WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Рассмотрены: векторный метод сферических гармоник (СГ) (Kuer I., Ribari M., Устинов Е.А.), векторный метод дискретных ординат (МДО) (Siewert C.E., Kohanovskiy A., Stamnes K., Nakajima T.), а так же имеющиеся стандартные коды расчета на их основе (VDISORT, RSTAR и др.), скалярные приближения МДО (Wick G.C., Chandrasekhar S., Sykes J.B., Гермогенова Т.А., Басс Л.П.) и СГ (Eddington A.S., Jeans J.H., Davison B., Karp A.H., Мулдашев Т.З.). Указана особенность применения стабилизирующей решение процедуры – масштабного преобразования (Годунов С.К., Karp A.H., Мулдашев Т.З.). Отмечен важный недостаток существующих подходов решения ВУПИ: искусственное ограничение анизотропии фазовой матрицы рассеяния (Wiscombe W.), что эквивалентно пренебрежению рассеянием на крупных частицах. Это в свою очередь повышает погрешность расчета математической моделью, построенной на стандартном подходе к решению ВУПИ.

Устранение указного недостатка возможно путем развития классического подхода: вычитание только прямого нерассеянного излучения (Wick G.C., Chandrasekhar S.) заменяется на представление полного решения ВУПИ в виде суперпозиции сингулярной (S) или анизотропной, содержащей -особенность, части и регулярной (R) части – гладкой добавки lll L(,) = LS(,) + LR(,) (2) Указанный подход (2) уже был использован в скалярном приближении (Романова Л.М., Irvine M., Будак В.П.). Третий раздел первой главы содержит обзор методов расчета анизотропной (называемой так же малоугловой (Wentzel G., Goudsmit S., Saunderson J.L., Wang M.C., Guth E., Компанеец А.С.)) части как в скалярном, так и в векторном случаях и выбор наиболее удобного метода – малоугловой модификации метода сферических гармоник (МСГ), имеющей так же и векторную форму – ВМСГ (Будак В.П.). ВМСГ основано на допущения медленного убывания пространственного спектра тела яркости в лучевой системе коор0, азимут в плоскости, перпендидинат отсчета зенитного угла и азимута ( = ll кулярной l ) и аппроксимации его гладкой функцией с последующим разложением в ряд Тейлора по номеру гармоники k с ограничением двумя членами. Это приводит к простому дифференциальному уравнению для коэффициентов разложения ВМСГ по обобщенным сферическим функциям (ОСФ) (Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я.) с решением в виде матричной экспоненты.

Кроме того, рассмотрены векторные формы приближения однократного рассеяния и метода Монте-Карло (Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Plass G.N.), а так же вопрос области применимости ВУПИ (Рытов С.М., Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Апресян Л.А., Мищенко М.И.) Вторая глава посвящена обобщению выражения для расчета анизотропной части в (2) на случай описания глубинного режима и решению краевой задачи для гладкой добавки к анизотропной части. Краевая задача для добавки, дополняющей анизотропную часть до полного решения ВУПИ, с учетом представления (2) имеет вид L(,) l +L(,) = l l l R( )(ll)R(1)L(,l)d + (,);

(3) L( 0, > 0, ) = 0; L( 0, 0, ) = -LВМСГ( 0, 0, ), В (3) (,) есть функция источников на основе анизотропной части l (ВМСГ), которую нетрудно получить из (2) и свойства линейности ВУПИ. Интеграл рассеяния в (1) и (3) раскрывается в комплексном циркулярном CP-базисе -(матрицу перехода в CP обозначим TCS = TSC ), в котором пространственный спектр искомого векторного поля яркости и матрицы рассеяния записывают в виде k k k x( LCP(,l) = m()fm()exp(im), ll ) = ll 2k +1 (2k, s r, s k=0 +1)xr, s()Prk (), (4) m=- k=матричные обобщенные функции (ОСФ) (Устинов Е.А.) есть k kkk k Ym() = Diag Pm,+2(); Pm,+0(); Pm,-0 (); Pm,-2 (), k Pmn() - обобщенные полиномы Лежандра (Гельфанд И.М.) где индексы r, s (ана, логично для m, n) независимо пробегают значения 2, 0, –0, –2.

Используя методику вычисления анизотропной части тела яркости аналогичной той, что приведена в первой главе для МСГ и ВМСГ, мы приходим к общему уравнению для коэффициентов, имеющему вид (i – комплексная единица, матрицы hn определяются только коэффициентами m, n, k) j=1... k k k n k-1 k 1 i 0 Ak+1fm+1() + Bk fm() + Ak fm-1() + 1- 0 h1fm-1() + hnfm-1() + { m m m 2k +1 n k+1 k- n k n k+1 k +h3fm-1()+hnfm+1() + h5fm+1() + h6fm+1() + (1 - xk )fm() = 0. (5) } 4 Решение (5) проводится методом, разработанным для скалярного случая (Будак В.П.) путем введения функции-спектра искомых коэффициентов для переменной = k(k +1) :

m m (,) = f (,)exp im ; f (,) = (,)exp,, ( ) (-im d (6) ) m=Таким образом, можно получить сцепленную по m систему уравнений – общая форма ВМСГ:

0 - (l0, ),) = -(1 - )xk ()),).

(, ( (, (7) Вместе с тем, для вычитания анизотропии оказывается весьма удобной частная форма (7), полученная путем пренебрежения «сцепки» азимутальных гармоник, т.е. 1-0 0 (Будак В.П.). Это приводит к частному виду ВМСГ, коэффициенты которого удовлетворяют уравнению (Будак В.П., Лисицин Д.В.) m m 0 f (,k) + (1 - xk )f (,k) = 0 (8) В комплексном циркулярном CP-базисе и лучевой системе координат с учетом решения (8) ВМСГ имеет удобный для последующих преобразований вид (fkm(0) определяется граничными условиями (Будак В.П., Лисицин Д.В.)):

LВМСГ(,,) =1 {} (2k +1)Ykm()exp -(1 - xk ) 0 exp(im)fkm(0). (9) m=-2,0,2 k=Отметим, что формулировка функции источников на основе ВМСГ не изменяет вида краевой задачи ВУПИ. Следовательно, определение гладкой добавки может быть проведено любым из известных и хорошо развитых на сегодня методов решения ВУПИ. В настоящей работе для решения краевой задачи выбран МДО, позволяющий сравнительно легко включать практически любую пространственную геометрию граничных условий, записанных в форме Марка (Mark C.) – каждому направлению поставлен в соответствие свой азимутальный спектр яркости.

Интеграл рассеяния раскрывается посредством подстановки выражений (4) в интеграл рассеяния краевой задачи (3) и использования теоремы сложения, свойств ортогональности ОСФ и CP-базиса. Теорема сложения для ОСФ позволя k ет придать новую форму интегралу рассеяния в энергетическом базисе ( xk = ) xrs k k k ISP = (-1)m TSCYm()TCSTSC xk TCS im(-)TSCYm( )TCS LSP(, )d.

l l (2k +1) e k=0 m=-k k k Определяя новые матрицы k TSC xk TCS, Pm() TSCYm()TCS, мы представ k ляем матричные полиномы Pm() в виде суммы действительной и мнимой частей.

Используя четность тригонометрических функций в выбранной системе координат (0 = 0) и группируя действительные и мнимые слагаемые, приходим после алгебраических упрощений к следующему выражению для интеграла рассеяния в SP-базисе k ISP = (2k +1)(2 -0,m)Cm(,)cosm(-) + k k=0 m=, +Sm(, )sin m( - ) L(, )d l (10) l k где матрицы Cm(, ) и Sm(, ) содержат так же и спектр матрицы рассеяния.

k k Выражение (10) пригодно для любого вида фазовой матрицы. Однако, её широко используемая блочно-диагональная (аэрозольная) форма (ван де Хюлст Х., Дйрменджан Д.) позволяет ввести вспомогательные матрицы 1, 2() - азимуталь ное разложения и D1,2 - сортировки (Siewert C.E.) и преобразовать интеграл рассеяния к частному виду, учитывающему, однако, и эллиптичность частиц k ISP = (2k +1)(2 - 0,m)1(m( - ))Am(,)D1 + k k=0 m= (11) +2(m(- ))Am(, )D2 L(, )d l l, k где действительные матричные базисные полиномы имеют вид Qm() 0 0 k m 0 Rm() - Tk () k k k, Am(,) = m()k ()k () k () =. (12) m m 0 -Tkm() Rm() k 00 0 Qm() k Представление интеграла рассеяния (11) дает возможность искать решение краевой задачи для добавки в следующем виде (Siewert C.E.) LR (,) = - 0,m)1(m)L1(,) + 2(m)L2(,). (13) l (m=Для этих целей мы преобразуем ВМСГ (9) из лучевой системы координат {, } в нормальную {, } и в SP-базис k LS(,) =1 4 (14) l (2k +1)(2 - 0,m)c(m)Bk (,0,)DcL0, m c=1,2 k=0 m= где Bk (,0,) = k ()Zk ()k (0), Zk () = exp(-(1 - k ) 0).

mm m Подставляя (14) в выражение для функции источников, мы дифференцируем по оптической толще и используем рекуррентные формулы для матричных полиномов, избавляемся от комплексности и приходим к следующему виду функции источников, заданной в нормальной системе координат и энергетическом SPбазисе k (,,0) = 1(,,0) + 2(,,0) =1 l l l l l l (2 - 0,m) c=1,2 k=0 m= c(m) Am k+1() + Bmm() + Amk-1() (1 - k )Zk ()k (0)Dc 0 { } k+1 mk kk m m -c(m)(2k +1)k ()(1 - k )Zk ()k (0)Dc L0. (15) m m Выражение (15) с учетом (11) приводит нас к системе дифференциальных уравнений МДО, которая может быть записана для каждого значения азимутального индекса m независимо K N m i Lm(, i) = -Lm(, i) + c c (2k +1)wjk (i)kk ( )Lm(, ) + c (, i).

m m j c j k=0 j=Граничные условия для данной системы формулируются на основе (14) – так же отдельно для каждого азимутального индекса m. Устойчивость решения системы повышается путем использования масштабного преобразования, которое возможно проводить только в действительном SP базисе.

В третьем параграфе настоящей главы аналитически показано, что ВМСГ содержит -особенность по углу визирования, точно описывает рассеянное вперед излучение и в пренебрежении дисперсией путей рассеяния фотонов содержит анизотропную часть тела яркости. Следовательно, представление полного решения ВУПИ в виде (2) устраняет особенность решения и делает добавку к ВМСГ гладкой функцией пространственных аргументов.

На рис. 1 и 2 приведены зенитные зависимости компонент вектора Стокса.

Расчеты демонстрируют вычислительное преимущество описанного подхода в сравнении с классическим.

Рис 1. Q-компонента. M - количест- Рис 2. I-компонента. Сравнение с друво азимутальных гармоник в решении. гими методами.

Вычисления приведены для фазовой матрицы Хеньи-Гринстейна (g – средний косинус угла рассеяния, Pm – максимальная степень линейной поляризации при рассеянии), расчетные параметры: рис.1 - g = 0.9, Pm = 0.5, = 1, = 0.8, o = 40o; рис.2 – g = 0.95, = 0.8, = 1, o = 0o, K = 200, N = 60. Сравнение со стандартными процедурами RSTAR (Япония) и DISORT (США) также продемонстрировали преимущество нового подхода (рис.2).

Правильность счета предложенного метода проверялась путем сравнения не только с классическим подходом, но так же с приближением однократного рассеяния, методом Монте-Карло, данными других исследователей для релеевской атмосферы (Chandrasekhar S., Sekera Z., процедурами RSTAR и DISORT).

Третья глава посвящена вопросу построения математической модели переноса поляризованного излучения в реальных средах на базе полученного решения. Математическая модель должна включать: сложную по составу рассеивателей атмосферу, вертикальную неоднородность рассеивающей среды, учитывать отражение от нижней границы, эффект полного внутреннего отражения (ПВО), взволнованность морской поверхности, включать в себя различные функции распределения частиц по размерам, а так же учитывать сферичность рассеивающих частиц.

Многокомпонентность фазовой матрицы учитывается путем линейной комбинации фазовых матриц «чистых» рассеивателей. Как в атмосфере (Кондратьев К.Я., МакКартни Э., Тимофеев Ю.М.), так и в океане (Копелевич О.В.) одновременно имеет место релеевское и аэрозольное рассеяния ( – косинус угла рассеяния) x() = axAerosol + (1- a)xRayleigh; a = Aerosol (Aerosol + Rayleigh), (16) пропорция между ними определяется через показатели рассеяния параметром a.

В соответствии с существующими моделями аэрозольное рассеяние так же может оказаться многокомпонентным. Учет этого факта производится аналогично (16), а коэффициент пропорциональности вычисляется через концентрации разных (в данном случае двух) типов аэрозолей в атмосфере либо через концентрации крупной и мелкой взвеси (Копелевич О.В.) – хлорофилла и минералов – для океана xAerosol () = xchl + (1- )xmnr; = cchl (cchl + cmnr ) (17) Предлагаемая модель допускает две функции распределения частиц по размерам: -распределение (Дейрменджан Д.) и распределение Юнге (Junge H.). Элементы матрицы рассеяния xi, j() могут быть вычислены как интегралы по соответствующим распределениям частиц на основе хорошо разработанных алгоритмов теории Ми (Борен К., Хафмен Д.).

Пространственный спектр xi, j () может быть вычислен аналитически (Domke H.) при помощи 3j-символов (Wigner P.J.). Однако вычислительные возможности современных компьютеров позволяют также в пределах нескольких секунд получить этот спектр численно путем применения гауссовых квадратур (van der Mee C.V.M., Hovenier J.W.). Расчеты для модели Water Cloud C1 (Дейрменджан Д.) для K = 300 членов занимают порядка 5 секунд (включая расчет матрицы) на обычном персональном компьютере.

Чрезвычайно важной является проблема учета вертикальной стратификации реальных рассеивающих сред. Эффективным подходом к решению этой проблемы является переход к «полупотокам», в основе которого лежит симметрия слоя относительно вертикали. На основе метода двойных гауссовых квадратур (Sykes J.B.) интеграл в выражении вида (11) может быть заменен двумя интегралами для верхней и нижней полусфер, а системе уравнений может быть придан вид (Twomey S., Plass G.W., Nakajima T., Stamnes K.) - - + -u12 e+ 0 u11 S- + e- 0 u21LS L-(0) R- T- L+(0) =+, (18) + (0) -e- 0 u22 u21 S+ + u22LS T+ R+ L-(0) L+ где R, T определяют матрицу переноса граничных условий L+(0), L-(0) через слой. В (18) мы предлагаем новый вид вектор-функции источников – первое сла гаемое правой части. Элементы uij (i, j = 1, 2) есть подматрицы обратной матрицы собственных векторов U-1, соответствующих упорядоченным по возрастанию собственным значениям, сгруппированным в виде матрицы, невязка S определяется функцией источников в ВМСГ после масштабного преобразования.

Подход (18) позволил нам впервые сформулировать решение для задачи Милна-Амбарцумяна с учетом поляризации и для произвольной анизотропии рас сеяния в виде Lm (0) =-u12-1S-.

От (18) можно перейти к вертикально стратифицированному слою. При этом два смежных слоя можно заменить одним с некоторыми эффективными параметрами (общей толщей равной сумме входящих в него подслоев и т.п.), перенос излучения через который будет описываться выражением вида (18). Таким образом, свойства переноса излучения обладают инвариантностью (Stokes G.G., Амбарцумян В.А.), а элементы матицы объединенного слоя определяются при помощи матрично-операторного метода. Совместное решение систем вида (18) для двух смежных слоёв (верхний индекс – номер слоя) с учётом симметрию плоского слоя позволяет записать для восходящей (L ) и нисходящей (L ) радиации внутри полубесконечного (океан) слоя следующее решение на глубине погружения e:

2 1 2 2 L(e) = (1 - R2R1 )-1(J- + R2J1 ); L(e) = J+ + R1 (1 - R-R1 )-1(J- + R-J1 ).

- + - + + + + На рисунке 5 представлена угловая зависимость степени поляризации при различных соотношениях между аэрозольным и релеевским рассеянием, a = 0 соответствует чисто релеевскому рассеянию.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.