WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Для описания этого этапа во второй главе предложен метод построения асимптотического разложения разностного решения, изложенный на примере задачи Коши 1, x < 0, u(0, x) = (12) 0, x 0, для линейного уравнения переноса ut + ux = 0 (13) для которого, из-за отсутствия сходящегося поля характеристик, не происходит выход разностного решения на автомодельный режим, в силу чего этап формирования схемного фронта ударной волны продолжается неограниченно долго. В данном случае получаемая асимптотика существенно зависит от двух независимых переменных t и x.

В основе метода построения асимптотического разложения лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения Cm, изменение которого существенным образом влияет на внутреннюю структуру разностного решения vh(t, x). Коэффициент Cm выбирается как максимальный по модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Номер m равен порядку производной. После того, как коэффициент Cm выбран, в качестве параметра асимптотического разложения берётся величина m-hm = |Cm|-, m 2.

Рис. 6: сравнение разложений по Рис. 7: сравнение разностного решепараметру h2 по методам I (пунк- ния (кружки), полученного по схетир) и II (сплошная линия) с раз- ме с линейной искусственной вязностным решением (кружки), полу- костью, с его разложением по паченным по схеме с линейной искус- раметру h3 (сплошная линия). Наственной вязкостью. Начальные (а) чальные (а) и вторые (б) приближеи вторые (б) приближения. ния.

Метод изложен на примере явных двухслойных по времени линейных разностных схем (6), аппроксимирующих задачу Коши (12) для линейного уравнения переноса (13). Этот метод, как и теорема 1, остается верным и для неявных схем, в том числе многослойных по времени, если эти схемы являются инвариантными относительно преобразования подобия (10).

В третьей главе по методам I и II построены примеры асимптотических разложений разностных решений для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусственными вязкостями второго и четвёртого порядка дивергентности. Рассмотрены случаи, когда определяющим коэффициентом разложения является C2 (рис. 6), C3 (рис. 7) или C4. Показано, что асимптотическое разложение разностного решения, построенное по методу II, более точно описывает поведение разностного решения, чем разложение, построенное по методу I (рис. 6). На примерах разностной схемы с линейной искусственной вязкостью и схемы с искусственной вязкостью и дисперсией показано, что в случае |C2| < |C3| разложение по параметру h2 = 1/C2, в отличие от разложения по параметру h3 = 1/ C3, неверно описывает поведение разностного решения на сильном разрыве. Этот факт подтверждает правильность предложенного метода выбора определяющего коэффициента разложения.

Для схемы с линейной искусственной вязкостью по методам I и II построены неклассические дифференциальные приближения, которые, как показали результаты расчётов, правильно описывают поведение разностного решения в окрестностях сильных разрывов. В частности, пользуясь методом II получим, что нулевое и первое неклассические приближения по параметру h2 в переменных x, t имеют вид u u 2u + = h C -, (14) t x 2 xu u 2u 22 + 1 3u + = h C - + h2 C -, t x 2 x2 6 xа по параметру h3 записываются следующим образом u u 22 + 1 3u + = -h2 C -, (15) t x 6 xu u 2u 22 + 1 3u + = h C - - h2 C -. (16) t x 2 x2 6 xПроведено сравнение построенных приближений с классическими, которые, правильно передавая поведение разностного решения на гладких решениях аппроксимируемого уравнения, перестают его приближать в окрестностях сильных разрывов. Совпадение нулевого неклассического приближения (14) с первым классическим даёт обоснование того, что в работах (Жуков А.И. 1959; Иванов М.Я. 1982) на основе точного решения первого классического дифференциального приближения было получено описание поведения разностного решения на фронте изолированной ударной волны.

Как показали численные расчёты (рис. 7), приближения (15), (16) правильно передают поведение разностного решения на сильном разрыве в случае преобладания коэффициента схемной дисперсии. Существенное отличие в данном случае нулевого неклассического приближения (15) от первого классического показывает, что разработанная методика не только даёт обоснование применимости классического первого дифференциального приближения для описания поведения разностного решения в окрестностях сильных разрывов, но и указывает границы его применимости.

Четвёртая глава посвящена теоретическому исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн.

Изучается точность, с которой явные двухслойные по времени разностные схемы (6)–(9) аппроксимируют -условия Гюгонио (Остапенко В.В.

1998) x(t)+ d [Du - f(u)] + u dx = 0 (17) dt x(t) соотношения связывающие значения обобщённого решения u(t, x) системы (4) на границах -окрестности его линии разрыва x = x(t), где D = xt. Вводится разностный аналог условий (17) x(t)+ d h vh(t, x) Dwh - h + whdx = 0, (18) dt x(t)x+h/t+ 1 wh(t, x) = vh(t, x) dt, h(t, x) = fh(t, x ) dx h t x-h/и рассматривается невязка h u(t, x) разностной схемы (6), возникающая при аппроксимации -условий Гюгонио (17). Получена следующая Теорема 2. Пусть 1. в разностной схеме (6), (7) производящая функция разностного потока f Ck, где k 2;

2. = lh, l N, где l – число, определяющее шаблон разностного потока f;

3. схема (6) с k-м порядком аппроксимирует систему (4) на её гладких решениях;

4. x = x(t) изолированная достаточно гладкая линия разрыва обоб- щённого решения u(t, x) системы (4);

5. обобщённое решение u(t, x) имеет кусочно-непрерывные k-е частные производные в окрестности линии разрыва x = x(t).

Тогда соответствующее схеме (6) разностное -условие Гюгонио (18) с k-м порядком аппроксимирует -условие Гюгонио (17) системы (4).

Приводится подробное доказательство теоремы 2 для случая k = 2.

Для случая произвольного k доказательство можно провести аналогичным образом.

Из теоремы 2 следует, что явные двухслойные по времени схемы Лакса-Вендроффа, МакКормака, Русанова, имеющие достаточно гладкие функции численных потоков, аппроксимируют -условия Гюгонио с тем же порядком, который они имеют при аппроксимации системы (1) на гладких решениях. TVD схема Хартена, получаемая путём монотонизации схемы Лакса-Вендроффа при помощи минимаксных процедур коррекции потоков, имеет лишь Липшиц-непрерывные функции численных потоков и поэтому TVD схема не удовлетворяет условию 1 теоремы 2.

Это служит обоснованием результов расчётов, проведённых в главе 1, из которых следует, что схемы Лакса-Вендроффа, МакКормака, Русанова (в отличие от TVD схемы Хартена) сохраняют второй порядок слабой сходимости через фронт прерывной волны (рис. 2).

Компактная схема является неявной трёхслойной по времени консервативной разностной схемой и имеет третий порядок как классической, так и слабой аппроксимации, в силу чего она аппроксимирует -условия Гюгонио с повышенным порядком. Это проявляется в сохранении ею повышенного порядка слабой сходимости (рис. 2) и в высокой точности, с которой она вычисляет инварианты (рис. 3, 5).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Для явных двухслойных по времени разностных схем получены достаточные условия, при которых они с повышенным порядком аппроксимируют -условия Гюгонио на нестационарных ударных волнах. На примерах разностных схем Лакса-Вендроффа, МакКормака и Русанова (имеющих гладкие функции численных потоков) показано, что (в отличие от TVD схемы Хартена, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными) такие схемы сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Методом численного эксперимента показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабой аппроксимации, по сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими лишь первый порядок слабой аппроксимации.

2. Введено понятие неклассических дифференциальных приближений и на их основе разработан метод построения асимптотических разложений разностных решений на сильном разрыве, в основе которого лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения. Определяющий коэффициент выбирается как максимальный по модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Построены асимптотические разложения разностного решения для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусственными вязкостями второго и четвертого порядка дивергентности. Построенные асимптотические разложения правильно передают поведение разностных решений.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Остапенко В.В., Тюшева О.А. Асимптотическое разложение разностного решения на фронте ударной волны для линейного уравнения переноса // Динамика сплошной среды / Изд-во Института гидродинамики СО РАН. 2001. Вып. 118. С. 58–64.

[2] Ковыркина О.А., Остапенко В.В., Павлов А.А. Неклассические дифференциальные приближения разностных схем // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. Ч. 2. С. 92–99.

[3] Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Неклассические дифференциальные приближения разностных схем // Проблемы теоретической и прикладной математики. Изд-во Института математики и механики УрО РАН. 2004. С. 86–90.

[4] Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Построение асимптотики разностного решения на основе неклассических дифференциальных приближений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1. С. 88– 109.

[5] Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Асимптотическое разложение разностного решения в окрестности сильного разрыва // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7. Вып. 4.

С. 49–73.

[6] Ковыркина О.А. Численное моделирование течений мелкой воды с прерывными волнами // Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения. Бийск. 2008. С. 53.

[7] Ковыркина О.А. О численном моделировании течений с прерывными волнами // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1. № 1. С. 48–56.

[8] Ковыркина О.А. О реальной точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных прерывных волн // Тезисы докладов Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Новосибирск. 2008. С. 505.

Подписано в печать 25.02.2009. Формат 60 84 1/16.

Уч. изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционно–издательский центр НГУ 630090 Новосибирск–90, ул. Пирогова, 2.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»