WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Oстальные элементы этой системы можно представить в виде произведения функций, зависящих от x и весовой функции 1/ m(x). Система функций, удовлетворяющая оговоренным выше условиям, может быть построена на основании следующих формул 1 P (x) n pi()pj()d =ij, pn(x)= n, Jn = d, P0(x)=, m() Jm(x) -1 - J0 J1 · · · Jn J0 J1 · · · Jn (9) J1 J2 · · · Jn+1 J1 J2 · · · Jn+.

Pn(x)=, -1 =1, n =...

.

........

..

n-1n.......

...

1 x · · · xn Jn Jn+1 · · · J2n Гильбертово пространство L2[-1, 1] можно представить в виде прямой суммы ортогональных подпространств L2[-1, 1] = L(1)[-1, 1] L(2)[-1, 1], 2 где L(1)[-1, 1] евклидово пространство с базисом {p0(x), p1(x)}, а L(2)[-1, 1] гильбертово пространство с базисом {p2(x), p3(x),...}. Подынтегральная функция и правая часть также представляются в виде алгебраической суммы функций, непрерывных по времени t в L(1)[-1, 1] и L(2)[-1, 1], 2 соответственно, то есть Q(x, t) = Q1(x, t) + Q2(x, t), f(x, t) = f1(x, t) + f2(x, t), Заметим, что в представлении для Q(x, t) нам известно слагаемое Q1(x, t), функции разложения которого определяются дополнительными условиями (8):

P (t) J0M(t) - J1P (t) z0(t) =, z1(t) =, JJ0(J0J2 - J1 ) а слагаемое Q2(x, t) требуется найти. Для правой части наоборот требуется определить f1(x, t), а функция f2(x, t) 0. Отмеченные особенности позволяют классифицировать полученную в итоге задачу как частный случай обобщенной проекционной задачи, рассмотренной в разделе разделе 0.4.

Окончательные формулы для определения контактных давлений имеют вид:

Q(x, t) = z0(t)p0(x) + z1(t)p1(x) + zk(t)k(x), k= (0) (1) (I - V2) z0(t)Kk + z1(t)Kk zk(t) = -(I + Wk), k(x) = (k)pi(x), i c(t) + k i= k(x, ) = Rmnpm(x)pn(), Rmn(k) = k(k), m = 2, 3,...

n m m=0 n=0 n= (0) (1) Kk = R0n(k), Kk = R1n(k), k = 2, 3,..., n n n=2 n= t Wkf(x, t) = Rk(t, )f(x, ) d, где Rk(t, ) (k = 2, 3,...) резольвента ядра c(t)K1(t, ) + kK2(t, ) Kk(t, ) =.

c(t) + k В результате получены точные аналитические формулы в рядах с выделением особенности:

q(x, t) = z0(t)P0(x) + z1(t)P1(x) + · · ·, (10) m(x) где Pk(x) (k = 0, 1,...) построенные по (9) полиномы. Решения такого вида позволяют производить аналитические вычисления для оснований с покрытиями, имеющих толщину, которая описываются быстро осциллирующими и даже разрывными функциями, чего невозможно добиться другими известными методами. Получены также формулы для осадки и угла наклона штампа:

J(t) = c(t)(I - V1)z1(t)+ J0J2 - J (1) + (I - V2) R10z0(t) + R11z1(t) + Kk zk(t), k= 1 J (t) = -(t) + c(t)(I - V1)z0(t)+ J0 J (0) + (I - V2) R00z0(t) + R01z1(t) + Kk zk(t).

k=В §§ 3–5 ставятся и выписываются решения задач о нахождении эксцентриситета приложения нагрузки по заданному углу поворота (при заданной силе); о нахождении силы приложения по известной осадке штампа (при заданном моменте); о нахождении решения интегрального уравнения с известной правой частью (при заданных осадке и угле поворота). Решения всех задач строятся на основании проекционного метода, а структура полученных решений схожа с полученной в § 2.

Численные расчеты для оснований с покрытиями, профиль которых повторяет форму основания штампа, представлены в § 6. Показано, что распределение контактных давлений и поведение штампа существенно зависят от формы покрытия (или штампа, поскольку речь идет о конформном контакте), а учет явления конформного контакта приводит к результатам, принципиальным образом отличающимся от классического случая (рис. 2, 3). Исследовано влияние силы и эксцентриситета ее приложения на характер решения.

В частности, установлено, что угол наклона штампа может менять свой знак с течением времени даже при постоянных силе и эксцентриситете; существует эксцентриситет приложения постоянной силы, при котором угол наклона не меняется с течением времени, причем этот эксцентриситет не зависит от величины силы; при постоянной силе приложения контактные давления, осадка и угол поворота штампа прямо пропорциональны ее значению, откуда следует, Фиг. 2. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) для m(x) = 1 + 0.05 sin(30x) при t = Фиг. 3. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) для m(x) = 0.7 + 0.4x2 (1 t = 1, 2 t = 1.5, 3 установившееся распределение) что характер поведения штампа на слое не зависит от значения силы (если при каком-либо значении постоянной силы, действующей на штамп, происходит отрыв, то и при любом другом значении отрыв также будет происходить;

если при какой-либо постоянной силе угол поворота меняет свой знак с течением времени, то и при любой другой он также будет менять этот знак, причем в тот же самый момент времени и т. д.). Отмечено, что с помощью использованного метода можно решать контактные задачи для оснований с покрытиями и штампов, имеющих сложный профиль поверхности, определяемый экспериментально при помощи специальных измерительных приборов, причем функции m(x) в этом случае оказываются сильно осциллирующими.

Предложены графические методы решения контактных задач по нескольким уже известным решениям, основанный на линейности решения относительно силы и эксцинтриситета ее приложения, а также метод определения области приложения нагрузки.

Как уже было сказано, раздел 1.2 посвящен решению осесимметричных контактных задач для тел с покрытиями в случае их конформного контакта с жесткими штампами.

В первом параграфе этого раздела дается постановка таких осесимметричных контактных задач, выводится основное интегральное уравнение и записываются дополнительные условия. Полученное интегральное уравнение, как и в плоском случае, является частным случаем уравнения (1), что позволяет использовать описанный во введении проекционный метод в частном случае осесимметричной задачи. Подробное решение приведено в § 2 раздела 1.2. Как и в плоском случае полученное решение имеет структуру q(r, t) = v0(t)P0 (r) + · · ·, m(r) где Pk (r) (k = 0, 1,...) некоторые полиномы специального вида. Как видно, и в осесимметричном случае решение интегрального уравнения есть произведение функции, имеющей особенности (возможно разрывы, осцилляции) и некоторой гладкой функции, что позволяет вести расчеты для оснований, профили поверхностей которых получены из реальных экспериментов.

В следующем параграфе представлено решение задачи при заданной осадке штампа, когда распределение контактных давлений и сила приложения нагрузки подлежат определению. Решение и структура решения этих задач аналогично проделанному выше.

В параграфе § 4 замечено, что осесимметричная задача в известном смысле проще, нежели плоская задача, так как в ней присутствует всего одна степень свободы осадка. Однако все качественные выводы, сделанные для плоской задачи и не относящиеся к повороту, переносятся и на осесимметричные задачи. С помощью проведенного в этом параграфе численного расчета показано, что графики распределения контактных давлений целесообразно преобразовывать к их реальному виду, что связано с нелинейной заменой переменных по радиальной координате.

Раздел 1.3 подводит черту под рассмотренными в 1.1 и 1.2 задачами. В нем даются общие выводы, относящиеся к контактным задачам для тел с покрытиями, форма которых повторяет форму основания штампа, приводятся наиболее значимые формулы, даются рекомендации практического характера.

Глава 2 посвящена задачам контактного взаимодействия жесткого штампа и вязкоупругих оснований с тонкими упругими поверхностно неоднородными покрытиями, то есть покрытиями, свойства которых меняются от точки к точке его поверхности, но постоянны по глубине. Поверхностная неоднородность покрытия возникает обычно вследствие особенностей нанесения этого покрытия на основной слой, а также при поверхностной обработке уже нанесенных покрытий (лазерная обработка, ионная имплантация и т. д.). Поверхностная неоднородность может быть вызвана также использованием различных материалов при изготовлении покрытий. В разделе 2.1 рассматриваются плоские, а в разделе 2.2 осесимметричные контактные задачи для вязкоупругих оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. Изучается влияние вида неоднородности покрытия на контактные напряжения под штампом, а также на его осадку и угол поворота.

Параграф 1 раздела 2.1 посвящен постановке плоской контактной задачи для вязкоупругих оснований с поверхностно неоднородными упругими покрытиями. Как и в случае конформного контакта предполагается, что покрытие тонкое по сравнению с шириной штампа, а его жесткость не превышает жесткости нижнего слоя. Как и ранее, между слоями, а также между нижним слоем и подстилающим основанием может осуществляться либо идеальный, либо гладкий контакт. Смешанное интегральное уравнение для такой постановки и дополнительные условия имеют вид (x [-a, a]) q(x, t)h 2(1 - 2) q(x, t) + (I - V2)F = (t) + (t)x - g(x), (11) E2(t - 2) R(x) a a q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t) = e(t)P (t), (12) -a -a В отличие от случая конформного контакта, теперь рассматриваются упругие покрытия, а в правой части интегрального уравнения появляется функция формы основания штампа g(x), которая, по сути, является функцией зазора между штампом и слоем в их недеформированном состоянии (когда они соприкоснулись, но до начала действия силы, g(x) 0, x0 [-a, a] : g(x0) = 0). После замены переменных уравнения (11) и (12) преобразуются к виду (x [-1, 1], t 1) c(t)m(x)q(x, t) + (I - V2)Fq(x, t) = (t) + (t)x - g(x), (13) 1 q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t). (14) -1 -Здесь функция m(x) обратно пропорциональна жесткости покрытия R(x).

В § 2 приведено решение поставленной в § 1 контактной задачи (13), (14).

Структура решения для контактных напряжений получается такой же, как и в задаче о конформном контакте, то есть удается в решении в явном виде выделить функцию m(x), а значит и связанную с ней функцию жесткости R(x).

Фиг. 4. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) 0 при t = Фиг. 5. Распределение контактного давления при P (t) 1, e(t) (1 t = 1, 2 t = 1.5, 3 установившееся распределение) Параграфы 3–5 раздела 2.1 посвящены решению задач, когда задан угол поворота, но неизвестен момент приложения силы; когда задана осадка, но неизвестна сила приложения нагрузки; когда заданы осадка и угол поворота штампа, а сила и момент приложения подлежат определению. Во всех поставленных задачах, разумеется, неизвестным остается и распределение контактных давлений. Решения всех описанных задач, найденных при помощи проекционного метода, имеют структуру, схожую с той, что была получена в § 2.

В параграфе 6 приведены численные расчеты для оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. Произведены расчеты как для покрытий, жесткости которых изменены локально (рис. 4), так и для покрытий, жесткости которых описываются кусочнопостоянными функциями (рис. 5).

Рассмотрен случай, когда покрытие состоит из двух материалов, граница раздела которых совпадает с осью штампа. Проиллюстрировано влияние формы штампа на распределение контактных давлений и на осадку штампа. Отмечено, что большинство графических методов, рассмотренных в параграфе раздела 1.1 работают и в случае поверхностной неоднородности. Однако следует учитывать тот факт, что в правой части разрешающего интегрального уравнения появляется функция формы основания штампа, вносящая свои коррективы в решение.

В разделе 2.2 рассматриваются осесимметричные контактные задачи для оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. В первом параграфе выводится разрешающее интегральное уравнение, во втором приводится его решение. Структура его, как и ранее, представляет из себя произведение жесткости покрытия и некоторой функции непрерывной по t со значениями из L2(0, 1). В параграфе 3 рассматривается решение задачи при известной правой части, то есть при заданной осадке штампа. Здесь следует лишь отметить, что все качественные выводы, сделанные для плоской задачи и не относящиеся к повороту штампа распространяются и на осесимметричную.

Основные результаты главы зафиксированы в 2.3.

В главе 3 рассматриваются контактные задачи износа упругих оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. Считается, что между слоями, а также между нижним слоем и подстилающим основанием осуществляется идеальный контакт. Предполагается, что скорость изнашивания слоя прямо пропорциональна касательным усилиям и осредненному значению модуля скорости скольжения V и обратно пропорциональна твердости покрытия, а касательные усилия и контактные давления связаны законом Кулона. Рассматриваются кусочно однородные покрытия, отношения твердостей и жесткостей которых совпадают, а также покрытия, технологический процесс нанесения или упрочнения которых делает их твердости и жесткости зависящими от координат точек поверхности, но не влияет на их отношение. Раздел 3.посвящен плоским контактным задачам износа, а раздел 3.2 осесимметричным. Структура разделов совпадает со структурой разделов 1.1, 2.1 и 1.2, 2.2, соответственно.

В § 1 раздела 1.1 рассматриваются плоские износо-контактные задачи. Разрешающее интегральное уравнение и дополнительные условия имеют вид (x [-a, a], t 0) t q(x, t)h k1k2V 2(1 - 2) + q(x, s) ds + Fq(x, t) = (t) + (t)x - g(x), (15) k T (x) T (x) E T a a q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t) = e(t)P (t), (16) -a -a где k1, k2, kT некоторые размерные и безразмерные коэффициенты, а T (x) функция прочности покрытия. После замены переменных уравнения (15), (16) принимают вид (x [-1, 1], t 1) t cm(x) q(x, t) + V q(x, ) d + Fq(x, t) = (t) + (t)x - g(x), (17) 1 q(, t) d = P (t), q(, t) d = M(t). (18) -1 - t Видно, что слагаемое q(x, t) + V q(x, ) d можно записать в операторном виде (I - V1)q(x, t), где V1 оператор, ядро которого постоянно и равно -V. Таким образом, уравнение (17) является частным случаем общего уравнения (1) и может быть решено при помощи проекционного метода А.В. Манжирова.

В параграфе § 2 приводится решение поставленной задачи. В нем в явном виде выделена функция прочности покрытия. Показано, что при постоянных силе P и моменте M, действующих на штамп, для упругого основания при больших значений времени в представлении контактных давлений остаются только главные члены разложения и тогда уравнение (10) можно представить в виде произведения функции твердости T (x) и некоторой линейной функции, то есть q(x, t) = AT (ax)(1 + x), где коэффициент обусловлен наличием перекоса штампа за счет приложенного момента M или продольной неоднородности покрытия. Отмечено, что коэффициенты и A не зависят от функции формы основания g(x) и определяются из условий равновесия штампа на слое. При постоянных силе P и моменте приложения нагрузки M осадка и угол поворота стремятся к линейным по времени функциям, причем углы наклона асимптот определяются исключительно скоростью износа штампа.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»