WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Крылова1. уравнение движения (u )u + p = f, x, В первой главе сформулированы математические постановки задач о внутренних стационарных течениях вязкой и идеальной несжимаемой уравнение неразрывности жидкости в естественных переменных вектор скорости – давление. На ос u = 0, x, нове этих математических моделей построены вариационные постановки в и краевым условиям на границе области: заданному вектору скорости на форме Галеркина, эквивалентные исходным задачам. Глава состоит из трех входе в область, условиям непротекания на твердых стенках и заданной параграфов.

нормальной компоненте вектора скорости на выходе.

В параграфе 1.3 для поставленных задач сформулированы вариационные постановки в форме Галеркина, эквивалентные исходным задачам.

Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. – PWS Publishing Company, 1996.

7 Вторая глава посвящена построению дискретных аналогов вариацион- – Брецци2, которое является одним из необходимых условий существованых постановок в форме Галеркина, полученных в первой главе. Представ- ния и единственности решения вариационной задачи:

лена разработанная вычислительная схема расчета неизвестных компонент vh, qh ( ) вектора скорости и давления в гипервекторе, позволяющая единообразно inf sup > 0, (1) h qhP моделировать стационарные внутренние течения вязкой несжимаемой uhVh qh vh жидкости (уравнения Навье – Стокса, Стокса) и идеальной несжимаемой где вектор скорости принадлежит пространству Vh, а давление – прожидкости (уравнения Эйлера). Выписаны стабилизированные схемы Галеркина для моделирования трехмерных течений на тетраэдральном раз- странству Ph, – константа, не зависящая от h,, – скалярное про( ) биении. Построены противопотоковые схемы с расчетом неизвестных в изведение. Показано, что пары пространств Тейлора – Худа и Крузея – узлах конечных элементов и серединах их ребер. Для аппроксимации поРавьяра соответствуют условию Ладыженской – Бабушки – Брецци.

токов через ребра двойственной сетки предложено использовать формулы В параграфе 2.4 представлены вычислительные схемы расчета неизинтегрирования базисных функций по отрезкам медиан конечного элеменвестных компонент вектора скорости и давления в гипервекторе. В блочнота. Предложен способ учета краевого условия u n = h ( n – вектора матричном виде система уравнений, основанная на смешанной конечно элементной постановке, для неизвестных компонент вектора скорости un+нормали к границе, h – заданная функция) в конечно-элементных аппроксимациях уравнений Эйлера. и давления pn+1 имеет вид:

В параграфе 2.1 введены двойственные по отношению к первичной сетке разбиения: 1) разбиение на ячейки, построенные вокруг вершин сим- A + QMp1QT -Q un+1 Mf =, (2) плексов первичной сетки; 2) разбиение на ячейки, построенные вокруг се- M pn редин сторон симплексов первичной сетки. QT Mp pn+1 p В параграфе 2.2 построены дискретные аналоги полученных в первой где p0 – заданное начальное приближение давления, > 0 – штрафной главе вариационных постановок.

Важным критерием вычислительных схем для моделирования течений параметр, n 0 – шаг итерации, D – диффузионная матрица, C – конвеквязкой несжимаемой жидкости является эффективность учета условия, тивная матрица, матрица A = D + C соответствует аппроксимации уравнакладываемого на дивергенцию аппроксимируемого поля скоростей. В нений Навье – Стокса, матрица A = D – аппроксимации уравнений Стосвязи с этим требуется введение специальных постановок и выбор функкса, матрица A = C – аппроксимации уравнений Эйлера, матрица Q социональных пространств в вариационных постановках. Для корректного ответствует дискретному уравнению неразрывности, Mp – матрица массы учета уравнения неразрывности построены смешанные и стабилизированные конечно-элементные постановки. В стабилизированных конечнов дискретном уравнении неразрывности, M – матрица массы в дискретэлементных постановках для компонент вектора скорости и давления исном уравнении движения, f – вектор правой части. Для обращения матрипользуются базисные функции одного порядка – кусочно-линейные. В цы массы Mp выполнена ее диагонализация.

смешанных конечно-элементных постановках базисные функции одного Другим способом учета уравнения неразрывности является алгоритм порядка приводят к неустойчивости решения, поэтому выбору базисных Удзавы. Матричный вид модифицированного алгоритма Удзавы для нахофункций для смешанных конечно-элементных постановок посвящен следующий параграф второй главы.

ждения вектора скорости un+1 и давления pn+1 представлен выражениями:

В параграфе 2.3 отмечены допустимые дискретные пространства базисных функций для смешанных конечно-элементных постановок. Пространства выбираются в соответствии с условием Ладыженской – Бабушки Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. Springer – Verlag, New York, 1991.

9 -1 декартовых компонент вектора скорости uh в тангенциальную и нормаль(A + QMp QT )un+1 = Mf + Qpn, ную компоненты:

(3) m -1 i h pn+1 = pn - Mp QTun+1, uh = ui i x, T % ( ) i=i i где p0 – заданное начальное приближение давления, > 0 – штрафной cos -sin i где Ti = - матрица преобразования, - угол между i i параметр, n 0 – шаг итерации, матрицы A, D, C, Q, Mp, M и векsin cos тор f определены в алгоритме (2).

h h % осью x и касательным вектором к ребру в i -ом узле, ui = un i, uh - ( ) i В рассмотренных матричных уравнениях несжимаемое слагаемое штрафуется пропорционально давлению, что дает возможность отдельно нормальная и тангенциальная компоненты вектора скорости, m - число получить уравнения для расчета компонент вектора скорости и уравнение расчетных узлов на конечном элементе, i x - базисная функция про( ) для вычисления давления.

странства Vh.

Следующие алгоритмы построены на основе стабилизированной схемы Разработаны конечно-элементные противопотоковые схемы с расчетом Галеркина, в которой введены два члена. Первый член соответствует метонеизвестных в узлах и серединах ребер конечных элементов. Для построеду Streamline Upwind Petrov – Galerkin (SUPG), второй – методу стабизиния противопотоковых схем выполнена модификация дискретного аналога зации давления Pressure Stabilization Petrov – Galerkin (PSPG). Стабилизиконвективных членов с помощью кусочно-постоянного оператора на ячейрующие члены входят в постановку с соответствующими параметрами ке двойственной сетки. В модифицированное выражение введен параметр, стабилизации, позволяющими регулировать величину искусственной вязкоторый указывает направление вектора скорости относительно внешней кости, добавляемой в уравнения для подавления больших нефизических нормали к части границы ячейки. Вклады в матрицу конвективных членов осцилляций. В диссертационной работе предлагается определять параметр вносят те значения в узлах, которые лежат вверх по потоку. Основой апстабилизации в каждой ячейке ее размерами и заданными в ней коэффиципроксимации потоков в предположении о кусочно-линейном поведении ентами уравнений.

компонент вектора скорости на конечном элементе служит аппарат, осноВ блочно-матричном виде метод SUPG/PSPG для решения уравнений ванный на использовании формул интегрирования базисных функций по Навье – Стокса и Эйлера имеет вид:

отрезкам медиан конечного элемента (по ребрам ячеек двойственной сет A + SSUPG -( ) Q + KSUPG u M + CT f ( ) SUPG ки).

=, (4) T Таким образом, в диссертационной работе для корректного учета диQ + KPSPG DPSPG p ( ) QPSPGf вергентного условия используются смешанные и стабилизированные погде u – вектор скорости, p – давление, обозначения матриц D, C, Q, становки и соответствующие им вариационные задачи. Учет конвективных M введены ранее в (2), A = D + C соответствует аппроксимации уравне- членов выполнен противопотоковыми схемами с расчетом неизвестных в узлах и серединах ребер симплексов сетки и стабилизированными схемами ний Навье – Стокса, A = C – аппроксимации уравнений Эйлера, f – векГалеркина.

тор правой части. Матрицы стабилизации SSUPG, KSUPG, CSUPG включают Третья глава посвящена описанию разработанного комплекса пропараметр стабилизации SUPG ; матрицы стабилизации DPSPG, KPSPG сограмм, вычислительным экспериментам и анализу их результатов. Глава держат параметр стабилизации PSPG. Для решения уравнений Стокса иссостоит из трех параграфов.

В параграфе 3.1 описываются структура комплекса программ, струкпользуется метод стабилизации давления PSPG, поскольку в уравнения не тура данных, его основные модули и функциональные особенности. Разравходят конвективные члены.

ботана структура данных для хранения элементов матриц СЛАУ, в кото Для реализации краевого условия u n = h в вариационных поста рых неизвестным вектором является гипервектор, включающий компоненновках уравнений Эйлера предлагается ввести матрицу преобразования ты вектора скорости и давления. Исследованы структуры глобальных мат 11 риц и их размерности для разных вариационных постановок. Процесс ре- мость интенсивности вторичного течения от величины сдвига скорости на шения задачи разделен на этапы, что позволяет в комплекс программ без входе (рис. 1).

особых затрат добавлять новые вычислительные алгоритмы и расширять Сравнение результатов расчетов, полученных в переменных вектор круг задач. скорости – давление методом конечных элементов и в переменных векторПараграф 3.2 посвящен тестированию реализованных методов на ряде ный потенциал – вектор вихря методом конечных разностей4, показало модельных задач, проведению вычислительных экспериментов на задачах, хорошее согласование.

имеющих практическую ценность.

На двумерной задаче конвекции-диффузии с доминированием конвекции выполнено сравнение следующих методов: метода Петрова – Галерки40 на стабилизации давления со стабилизацией оператора конвекции в направлении линии тока, метода конечных элементов/конечных объемов, МКЭ и конечно-элементных противопотоковых схем с расчетом неизвестных в узлах и серединах ребер треугольников.

Выполнено сравнение точности решения уравнений конвективнодиффузионного типа для трехмерной задачи, полученного методом конечных элементов и стабилизированным методом конечных элементов. Для этой же тестовой задачи решено нестационарное уравнение конвективнодиффузионного типа. Аппроксимация по времени выполнена схемой 100 110 120 130 140 100 110 120 130 140 x x Кранка – Николсон.

Программная реализация алгоритмов расчета полей вектора скорости и а) б) давления (смешанного метода конечных элементов, алгоритма Удзавы и Рис. 1. Проекция вектора скорости на поперечное сечение канала при стабилизированных схем Галеркина) верифицирована на модельных двуy=40, на входе задан вектор скорости со сдвигом:

мерных и трехмерных задачах Навье – Стокса (в стационарном и нестаа) uy= 0,75+0,5z; б) uy= 0,9+0,2z.

ционарном случаях), Стокса и Эйлера. Для алгоритмов, использующих функцию штрафа, определены оптимальные значения штрафного параметТрубопроводы, используемые в промышленности, представляют собой ра.

систему, состоящую из трубы (“русла”) и различных конструктивных В качестве тестовой задачи численно решена задача о каверне. Наблювключений (сужение, расширение и другое). В диссертационной работе дается хорошее совпадение полученных результатов с опубликованными приведены результаты моделирования течения в каналах переменного седанными3. В диссертационной работе приведены результаты расчетов качения (с расширением и сужением русла). Определено влияние соотношеверны при Re = 400, 1000, 2500.

ния узкого и широкого сечений на погрешность вычислений при измельчеВ параграфе 3.3 приведены результаты моделирования течений в двунии сетки (рис. 2).

мерных и трехмерных криволинейных каналах с разворотом потока на В приложениях приводятся компоненты локальных матриц и векторов и 270 градусов. Для криволинейного канала с разворотом потока на правых частей, вычисленные на треугольных конечных элементах для куградусов расчеты выполнены при различном задании сдвига скорости на сочно-линейных и кусочно-квадратичных базисных функций, а также на входе в область, показано возникновение вторичного течения и зависитетраэдральных конечных элементах для кусочно-линейных базисных Elias R. N., Coutinho A.L.G.A., Martins M.A.D. Inexact Newton – type methods for non-linear problems arising from the SUPG/PSPG solution of steady incompressible Navier – Stokes equations // J. Braz. Soc. Mech. Sci. & Eng. – 2004. – Vol. XXVI., No. 3 Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина Н.Ю. Численное модели– P. 330-339. рование течений жидкости с поверхностными волнами. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

13 z z функций. Для полученных в работе вариационных постановок представле- широкого сечений на погрешность вычислений при измельчении сетки ны портреты генерируемых матриц СЛАУ. в трубопроводах, состоящих из различных конструктивных включений (элементов сужения и расширения).

Список основных работ по теме диссертации публикация в издании, рекомендованном ВАК 1. Гобыш А.В., Шокина Н.Ю. Анализ вычислительных схем методов конечных элементов и конечных разностей для моделирования течений несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. – 2006. – Том 0 11. – № 6. C. 22–31.

0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 X X публикации в трудах международных конференций а) б) 2. Гобыш А.В., Шокина Н.Ю., Шурина Э.П. Анализ вычислительных Рис. 2. Линии тока для каналов переменного сечения:

алгоритмов для уравнений Навье – Стокса, основанных на методе коа) расширение русла; б) сужение русла.

нечных элементов // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Часть 1. – Новосибирск: Изд-во В заключении сформулированы основные результаты диссертационИВМиМГ СО РАН, 2004. – С. 467–472.

ной работы, выносимые на защиту:

3. Шурина Э.П., Гобыш А.В. Исследование вычислительных схем расче• Разработана технология реализации противопотоковых схем на нета несжимаемых течений на базе ММКО/МКЭ // Вычислительные техструктурированных сетках с расчетом неизвестных в узлах конечных нологии (2003, Т. 7), Региональный вестник Востока (2003, Т. 3) – Соэлементов и серединах их ребер для моделирования течений с преобвместный выпуск по материалам Международной конференции “Выладанием конвективного переноса. В контексте метода конечных элечислительные и информационные технологии в науке, технике и обраментов предложен новый способ аппроксимации потоков через гранизовании”. Ч. IV. – Новосибирск – Алматы – Усть-Каменогорск. – 2003.

цы ячеек двойственной сетки.

– С. 13–17.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»