WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|
САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КРИВОВИЧЕВ Герасим Владимирович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЖИВЫХ КЛЕТОК 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт–Петербург 2009

Работа выполнена на кафедре моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Трегубов Владимир Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Покровский Андрей Николаевич кандидат физико-математических наук, профессор Смольников Борис Александрович

Ведущая организация: Институт механики МГУ (г. Москва)

Защита состоится 2010 г. в часов на заседании совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу:

199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9.

Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru Автореферат разослан 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Подвижность, проявляющаяся в различных формах, является одним из основных признаков живых организмов. Одноклеточные организмы передвигаются в окружающей их жидкости за счет движений особых образований, называемых ресничками. Как движители, реснички характерны и для клеток примитивных многоклеточных организмов, обитающих в жидкой среде. У млекопитающих клетки внутреннего эпителия некоторых проводящих каналов снабжены ресничками, обеспечивающими транспортные функции.

В современной микробиологии исследования подвижности ресничек являются достаточно актуальными, поскольку поняв, за счет чего движутся примитивные живые организмы, можно приблизиться к познанию того, что такое жизнь и как она зародилась на Земле. Кроме того, данные исследования имеют и важные приложения в медицине: нарушения подвижности ресничек эпителия дыхательных путей и яйцевода человека приводят к хроническим респираторным заболеваниям, бесплодию, раку.

К настоящему времени по результатам наблюдений и экспериментов накоплена обширная база знаний об особенностях движения ресничек и их внутреннем строении. Тем не менее, до сих пор остается неясным механизм формирования этих движений как на уровне реснички в целом, так и на уровне ее внутренней структуры. По этому вопросу с середины 20 в. высказываются только гипотезы, которые основаны на том, что движение реснички происходит из-за конформационных перестроек белковых молекул, входящих в состав ее внутренней структуры. Однако существующие экспериментальные методики не позволяют полноценно наблюдать динамические процессы, происходящие в живом микрообъекте на молекулярном уровне. Выдвигаемые гипотезы не могут быть проверены в условиях эксперимента, и большую значимость в этой области знаний приобретают математические модели, позволяющие дать количественные оценки величин, характеризующих движения ресничек в норме и патологии. При этом математическая модель, описывая процесс движения на уровне реснички в целом, может способствовать пониманию механизма формирования подвижности на молекулярном уровне.

В биофизике ярким примером успешного использования математического моделирования является теория мышечного сокращения, значительный прогресс в которой связан именно с применением математических моделей. В настоящее время использование методов математического моделирования при исследовании подвижности ресничек представляется не менее перспективным.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей, позволяющих описывать процесс движения реснички с целью исследования его особенностей и проверки гипотез о механизмах формирования биологической подвижности.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования, вычислительной математики и теоретической механики.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математическая модель механизма формирования подвижности реснички.

2. Метод идентификации параметров разработанной математической модели реснички, не требующий многократного решения задачи Коши.

3. Модель нелинейной зависимости внутренних сил от обобщенных координат, предложенная для случая движения реснички в среде с большим сопротивлением.

4. Комплекс программ для решения задач моделирования движений реснички и полученные с его использованием результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие адекватность разработанных моделей.

Научная новизна. Построена математическая модель механизма формирования подвижности, в основе которой лежит гипотеза о переходе от одного положениями равновесия к другому. Предложен метод идентификации параметров модели, не требующий многократного решения задачи Коши для системы уравнений движения. Метод использует решение первой задачи динамики, при котором обобщенные силы находятся как функции времени. Неизвестные параметры ищутся так, чтобы значения обобщенных сил как функций от обобщенных координат, обобщенных скоростей и параметров были близки к значениям обобщенных сил как функций времени. Предложена нелинейная зависимость внутренних сил от обобщенных координат, характерная для случая движения реснички в среде с большим сопротивлением. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные модели и алгоритмы применяемых численных методов, позволяющее проводить вычислительные эксперименты по моделированию движений ресничек.

Практическая значимость работы. Разработанные модели и комплекс программ позволяют осуществлять проверку гипотез о механизмах формирования подвижности ресничек. Используя предлагаемые модели, можно производить оценки влияния тех или иных отклонений от нормы на подвижность ресничек.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректным применением методов математического моделирования, вычислительной математики и теоретической механики. Программы, реализующие алгоритмы численных методов, прошли отладку и тестирование на задачах, решения которых известны. Результаты, полученные при численных расчетах, соответствуют приведенным в литературе результатам наблюдений и экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 38-й, 39-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов Процессы управления и устойчивость (СПб, СПбГУ, факультет ПМ-ПУ, 2007, 2008, 2009 гг.), на международной конференции Тараповские чтения (Харьков, апрель 2008 г.), а также обсуждались на научных семинарах кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета ПМ-ПУ СПбГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы десять работ, три из которых в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК [2, 7, 10]. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 129 страниц, среди которых 18 таблиц и 47 рисунков. Список литературы включает 97 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулирована ее цель, указаны научная новизна и практическая значимость.

В первой главе, носящей обзорный характер, приведены сведения об объекте исследования и результаты анализа литературы, посвященной использованию математических моделей при исследовании движений ресничек.

В §1.1. обращается внимание на микроскопичность моделируемого объекта (реснички), представляющего собой тонкий волосообразный вырост из поверхности клетки, у разных организмов достигающий длины от 5 до 50 мкм и имеющий толщину около 0.25 мкм.

Рассматриваются особенности циклического гребкового движения реснички биения, которое условно делится на две фазы, которые называются эффективным и восстановительным гребками (рис. 1). При эффективном гребке ресничка совершает быстрое размашистое движение, оставаясь при этом достаточно жесткой. Затем происходит восстановительный гребок, во время которого ресничка, сильно изгибаясь, возвращается в состояние, из которого начинался эффективный гребок.

В §1.2 рассматриваются и анализируются модели ресничек, которые начали применяться в научных исследованиях во 2-ой половине 20 в., этому посвящены работы C. J. Brokaw, R. Rikmenspoel, M. Hines, J.J. Blum, S. Gueron, K. Levit-Gurevich, M. Murase, В. П. Трегубова, И. Б. Токина, R. H. Dillon, L. J. Fauci, S. Lowe и других авторов.

Рис. 1. Цикл гребкового движения реснички. 1–4 эффективный гребок, 4–восстановительный гребок (штрихом выделены положения, соответствующие начальным моментам восстановительного и эффективного гребка).

В большинстве публикаций в качестве механических моделей ресничек рассматриваются системы с распределенными параметрами деформируемые твердые тела или их совокупности. Кроме того, существуют механические модели, представляющие собой системы с сосредоточенными параметрами совокупности абсолютно твердых тел.

В §1.3 отмечается, что основная часть процесса моделирования движений реснички заключается в решении задачи идентификации постоянных или переменных параметров модели, входящих в выражения для сил и моментов, действующих на механическую модель.

В настоящее время основной методикой параметрической идентификации, применяемой в данной области исследований, является методика, основанная на решении второй задачи динамики когда силы и моменты, действующие на модель, считаются известными функциями координат, времени, скоростей и параметров. В рассмотренных в обзоре работах идентификация осуществляется следующим образом: параметры, входящие в выражения для сил и моментов, подбираются путем варьирования в некоторых пределах случайным или детерминированным образом так, чтобы движения механической модели были в определенном смысле близки к наблюдаемым движениям моделируемой реснички.

При каждом новом наборе значений параметров приходится заново решать задачу для системы уравнений движения. Процесс моделирования занимает достаточно много времени, и заранее неизвестно, когда он будет завершен. В связи с наличием таких проблем, задачи разработки новых математических моделей ресничек и применения новых методик их идентификации до сих пор остаются востребованными.

В конце первой главы сформулированы основные задачи, которые необходимо решить для достижения цели диссертационной работы.

Во второй главе осуществляется постановка задачи: описывается механическая модель реснички, выписываются уравнения ее движения, излагается алгоритм метода идентификации и описывается математическая модель механизма формирования подвижности.

В §2.1 сформулированы допущения, принятые при постановке задачи.

Рассматриваются только плоские движения ресничек. В механической модели не рассматриваются элементы внутренней структуры, но учитывается их роль в формировании сил и моментов, приводящих ресничку в движение.

В качестве механической модели в §2.2 предлагается рассматривать систему из N абсолютно твердых тонких стержней одинаковой длины и массы, последовательно соединенных посредством шарниров и шарнирно закрепляемую на неподвижном основании (рис. 2). В шарнирах приложены моменты, выступающие в качестве обобщенных сил.

В §2.3 уравнения движения выписываютРис. 2. Схема механической модели реснички: ся в форме уравнений Лагранжа второго рошарниры, 2 стержни, да. Рассматриваются обобщенные координаты неподвижное основание.

i(t), i = 1, N, представляющие собой углы поворота между стержнями. Поскольку для биологов важно знать причины, вызывающие изгиб одной части реснички относительно другой, то биологический смысл имеют обобщенные силы Qrel, вызывающие изменения i(t), в связи с чем именно для данi ных координат и обобщенных сил формулируются все предположения.

Но для проведения численных расчетов в качестве обобщенных координат удобно использовать углы i(t) между стержнями и вертикальными прямыми. В таких координатах уравнения движения легко выписываются и имеют удобный для программирования вид. После проведения всех необходимых преобразований нелинейные уравнения движения в безразмерной форме принимают следующий вид:

A() + B(, ) = Q, (1) где = (1,..., N)T, Q = (Q1,..., QN)T векторы обобщенных координат и обобщенных сил соответственно. Компоненты вектора B и матрицы A задаются соотношениями:

N Bi(, ) = Cij(i, j)j2, j= + N - j sin (i - j), i j, Cij = -C, j < i.

ji + N - j cos(i - j), i < j, Aij(i, j) = + N - i, i = j, A (i, j), j < i.

ji i, j = 1, N.

Обобщенные силы Qi, фигурирующие в (1), связаны с Qrel следующим i образом:

Qi = Qrel - Qrel, i = 1, N - 1, QN = Qrel. (2) i i+1 N N Qrel = Qj, i = 1, N, (3) i j=i В §2.4 излагается алгоритм метода идентификации параметров модели, основанного на использовании решения первой задачи динамики.

При решении данной задачи обобщенные силы находятся как функции времени. Однако основной интерес для исследователей представляют зависимости обобщенных сил от обобщенных координат и скоростей, поскольку именно данные зависимости характеризуют механизм формирования подвижности и влияние внешних факторов. В связи с этим обобщенные силы представляются в виде функций Qrel(t, i, i, a), где a i представляет собой вектор неизвестных параметров модели (dim a = M).

Входными данными для предлагаемого алгоритма являются выраже ния Qrel(t, i, i, a), а также значения обобщенных координат, известные i в конкретные моменты времени. Эти значения могут быть получены посредством аппроксимации формы реснички механической моделью.

На первом этапе осуществляется аппроксимация обобщенных координат дважды непрерывно-дифференцируемыми функциями. Для аппроксимации используются сглаживающие кубические сплайны.

На втором этапе полученные аппроксимации i(t) подставляются в систему уравнений движения (1) и находятся обобщенные силы Qi как функции времени. Используя их, по формулам (3) определяются Qrel.

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.