WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

С помощью второго подхода решается задача поиска путей прихода системы в опасное состояние при условии возникновения какого-либо инициирующего событии (ИС), выводящего систему из равновесия. Таким образом, он характеризует анализ аварии «с начала в конец». Для кораблей такими событиями могут быть пожар в помещении, короткое замыкание в электрической сети, поступление воды и т.д. Практика анализа безопасности сложных объектов показала, что удобнее прослеживать их реакцию на ИС, чем определять пути успешного развития событий, т.е. составляется сценарий развития аварии в системе. Далее, так же как и в первом подходе, строится логическая функция, аргументами которой являются события, являющиеся исходными, т.е. присутствующие в сценарии.

После построения ФАЛ любым из подходов производится оценка вероятности ее реализации (вероятности того, что она примет значение, равное единице). Это самый сложный с математической точки зрения этап оценки риска. В конце, подставляя в вероятностную функцию (ВФ) значения входящих в нее вероятностей, вычисляется вероятность возникновения конечного события. Полученный показатель сравнивается с допустимым уровнем риска, на основании чего делается вывод о безопасности системы, о достаточности принятых мер обеспечения безопасности. Если полученный показатель выше допустимого уровня, система признается опасной, а меры неудовлетворительными, таким образом, выявляются те места, которые отвечают за высокий уровень риска.

Второй раздел посвящен развитию логико-вероятностной теории и ее использованию при исследовании безопасности сложных систем. Методы, разработанные на основе логико-вероятностной теории, четки, однозначны и обладают большими возможностями при анализе влияния любого элемента на безопасность всей системы, поэтому они наиболее привлекательны для практического использования. Логико-вероятностная теория является своеобразным мостом между алгеброй логики и теорией вероятностей. Она базируется на логическом представлении развития опасных состояний и математических методах вычисления истинности ФАЛ, представляющей сценарии развития аварии.

Из-за невозможности проведения полноценных натурных экспериментов, все возможные варианты развития аварийной ситуации проигрываются на математических моделях. Поскольку компьютерные технологии непрерывно развиваются, то этот путь оказывается весьма перспективным. Препятствием на пути решения этой задачи является представление о практической невозможности перебора всех ситуаций, которые могут привести систему в опасное состояние. Существуют меры преодоления этого:

- максимально конкретизировать и четко представлять суть опасного состояния;

- ограничить объект исследования разумными пределами:

пространственные границы, дробление системы на элементы;

Также в разделе приведено представление множества монотонных и немонотонных логических функций.

Множество всех логических функций Множество монотонных Множество функций немонотонных функций Рассмотрены два вида немонотонных ФАЛ, особенности рассмотрения немонотонных функций каждого типа и приведены два способа проверки функции на монотонность.

К первому типу относят ФАЛ, которые в наиболее краткой ДНФ (дизъюнктивно-нормальной форме, которую невозможно упростить) для любого номера аргумента i содержат только отрицание i-го аргумента, сам аргумент xi в функцию не входит, т.е. функция представима в следующем виде f (Xn) = (L KL ) (q Kq ), где (L KL ) – конъюнкции, содержащие xi, (q Kq ) – конъюнкции, не содержащие xi.

Ко второму типу относятся ФАЛ в ДНФ, в которые хотя бы для одного номера аргумента i входят как события xi, так и отрицания этих событий x, i т.е. функция представима в следующем виде f (Xn ) = ( K ) (L KL ) (q Kq ), где ( K ) – конъюнкции, содержащие j j j j xi, (L KL) – конъюнкции, содержащие xi, (q Kq ) – конъюнкции, не содержащие xi и xi.

Немонотонные логические функции первого типа можно привести к монотонным путем замены переменных. Пусть xi,i = 1,k – те аргументы, которые входят в ФАЛ с отрицанием, тогда производится замена следующего типа: для аргументов, входящих с отрицаниями zi = xi,i =1, k, для всех остальных аргументов, входящих без отрицаний z = xj, j i =1,k. Далее к j полученной ФАЛ можно применять аппарат, разработанный ранее И.А.Рябининым для монотонных функций. Следует только внимательно отслеживать номера аргументов, которые заменяются как zi = xi,i =1, k, поскольку вероятности новых переменных zi,i =1,k, вычисляются следующим образом: P(zi ) =1- P(xi ),i = 1, k, в отличие от P(z ) = P(xj ), j i =1,k.

j Немонотонные логические функции второго типа, в отличие от функций первого типа, нельзя привести к монотонным путем какой-либо замены переменных, поскольку в функцию входят как события xi, так и xi, и при любой замене невозможно избавиться от отрицания элемента. Таким образом, математический аппарат, разработанный для монотонных функций, не может быть применен. А для функций второго вида необходимо разрабатывать новые методы оценки важности входящих в них аргументов.

Также в разделе определены понятия «веса» и «значимости» событий, их смысл. Описано возникновение проблемы и обосновывается необходимость ее решения.

В третьем разделе сформулирована задача исследования.

В четвертом разделе приведены основные результаты исследования, касающиеся определения характеристики важности для одного события для немонотонной логической функции. Для удобства понимания полученных результатов в тексте раздела приведены основные определения, использующиеся в данном разделе.

Вес логической функции, состоящей из m элементов, есть относительная доля наборов элементов, на которых функция равна 1, среди всех 2m наборов возможных значений элементов.

Булева разность любой функции y(Xm) по аргументу xi есть результат сложения по модулю два функции y(Xm ) и симметричной с ней функцией yx (X ) = y(x1,..., xi,..., xm ).

m i Лемма 4.1.1: Монотонная логическая функция y(X ) является m ( импликантой ее единичной функции y1i) (X ) = y(x1,...,1,..., xm), а нулевая m ( функция y0i) (X ) = y(x1,...,0,..., xm ) есть импликанта исходной функции m y(X ), т.е., обозначив через [ y(Xm)] множество наборов Xm, на которых m ( ( y(Xm) = 1, получаем включение.

[ y0i)(X )] [ y(X )] [ y1i)( X )] m m m Доказана несправедливость леммы 4.1.1 для немонотонных логических функций произвольного типа.

Сформулирована и доказана альтернативная лемма для немонотонных ФАЛ первого типа.

Лемма 4.1.2: Немонотонная логическая функция y(X ) первого типа m ( является импликантой ее нулевой функции y0i) (X ) = y(x1,...,0,..., xm ), а m ( единичная функция y1i) (X ) = y(x1,...,1,..., xm ) есть импликанта исходной m функции y(X ), т.е., обозначив через [ y(X )] множество наборов Xm, на m m (i) которых y(Xm) = 1, получаем включение: [y1 (X )] [y(X )] [y(i) (X )].

m m 0 m Вес аргумента xi в ФАЛ есть вес булевой разности монотонной логической функции по аргументу xi gx = g(x y(X )).

m i i Значимость аргумента xi есть частная производная от вероятности опасного функционирования всей системы Pc = P( y(Xm) = 1) по вероятности опасности данного события Pi = P(xi = 1) i = Pc \ Pi. Под записью P(a) понимаем вероятность истинности a, т. е. P(a = 1).

Теорема 4.1.1: Значимость аргумента xi в монотонной логической функции численно равна вероятности истинности булевой разности ФАЛ по аргументу xi :.

i = P(x y(Xm )) i Для немонотонных функций произвольного типа данная теорема не выполняется, поскольку в ходе доказательства используется лемма 4.1.1, которая справедлива только для монотонных логических функций.

Сформулирована и доказана альтернативная теорема, справедливая для немонотонных ФАЛ первого типа.

Теорема 4.1.2: Значимость аргумента xi в немонотонной логической функции первого типа численно равна вероятности истинности булевой разности ФАЛ по аргументу x со знаком минус: i = -P(x y(X )).

i m i Вкладом события xi в безопасность системы называется полная вероятность опасного функционирования системы, определяемая данным событием Bi = Pi i.

Относительный вклад vi = Bi \ Pc.

Также в разделе разъяснен смысл определений значимости и вклада элементов для немонотонных функций. Приведено определение активности элементов немонотонных структур, которое имеет смысл, как для немонотонных, так и для монотонных функций алгебры логики:

ai = (P(( K ) (L KL )) \ Pc, где ( K ) – конъюнкции, которые содержат j j j j xi ; (L KL ) – конъюнкции, содержащие xi ; P(( K ) (L KL ) = 1) – j j вероятность опасной работы системы, вычисленная по конъюнкциям, содержащих xi и xi.

Сформулирована и доказана теорема о связи активности и относительного вклада для аргументов любых логических функций.

Теорема 4.2: Верно соотношение vi ai, где vi - относительный вклад i-го аргумента, а ai - его активность.

В пятом разделе приведены основные результаты, касающиеся определения характеристики важности для двух аргументов немонотонных логических функций. Для удобства понимания полученных результатов в тексте раздела также приведены основные использующиеся определения.

Двукратная булева разность любой функции y(X ) по аргументам m xi и xj есть выражение x x y(X ) = x [x y(X )].

m m i j i j Двойная булева разность любой функции y(X ) по аргументам xi и m xj есть результат сложения по модулю два исходной функции y(X ) и m симметричной с ней функции yxx (X )=y(x1,...,xi-1,xi, xi+1,..., xj-1, xj, xj+1,..., xm) :

m i j x x y(X )=y(X )yxx (X ).

m m m i j i j Лемма 5.1: Двукратная булева разность любой ФАЛ не зависит от порядка аргументов, по которым она вычисляется, т. е.

x x y(X ) = x xi y(X ).

m m i j j Лемма 5.2.1: Двойная нулевая функция по аргументам xi и xj является импликантой нулевой единичной (единичной нулевой) функции по тем же аргументам, которая, в свою очередь, является импликантой двойной единичной функции для всех монотонных ФАЛ, т. е. имеют место i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, включения [ y00j ][ y01j ][(y01j y10j )][ y11j ]; [ y00j ][ y10j ][(y01j y10j )][ y11j ].

Доказана несправедливость леммы 5.2.1 для немонотонных логических функций произвольного типа.

Сформулирована и доказана альтернативная лемма для немонотонных ФАЛ первого типа.

Лемма 5.2.2: Двойная единичная функция по аргументам xi и xj является импликантой нулевой единичной (единичной нулевой) функции по тем же аргументам, которая, в свою очередь, является импликантой двойной нулевой функции для всех немонотонных ФАЛ первого типа, т. е.

i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, верно, что [y11j][y01j][( y01jy10j)][y00j];[y11j][y10j][(y01jy10j)][y00j].

Дальнейшие леммы и теоремы сформулированы и доказаны автором.

Лемма 5.3: Двукратная булева разность любой ФАЛ по аргументам xi и xj может быть вычислена по формуле (здесь и в дальнейшем знаки конъюнкции опущены) x x y(X )=( y11y10 y01y00) ( y11y10 y01y00) (y11y10 y01y00) ( y11y10 y01y00) m i j ( y11y10 y01y00) ( y11y10 y01y00) ( y11y10 y01y00) ( y11y10 y01y00).

Лемма 5.4: Двойная булева разность любой ФАЛ по аргументам xi и xj может быть вычислена по формуле x x y(X ) = ((xixj xixj )(y11y00 y11y00)) ((xixj xi xj )(y10 y01 y10 y01)).

m i j Лемма 5.5: Для любой ФАЛ логическое произведение булевых разностей от одной и той же функции по аргументам xi и xj может быть вычислено по формуле x y(X ) & x y(X ) = ((xix )(y11y10 y01 y11y10 y01)) m m j i j ((xixj )(y11y01y00 y11y01y00)) ((xi xj )(y11y10 y00 y11y10 y00)) ((xix )(y10 y01y00 y10 y01y00)).

Лемма 5.6: Для любой ФАЛ логическую сумму булевых разностей от одной и той же функции по аргументам xi и xj можно вычислить по формуле x y(Xm) x y(Xm) = xi y11y10 xi y11y10 xj y11y01 xj y11yi j xi y01y00 xi y01y00 xj y10 y00 xj y10 y00.

Лемма 5.7: Для любой ФАЛ результат сложения по модулю два булевых разностей от одной и той же функции по аргументам xi и xj может быть определен по формуле x y(Xm) x y(Xm) = ((xixj xixi )(y10 y01 y10 y01)) i j ((xixj xixj )(y11y00 y11y00)).

Лемма 5.8: Для любой ФАЛ имеет место соотношение x x y(X ) ( y11y10 y01y00) (y11y10 y01y00) = (x y(X )x y(X )) m m m i j i j (x yx (X )x y(X )) (x y(X )x yx (X )) (x yx (X )x yx (X )).

m m m m m m i j j i j i i j j i Двукратный вес элементов xi и xj в системе есть вес двукратной булевой разности логической функции по аргументам xi и xj g2x x = P{x x y(Xm)}|R =0.5,i=1,m, где запись Ri = 0.5,i = 1,m – означает, что i j i j i значение вероятностей ( Ri ) событий xi ( i = 1, m ) равны 0,5.

Двойной вес элементов xi и xj в системе есть вес двойной булевой разности логической ФАЛ по аргументам xi и xj gx xj = P{x xj y(X )}|R =0.5,i=1,m.

m i i i Совместный вес элементов xi и xj в системе есть вес логического произведения булевых разностей ФАЛ по аргументам xi и xj gx xj = P{x y(Xm) x y(X )}|R =0.5,i=1,m.

m i i j i Суммарный вес элементов xi и xj в системе есть вес логической суммы булевых разностей ФАЛ по аргументам xi и xj gx xj = P{x y(Xm) x y(X )}|R =0.5,i=1,m.

m i i j i Раздельный вес элементов xi и xj в системе есть вес результата сложения по модулю два булевых разностей ФАЛ по аргументам xi и xj gx x = P{x y(X ) x y(X )}|R =0.5,i=1,m.

m m i j i j i Теорема 5.1: Двукратный вес элементов xi и xj в системе и совместный вес этих элементов связаны соотношением 4gx x = 2g2x x + P((y11y10 y01y00) (y11y10 y01y00)).

i j i j Теорема 5.2: Двойной вес элементов xi и xj в системе численно равен раздельному весу этих элементов gx x = gx x.

i j i j Теорема 5.3: Суммарный вес элементов xi и xj в системе равен сумме раздельного и совместного весов этих элементов в системе gx x = gx x + gx x.

i j i j i j В разделе шесть рассмотрены методы перевода функции алгебры логики в вероятностную функцию: алгоритм ортогонализации, наращивания путей, рекуррентный алгоритм. Также проведен их сравнительный анализ.

Зависимость количества производимых операций от количества элементарных конъюнкций ФАЛ, представленной в ДНФ, приведена в следующей таблице:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»