WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В третьей главе рассматриваются одномерные задачи о нормальном ударе по внутренней поверхности цилиндрического или сферического отверстий в недеформированном нелинейно-упругом пространстве. Приближенные решения этих и после дующих задач строятся с помощью лучевого метода. Точное решение для поля перемещений заменяется в окрестности (t) рядом вида uII (r,t) = uI (r,t) - n(t) t - t, t t, (6) ( )n n! n=r nu d t(r) =, n(t) =.

G( ) tn (t) rВ (6) под u(r,t) подразумевается любая из компонент ur, u, uz. Индексом “I” обозначена область перед фронтом волны, а индексом “II” – область за ударной волной.

Для коэффициентов этого ряда n(t) может быть получена бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений затухания) на основании рекуррентных условий совместности из главы 1. Однако непосредственное интегрирование здесь невозможно, т.к. каждое k -е уравнение содержит неизвестный разрыв k+1(t) следующего шага. Преодоление этой трудности возможно при повторном разложении скачков искомых функций в ряды по -производным в окрестности начального момента времени kkk 1 n0 n0 n n(t) == (7) tk,, n0 = n (0), tk tk t=k! tk k=коэффициенты которых – неизвестные константы n0 – впоследствии определяются по граничным условиям, в чем состояло предложение А.А. Буренина и Ю.А. Россихина. Такой выбор момента времени предполагает, что решение строится для малых послеударных времен. В пределах квадратичного по времени анализа в (7) можно ограничиться представлением 1(t) 10 + t, 2(t) 20. (8) t Так в задаче о расходящейся продольной цилиндрической ударной волне с граничными условиями atur L(t) = g(t), t 0, g(t) = v0t + +, v0 > 0, L(t) = r0 + g(t), (9) записывая уравнение движения в разрывах, на первом шаге метода получим t 1 A2 D1C1 B=++, r = r0 + )d, (10) G( t C1 r r где A, B, D – безразмерные коэффициенты, зависящие от упругих модулей среды и -от искомой функции 1(t). В (10) входит величина r, определяющая кривизну волнового фронта, что отличает задачу от случая плоской волны. Если в (10) положить t = 0, можно выразить одну из неизвестных величин через остальные, например 10 / t через 10 и 20. Тогда, подставляя в краевое условие (9) ряд (6), в котором скачки производных представлены с помощью (8), определим 10 и 20, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t. Совместно с полем перемещений определяется функциональная зависимость вида r = r(t) или t = t(r), связывающая r и t на переднем фронте волны:

10 20 + t - t +, ur =- + t + t - t - ( )( )( ) t --1 -1 -2 t = C1 1+ 1C1 10 + 2C1 10 + (r - r0) ( ) (11) 1 10 --- C1 1 + 22C1 10 + ( ) 2 t --1 -2 1+ 1C1 10 + 2C1 10 + (r - r0)2 +, ( ) где 1 и 2 являются функциями упругих модулей. Для сферических продольных волн в (10) будет входить средняя кривизна поверхности, что приведет к более быстрому затуханию интенсивности, чем для цилиндрических волн.

В четвертой главе строятся решения одномерных задач о поперечных цилиндрических ударных волнах, создаваемых антиплоским или скручивающим деформированием цилиндрической полости в нелинейно-упругой несжимаемой среде. Условие несжимаемости принято с целью выделения сдвиговых деформационных процессов без влияния на них предварительного объемного деформирования. Ударное воздействие по r0 приводит к появлению поперечной ударной волны с момента времени t = 0.

Следствием дифференциальных законов сохранения будет система двух уравнений, например, в случае антиплоского деформирования (ur = u = 0, uz = uz (r,t)) получим uz,r uz,r uz uz,rr 1+ 3u2,r + + =, ( z ) rr C2 (12) 1/ uz,r -p,r +uz,ruz,rr + 1+ = 0, C2 = µ0, ( ) ( ) r где,, - функции упругих модулей. В системе (12) основным является первое уравнение, решение которого может быть найдено независимо от второго. Затем по известному полю перемещений из второго уравнения определяется добавочное гидростатическое давление p(r,t), для которого из динамических условий совместности следует граничное условие rr = 0. При скручивающем деформировании полу[ ]r чаем аналогичную систему уравнений относительно p(r,t) и функции угла поворота (r,t). Применение лучевого метода в этих задачах имело такие же характерные этапы и особенности, как и в третьей главе. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в автомодельных задачах. В этом случае определение коэффициентов лучевого ряда сводится на каждом шаге к решению алгебраических уравнений, а ряд по лучевым координатам – к ряду по автомодельной переменной в окрестности ее фронтового значения.

В пятой главе рассмотрена двумерная задача об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая 2 x1 xветвь гиперболы L0 : - = 1, x1 a. Результатом ударного воздействия на La2 bбудут граничные перемещения a(y)tuz L0 = v0(y)t ++ (13) где y = x1 – параметр вдоль L0. С целью упрощения дальнейших выкладок положим здесь v0 = const, a = 0. Поле перемещений в окрестности (t) будем искать в виде III uz (s, y,t) uz (s, y,t) - n(y,t) t - t, ( )n t=t n! n= (14) s nuz d t(s, y) = G( ), n(y,t) = tn.

(t) где s – расстояние вдоль луча, y – координата эйконала. Обычная схема лучевого метода приводит на первом шаге к уравнению -2 22 -( ) 1 2C2 1 2 + 2C2H (t)1 1+ 0.51 C=+, (15) 2 -2 4 - t 2 + 31 C2 -1.521 C2 + которое в данном случае еще необходимо дополнить уравнениями для производных кривизны волнового фронта H ( y,t) и компоненты поверхностного метрического тензора a11( y,t). Тогда получим систему трех дифференциальных уравнений относительно четырех неизвестных: 1, 2, H, a11. Предположим, что в силу малой нелинейности задачи ее решение незначительно отличается от решения сходной линеаризованной задачи. Тогда, заменяя величину 2 на ее линейное приближение, получим замкнутую систему уравнений, которую можно решить приближенно с помощью метода разложения по малому параметру. Такой алгоритм хотя и заставляет поступиться более простыми алгебраическими соотношениями на искомые функции при t = 0, но точнее отражает характер процесса, когда кривизна волнового фронта быстро изменяется со временем. Декартовы координаты поверхности (t) в зависимости от времени задаются соотношениями t b xi ( y,t) = xi0( y) + y, )i ( y, )d, x10( y) = y, x20( y) = y2 - a2, (16) G( a причем компоненты вектора нормали i сами зависят от текущего положения волнового фронта. Однако результаты предыдущих вычислений позволяют получить замкнутую систему уравнений относительно i и касательных векторов к (t). Время, за которое по фиксированному лучу будет пройдено расстояние s, вычисляется по формуле s t = + ln 1- 2H(0)s. (17) ( ) C2 4H (0)CПодстановка найденных величин 1 и 2 в (14), с учетом (17) позволяет выписать приближенное лучевое разложение поля перемещений за ударной волной.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1. С целью описания волн произвольной геометрии проведено уточнение понятия операции дельта-дифференцирования тензорных полей для пространственной криволинейной системы координат. Получены соотношения для дельтапроизводных основных геометрических характеристик поверхности.

2. Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка.

3. Установлены закономерности распространения одномерных цилиндрических ударных волн малой интенсивности в упругих средах. Вычислены скорости возможных ударных волн в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций. Показано, что в отличие от плоских одномерных волн цилиндрические поверхности разрывов круговой поляризации невозможны.

4. Рекуррентные условия совместности разрывов позволили обобщить методику построения лучевых разложений решения краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат. Таким способом получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта.

5. Получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами:

цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии на границе цилиндрической полости. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в автомодельных задачах.

6. Получено приближенное решение двумерной задачи об антиплоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы. На данном примере указаны особенности обобщения метода лучевых разложений на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся.

Предлагается заменить на k -ом шаге построения лучевого разложения разрыв k +1-го порядка его линейным приближением (решением линеаризованной задачи). Таким способом совместно с полем перемещений определяется конструкция лучей и геометрия волнового фронта.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн // Вестник Самарского государственного университета – Естественнонаучная серия. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2006. № 6/1(46). С. 94-113.

2. Герасименко Е.А. Лучевой метод решения краевых задач ударного деформирования // Вестник ДВО РАН. Владивосток: «Дальнаука», 2006. №4. С. 112-117.

3. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: «Дальнаука», 2004. Т. 5, № 1. С. 100-109.

4. Герасименко Е.А. Особенности одномерных осесимметричных задач ударного деформирования в нелинейно-упругих средах // XV Всероссийская конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках»: тезисы докладов. Пермь, 4-7 октября 2006 г. Пермь: Изд-во Пермского государственного технического университета, 2006. С. 25.

5. Герасименко Е.А. О построении приближенных решений одномерных задач ударного деформирования с неплоскими поверхностями разрывов // Материалы Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова. Владивосток, 25-30 сентября 2006 г. Владивосток: Изд-во ИАПУ ДВО РАН, 2006. С. 35-36.

6. Герасименко Е.А. Лучевой метод решения одномерных задач ударного деформирования в нелинейно-упругих средах // XXI Всероссийская конференция «Аналитические методы в газовой динамике» (САМГАД – 2006): тезисы докладов. СанктПетербург, 5 – 10 июля 2006 г. Новосибирск: Изд-во ИГиЛ СО РАН, 2006. С.25-26.

7. Gerasimenko E.A. Approximate solutions of boundary problems including shock waves in nonlinear-elastic mediums // XXXIV Summer School-Conference “Advanced Problems in Mechanics” (APM 2006): book of abstracts. June 25 – July 1, 2006, St.Petersburg (Repino), Russia. Saint- Petersburg: Institute of Problems of Mechanical Engineering, 2006. P. 36.

8. Gerasimenko E.A. Motion regularities of cylindrical one-dimensional shock waves in compressible elastic medium // Materials of Sixth International Young Scholars’ Forum of the Asia – Pacific Region Countries. Vladivostok, Russia, 27 – 30 September, 2005.

Vladivostok: FESTU, 2005. Part 1. P. 158-159.

9. Герасименко Е.А. Об особенностях распространения одномерных цилиндрических ударных волн // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Хабаровск, 21-27 августа, 2005 г. Хабаровск: Издво ДВГУПС, 2005. С. 153-154.

10. Буренин А.А., Рагозина В.Е., Герасименко Е.А. Приближенные методы в нелинейной механике ударного деформирования // Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике»: тезисы докладов. Новосибирск, 27-мая, 2005 г. Новосибирск: Изд-во ИГиЛ СО РАН, 2005. С. 113.

11. Герасименко Е.А. Применение лучевого метода для решения задач о продольной цилиндрической и сферической ударных волнах // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисов докладов. Владивосток, 6-11 сентября, 2004 г. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 2004. С. 97-98.

11. Gerasimenko E.A. Geometrical and kinematics compatibility conditions in a curvilinear coordinate system // Materials of Fifth International Young Scholars’ Forum of the Asia – Pacific Region Countries. Vladivostok, Russia, 23-26 September, 2003. Vladivostok:

FESTU, 2003. Part 1. P. 205-207.

12. Герасименко Е.А. Соотношение совместности для разрывов производных в криволинейных системах координат // Материалы научной конференции «Вологдинские чтения». Естественные науки. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2003. С. 19-21.

13. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические условия совместности в криволинейных системах координат // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток, 31 августа – 6 сентября 2003 г. Владивосток: «Дальнаука», 2003. С. 108-110.

Личный вклад автора. Работы [2,4-9,11-13] выполнены автором лично. В работах [1,3,10,14] автор участвовала в постановке задач, разработке алгоритмов решения и выполняла все необходимые вычисления.

Герасименко Екатерина Андреевна МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Автореферат Подписано к печати 12.04.2007 г. Усл.п.л. 0.8. Уч.-изд.л. 0.7.

Формат 60x84/16. Тираж 100. Заказ.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5.

Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН.

690041, Владивосток, Радио, 5.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»