стационарного фронта пламени в виде решения Зельдовича–Франка-Каменецкого вблизи неподвижной границы.

Для исследования проблем устойчивости задавалось возмущение компоненты скорости vx полученного стационарного решения. Вычтем из скорости величину Uf, перейдя тем самым в систему отсчёта (СО), в которой плоский фронт покоится. В этой системе положим vx(x) vx(x) + 0(x, y), (15) где 2(x - x0)0(x, y) = vx(x)A0 sin(y/D) exp -. (16) DЗдесь D ширина области. Значение амплитуды возмущения A0 выбрано равным 0.05.

t=0.3 1.2.1.0.0 0.5 1 1.5 2 2.5 x Рис. 1. Распределения плотности для начального разрыва в виде эллипса Для определения скорости фронта пламени предложена формула на основе расчёта количества несгоревшего топлива.

В расчётах течений в трубах с гладкими стенками существует режим устойчивого пламени, дефлаграция. При этом, если ширина трубы D < c, то любые возмущения затухают. Для труб шириной до 4c устойчивое пламя представляет собой одногорбое (single-hump) распределение. Но такое распределение формируется не сразу. Первоначально образуется вогнутый фронт температуры. При этом линии тока практически стационарны и устанавливается квазистационарное поле скоростей. Затем при развитии вторичной неустойчивости Дарье–Ландау устанавливается одногорбое пламя.

Таким образом, помимо известного результата о существовании режима дефлаграции (медленного стационарного горения) в трубе с гладкими стенками, установлено, что формирование режима дефлаграции имеет три этапа: развитие неустойчивости Дарье–Ландау и формирование промежуточной квазистационарной асимптотики многогорбого (multi-hump) плаy.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

-150 -100 -x Рис. 2. Фронт в задаче с проскальзыванием мени, затем распад этого решения и образование стационарного одногорбого пламени (рис. 2). Моменты времени указываются в единицах t/, где = D/2Uf.

Рассмотрим ещё один тип возмущений:

2(x - x0)0(x, y) = vx(x)A0 sin(-2y/D) exp -. (17) DТем самым начальное течение как бы замедляется снизу трубы и ускоряется сверху. Для трубы шириной 20 фронт после линейной стадии развития неустойчивости перешёл к стационарному виду, который получен путём иного возмущения.

Для трубы шириной 40 возникает почти та же картина, однако фронт, изначально антисимметричный относительно центра трубы, приобретая одногорбую выпуклую конфигурацию, становится симметричным (рис. 3).

Как общий вывод можно отметить существование двух устойчивых конфигураций фронта пламени: симметричный относительно оси канала и скошенный (slanted), обе из которых представляют собой выпуклое одногорбое образование.

В разделе 3.3 для течений в трубе с условиями прилипания на стенках показано, что стационарный режим отсутствует (рис. 4, 5), но пламя начинает ускоряться, переходя в режим детонации даже для случая реакции y -200 -150 -100 -50 x Рис. 3. Фронт и линии тока в задаче с проскальзыванием на момент t/ = = 7.34832 при задании возмущения в обе стороны -150 -100 -x Рис. 4. Осцилляционный фронт y y -200 -150 -100 -50 x Рис. 5. Фронт в задаче с условиями прилипания на стенках в трубе шириной 100Lf -200 0 200 400 600 x Рис. 6. Фронт и линии тока в задаче с условиями прилипания на стенках на момент t/ = 0.y y первого порядка, когда выделение тепла при реакции относительно умеренное, что до настоящего времени в расчётах не наблюдалось (рис. 6).

В Заключении изложены основные результаты и выводы.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.