WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

u u(x1, x2), где (x1, x2) 1, u / n un(x1, x2), где (x1, x2) 2. (4) Метод естественных соседей представляет собой разновидность метода Галеркина, в соответствии с которым неизвестные функции аппроксимируются выражением вида:

k u(x) (x)ui(x). (5) Ni i Для формирования дискретной системы уравнений записывается слабая форма (3):

un u / n N d 2 0, j 1, N. (6) j j u f N d С учетом (5) матричная форма выражения (6) выглядит следующим образом:

KU B, где Kij N d, Bi f Nid unNid 2. (7) i j N Внедрение граничных условий (4) осуществляется аналогично подходу, применяемому в методе конечных элементов.

Третий параграф посвящен выбору метода решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных в результате перехода от дифференциальных уравнений к их дискретному аналогу. Матрица K системы (7) является разреженной, симметричной и положительно определенной. В работе установлено, что эффективным методом для решения подобных СЛАУ является метод сопряженных градиентов с DILU (0) – предобусловливанием. Применение специфической схемы хранения разреженной матрицы в методе сопряженных градиентов дает значительное ускорение и сокращает количество вычислительных операций.

В четвертом параграфе проводится тестирование метода естественных соседей на решении уравнения Пуассона с известным аналитическим решением. Показана сходимость метода при увеличении количества расчетных узлов в области.

Watson D. Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes // The Computer Journal. – 1981. – Vol. 24, № 2. – Р. 167–172.

Вторая глава посвящена описанию численного метода на основе метода естественных соседей для решения задач гидродинамики со свободными границами, сопровождающихся большими деформациями расчетной области. Предлагается численный алгоритм для решения плоских нестационарных задач в полной нелинейной постановке. В первом параграфе представлены основные блоки численного метода.

Общая постановка нестационарной задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей приводится во втором параграфе. В расчетной области течения D, представленной конечным набором узлов, ограниченной свободной поверхностью 3 и твердыми стенками 1, 2, 4, задано течение идеальной несжимаемой жидкости, описываемое системой уравнений Эйлера и уравнением неразрывности:

Dui / Dt (1/ )( p / xi) fi, x D, i 1,2. (8) ui / xi 0, x D. (9) Здесь x (x1, x2) – пространственные координаты, u (u1,u2) – вектор скорости, p – давление, – плотность, f ( f1, f2) (0, g) – вектор внешних сил. Движение расчетных узлов во всей области описывается уравнением вида:

dxi / dt ui, x D, i 1,2. (10) На свободной поверхности 3 выполняется динамическое условие p patm, на твердых стенках 1, 2, 4 выполняется условие непротекания u n 0, где n – внешняя нормаль к поверхности жидкости. В начальный момент времени задано положение расчетных узлов x(0) x и распределение поля скоростей в расчетной области u(x,0) u (x), x D.

В третьем параграфе представлен алгоритм интегрирования по времени системы уравнений (8)–(9), что представляет некоторые трудности в случае несжимаемой жидкости. При решении уравнений в переменных u и p основная сложность заключается в разработке такого способа определения давления, который обеспечит соленоидальность поля скорости и не будет приводить к нефизическим осцилляциям функции давления. В данной работе в качестве схемы движения по времени применяется метод дробных шагов, который впервые был предложен Н.Н.

Яненко3. В результате расщепления системы уравнений (8)–(9) по физическим процессам решение задачи разбивается на два этапа: нахождение векторной функции ui* – предиктора скорости и нахождение скалярной функции давления p из решения уравнения Пуассона для коррекции вектора скорости ui на шаге t t. Тогда решение системы уравнений (8)–(9) на шаге tn 1 можно представить следующим образом:

1) ui uin tfi, i 1,2. (11) * 2) ( /t) u pn 1, где p patm, x 3, и p / n 0, x 1, 2, 4. (12) 3) uin 1 ui (t / )( pn 1 / xi ), i 1,2, где u n 0, x 1, 2, 4. (13) Яненко Н.Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) // Докл. АН СССР. – 1960. – –Т. 134. - 5 с.

В четвертом параграфе представлен дискретный аналог системы уравнений (11)–(13).

В пятом параграфе описываются алгоритмы для выбора шага по времени, определения динамических нагрузок на твердые стенки, а также алгоритмы вычисления характеристик волны, таких как масса, кинетическая и потенциальная энергии.

Шестой параграф посвящен описанию реализации алгоритмов построения диаграммы Вороного на плоскости, поиска естественных соседей и построения структуры узловой связности. Применение диаграммы Вороного существенно ускоряет процесс вычисления функций формы Сибсона, так как для введенной в первоначальное разбиение точки x поиск естественных соседей осуществляется лишь в некоторой подобласти, ограниченной ячейкой Вороного, которой принадлежит x, и ее ближайшими естественными соседями. Поэтому скорость работы метода естественных соседей в целом зависит от эффективности алгоритма, реализующего разбиение области ячейками Вороного.

Наиболее эффективным и достаточно простым в реализации является алгоритм «sweep line», теоретическая оценка числа операций которого составляет O(M log M ), где M – количество точек4. Идея методов «sweep line» заключается в перемещении горизонтальной линии сверху вниз по плоскости. Во время движения такой линии возникают события двух типов – «события точки» и «события круга», на основании которых формируется информация о вычисляемом графе. В данном варианте метода «sweep line» графом является диаграмма Вороного. Оценка числа операций в 1.реализованном алгоритме составила O(M log(M )). Увеличение по сравнению с теоретической оценкой объясняется тем, что в теоретическую оценку не входят специфические операции, подготавливающие данные для дальнейшего их использования в методе естественных соседей – отсечение внешних ребер, построение структуры узловой связности. Разработанная структура узловой связности позволяет быстро получать информацию о естественных соседях любого узла, а также восстановить двойственную диаграмме Вороного структуру – триангуляцию Делоне.

На рисунке 1, а изображена диаграмма Вороного для заданного набора узлов.

Описание метода определения границ расчетной области и его реализация на основе структуры данных, полученной при построении диаграммы Вороного, приводится в седьмом параграфе. При решении задач гидродинамики в начальный момент времени необходимо задавать положение свободной и твердых границ моделируемых течений. В следующие моменты времени положение свободной границы меняется, а вместе с ней может меняться и последовательность номеров узлов, лежащих на границе. Течения жидкости, сопровождающиеся большими деформациями, дополнительно могут привести к появлению многосвязных областей в виде брызг или образовавшихся внутри области полостей, что невозможно учесть на начальном этапе задания граничных узлов.

Эффективным методом определения границ расчетной области является метод « -shape», который основывается на понятии -формы5. Задача нахождения границы по заданному множеству точек подразумевает распознавание его формы и не имеет Fortune S.J. A sweepline algorithm for Voronoi diagrams // Journal Algorithmica. – 1987. – № 2. – P. 153–174.

Edelsbrunner H., Macke E.P.Three-dimensional alpha // ACM Trans. Graph. – 1994. – Vol. 13, № 1. – P. 43–72.

единственного решения. -форма параметризируется действительным числом [0; ) и представляет семейство геометрических фигур в диапазоне от точки до выпуклой оболочки множества. На практике для нахождения границы используется триангуляция Делоне, а параметр является значением критерия: если радиус описанной окружности треугольника превышает значение, то треугольник исключается из расчетной области.

а) б) в) г) Рис. 1. а) Диаграмма Вороного; б) первоначальная триангуляция Делоне; в) триангуляция Делоне при 0, 25 ; г) триангуляция Делоне при 0,На рисунке 1 приведен процесс определения границы множества точек. На первом шаге из диаграммы Вороного восстанавливается первоначальная триангуляция Делоне (рисунок 1, б). Затем осуществляется очистка области от элементов, не удовлетворяющих критерию (рисунки 1, в–г). Для определения геометрии границы заданной области необходимо подобрать значение параметра, дающего «приемлемые» результаты. Универсальных методов выбора значения нет, существуют лишь некоторые рекомендации, полученные из опыта применения алгоритма и основанные на соотношениях расстояний между самыми близкими и самыми удаленными точками области.

В восьмом параграфе приводится описание разбиения расчетной области расширенной триангуляцией Делоне, которая в данной работе используется для перехода к дискретной форме систем уравнений (12)–(13)6. Расширенной триангуляцией Делоне называется разбиение области D на подобласти Pi так, что D Pi, где каждая подобласть Pi есть многоугольник, определяемый всеми вершинами, лежащими на окружностях Делоне, центры которых находятся на достаточно малом расстоянии друг от друга. Расширенная триангуляция Делоне лишена недостатков, характерных для триангуляции Делоне, которые проявляются в неоднозначности или вырожденности треугольных элементов, поэтому численное интегрирование с ее применением осуществляется точнее.

Третья глава посвящена решению нестационарных задач гидродинамики со свободными границами модифицированным методом естественных соседей. Волновое движение массы воды со свободной поверхностью под действием силы тяжести является одним из наиболее интересных и успешных приложений нелинейной The meshless finite element method / S. Idelsohn, E. Onate, N. Calvo, F. Del Pin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2003. – Vol. 58, № 4. – P. 32–59.

гидродинамики. Волны на свободной поверхности представляют хорошо известное, но и вместе с тем достаточно сложное явление, которое весьма не просто описать.

Применимость метода естественных соседей для решения задач механики жидкости со свободными границами проверяется на решении ряда тестовых задач. В пункте 1.1 первого параграфа приводится решение задачи Л.В. Овсянникова о деформации жидкого эллипса7. Данная задача служит хорошим тестом на нахождение формы свободной границы. В таблице 1 приведены значения относительной погрешности длины главной полуоси эллипса в различные моменты времени.

Таблица Относительная погрешность главной полуоси эллипса (2000 узлов) t 0,1 0,4 0,6 1,0 1,3 1, (a(t)), % 0,025 0,046 0,080 0,101 0,128 0,В пункте 1.2 приведено решение нестационарной задачи о движении уединенной волны по бассейну постоянной глубины. В этом тесте важным является то, что уединенные волны в процессе движения не изменяют амплитуду и скорость, сохраняют форму и полную энергию. Начальные данные (распределение расчетных частиц в области и поле скоростей), описывающие уединенную волну, получены численно из решения нелинейной нестационарной задачи комплексным методом граничных элементов (КМГЭ)8. Расчеты по распространению волн выполнялись в безразмерных переменных. В качестве характерных параметров выбиралась максимальная глубина канала H, ускорение силы тяжести g, некоторая характерная скорость gH.

Результаты тестирования показали, что использование переменного шага по времени позволяет моделировать течения с меньшими погрешностями, чем с постоянным шагом, при этом возможно снижение временных затрат на проведение расчета в несколько раз.

Таблица Основные характеристики расчета В таблице 2 приведены основные N A E M 8020 характеристики, полученные в 1,351 10 2 1, 437 10 2 2,127 10 результате расчета движения 1,036 10 2 1, 268 10 2 1,812 10 уединенной волны амплитуды 8,877 10 3 8,719 10 3 1, 415 10 A 0,5, в момент времени t 21, к которому она прошла путь, равный 2,5 своих длин. В первом столбце указано количество узлов N, во втором, третьем и четвертом столбцах приведены относительные изменения амплитуды A, полной энергии E и массы волны M.

Выполнение законов сохранения энергии и массы, сохранение амплитуды и формы волны позволяет судить о применимости метода естественных соседей для решения нелинейных нестационарных задач со свободной поверхностью.

Пункт 1.3 первого параграфа посвящен решению задачи о взаимодействии уединенных волн с вертикальными преградами. Расчет проводился для амплитуд волны A 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. На рисунке 2, а приведены профили свободной поверхности при накате солитона амплитуды A 0,5 на вертикальную стенку для Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задачи о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. – Новосибирск: Наука, 1967. – С. 5–75.

Стуколов С.В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. – Кемерово, 1999. – 26 с.

нескольких моментов безразмерного времени (при t 0, ymax 1,5005 – первоначальная форма солитона, t 8,73, ymax 2,2647 – форма свободной поверхности в момент максимального заплеска, t 18,01, ymax 1,4421 – форма восстановленного солитона). Анализ рисунка позволяет утверждать, что отражение волны от стенки приводит к уменьшению амплитуды волны и формированию хвоста вторичных волн малой амплитуды9.

а) б) Рис. 2. а) Профиль свободной границы; б) кинетическая, потенциальная и полная энергии.

На рисунке 2, б приведены зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий от времени. По оси абсцисс обозначен момент времени максимального заплеска на вертикальную стенку. Нетрудно заметить, что максимум потенциальной энергии и максимальный заплеск на стенку смещены по времени относительно друг друга9.

Сравнение максимального заплеска на вертикальную стенку проводилось с рядом работ других авторов. На рисунке представлен график зависимости максимального заплеска на вертикальную стенку от амплитуды. Цифрой 1 обозначены результаты численных расчетов, взятые из работы (Cooker M.J., Weidman P.D., Bale D.S., 1997), 2 – (Протопопов Б.Е., 1990), 3 – Рис. 3. Сравнение максимального заплеска на вертикальную стенку (Afanasiev K.E., Stukolov S.V., 2003), 5 – (Шокин Ю.И., Рузиев Р.А., Хакимзянов Г.С., 1990), 6 – расчеты автора методом естественных соседей. В работе (Манойлин, С.В., 1989) приведены экспериментальные данные (значения 4). Из рисунка 3 видно расхождение с экспериментальными данными результатов, полученных методом естественных соседей, для амплитуд волны A 0,5. При этом с остальными результатами получено хорошее качественное и количественное совпадение для всех приведенных значений амплитуд волн.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»