WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Наличие локального базиса позволяет классифицировать силы возмущений по признаку вызываемых ими эволюций, что и делается для сил, линейных по обобщенным координатам и скоростям. Матрицы сил считаются постоянными и раскладываются на составляющие, соответствующие позиционным силам сферического и гиперболического типа, циркулярным силам, диссипативным силам сферического и гиперболического типа, гироскопическим силам.

Система (1) при наличии линейных возмущений с постоянными матрицами допускает точное решение. Это позволяет сопоставить результаты, полученные точно и при использовании осреднения, что позволяет установить их соответствие, а также обнаружить некоторые эффекты, квадратичные по малому параметру.

Для исследования возмущенной системы используется метод осреднения. В связи с этим в работе изложена идея этого метода и доказана теорема Н.Н. Боголюбова. Приводится доказательство теоремы, поскольку удалось улучшить оценки точности приближенного решения, полученные в [10].

В работе предлагается новый набор медленных переменных, отличный от использовавшихся в [2]. Это позволяет предельно упростить структуру всех вводимых геометрических объектов и свести их к прямым и плоскостям в Rn пространстве. Последний раздел главы 1 посвящен проблеме стабилизации формы колебаний при постоянно действующих возмущениях. Она является наиболее важной с точки зрения возможных приложений, однако оказывается и наиболее сложной. Задача сводится к построению правой части системы (3), которая должна удовлетворять двум свойствам: обеспечивать экспоненциальную устойчивость многообразия в пространстве медленных переменных, соответствующего фигуре Лиссажу требуемого типа и не иметь проекции на направления прецессии и изменения частоты локального базиса.

Эта задача допускает решение в новых переменных. Далее исследуются траектории системы под действием управлений, предложенных в данной работе и в [2]. Управление, предложенное в диссертации, имеет особенность, связанную с появлением разрывных функций при возвращении к исходным переменным. Отсюда следует вывод, что при решении задачи управления формой целесообразнее использовать декартовы медленные переменные [2], лишенные особенностей. Именно такой подход применяется в главе 2 для одного частного случая резонанса 1:1:1.

Глава Обсуждается возможность использования изотропного пространственного осциллятора в качестве двухстепенного гироскопа. Предлагаются алгоритмы, позволяющие получить информацию об ориентации объекта, на который установлен такой гироскоп, и способ стабилизации формы колебаний, неустойчивой без стабилизации.

Уравнения, возникающие при решении задачи, имеют вид q + q = Q q,q,t, q R( ) (4) Они являются частным случаем уравнений, рассмотренных в главе 1, что позволяет исследовать задачу с тех же позиций и применять подход, предложенный в [2].

Как и в предыдущей части, исследование состоит из следующих этапов.

Решение порождающей системы и построение многообразия в пространстве постоянных интегрирования, соответствующего круговым колебаниям. При этом используется, декартов набор медленных переменных, предложенный в [2]. Построение локального базиса инфинитезимальных эволюций.

Исследование его свойств и свойств порождаемой им алгебры Ли.

Исследование воздействия возмущений, линейных по скоростям и координатам. Решение задачи о стабилизации круговых колебаний при постоянно действующих возмущениях. Кроме того, описан возможный алгоритм съема информации с исследуемого датчика.

Проведено сопоставление свойств системы, совершающей круговые и прямолинейные [2] колебания. При этом обнаруживается ряд существенных отличий, проявляющихся, например, в задаче стабилизации формы и в различном влиянии одних и тех же возмущений на прямолинейные и круговые колебания.

Глава Для стабилизации прямолинейной формы колебаний в двумерной системе q + q = Q q,q,t, q R( ) в [5] была предложена обратная связь (управление), которая исследовалась при помощи метода осреднения в первом приближении. В рамках этого приближения было показано, что управление обеспечивает стабилизацию формы колебаний при постоянно действующих возмущениях и удовлетворяет всем необходимым требованиям, предъявляемым к управлению. Однако известно, что учет высших приближений иногда может качественно изменить поведение системы на длительных интервалах времени. В связи с этим в части 3 и рассматривается построение уравнений обратной связи, предложенной в [2], во втором приближении метода осреднения. Вначале описывается процедура построения второго приближения метода осреднения в общей постановке, после чего она применяется к исследуемой системе. Оказывается, что учет второго приближения не приводит к качественным изменениям в воздействии обратной связи на систему, что оправдывает ее использование.

Глава Рассматриваются трехмерные нелинейные колебания тяжелой материальной точки, подвешенной на невесомой пружине в однородном поле тяжести. В предшествующих работах [1,12,13,14,15] задача о свободных колебаниях системы изучалась в плоской постановке. В данной части диссертации описаны некоторые обобщения результатов [14] на случай пространственных колебаний.

Для этого выписывается гамильтониан системы и приводится к безразмерному виду, что достигается заменами масштабов переменных и времени. Это позволяет максимально упростить вид функции Гамильтона. Гамильтониан раскладывается в ряд Тейлора до кубических членов включительно, после чего приводится к нормальной форме Биркгофа в первом приближении при помощи метода инвариантной нормализации, впервые предложенного в [8].

Дальнейшее исследование основывается на работе [14], где аналогичная задача в плоской постановке также исследовалась методом инвариантной нормализации. Полученные уравнения нормальной формы, как и в плоском случае, позволяют обнаружить периодическое решение, решение близкое к периодическому, а так же эффект перестройки мод колебаний и найти период этой перестройки.

Поведение плоской и пространственной систем оказывается во многом аналогичным, однако в трехмерном случае выясняются особенности, свойственные именно пространственной системе. Например, в пространственной системе при наличии сколь угодно малой проекции кинетического момента на вертикальную ось период перестройки мод колебаний (из почти вертикальной формы в почти горизонтальную) всегда оказывается конечным. В трехмерной системе наблюдается поворот траектории вокруг вертикальной оси, что, по-видимому, является новым эффектом.

Получено точное периодическое решение уравнений нормальной формы. Это позволяет вычислить угловую скорость прецессии траектории вокруг вертикали, которая для периодического решения постоянна. При рпоизвольных начальных условиях решение не является периодическим, а угловая скорость прецессии не является постоянной и соответствующее аналитическое выражение пока не найдено.

Глава Исследуется задача о колебаниях газового пузыря, центр которого неподвижен относительно идеальной жидкости, имеющей поверхностное натяжение. В состоянии равновесия пузырь имеет сферическую форму.

Колебания подразделяются на две моды – радиальную и деформационную. В первом случае изменяется радиус сферического пузыря, тогда как во втором случае изменяется форма пузыря при постоянном объеме. Деформированная форма аппроксимируется поверхностью эллипсоида вращения.

Для решения задачи используется уравнения Лагранжа. Обобщенными координатами в лагранжиане служат геометрические параметры эллипсоида, характеризующие его объем и деформацию. Лагранжиан раскладывается в ряд Тейлора до членов третьего порядка включительно. Изменяются масштабы координат и времени, после чего функция Лагранжа приводится к безразмерному виду. Находятся условия на параметры задачи (взаимосвязь между давлением жидкости на бесконечности, поверхностным натяжением, радиусом пузыря в состоянии равновесия и т.п.), при выполнении которых в линейной задаче реализуется резонансное соотношение частот радиальных и деформационных колебаний 1:2.

Для дальнейшего исследования находится Гамильтониан, соответствующий обезразмеренной функции Лагранжа. Он представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых квадратично и соответствует линейной задаче, а второе имеет третий порядок и соответствует возмущению. Некоторые кубические члены разложения гамильтониана являются резонансными. К гамильтониану системы применяется процедура инвариантной нормализации в первом приближении, приводящая его к нормальной форме Биркгофа (в указанном приближении).

Оказывается, что нормальная форма гамильтониана возмущения совпадает с точностью до множителя с нормальной формой гамильтониана возмущения для плоской задачи о качающейся пружине при резонансе 1:2 [14]. Это позволяет перенести все результаты, относящиеся к качающейся пружине, к данной задаче. Найдено периодическое решение, решение близкое к периодическому, обнаружен эффект перекачки энергии между деформационной и радиальной модами колебаний. Найден период указанной перестройки.

В конце главе 5 исследуется вопрос о достоверности полученных результатов при учете диссипативных процессов. Рассеяние энергии в системе объясняется двумя причинами – влиянием вязкости жидкости и наличием теплообмена между жидкостью и газом. Преобладание одного из этих процессов определяется величиной числа Пекле 3 plPe = (5) k в котором – показатель адиабаты газа, р - давление жидкости на бесконечности, l0 – характерный размер пузыря, – плотность жидкости, k – коэффициент температуропроводности газа. При Pe >> 1 преобладает механизм, связанный с вязкостью жидкости, при Pe ~ 1 доминирует процесс теплопроводности. Однако в любом случае оказывается, что интенсивность затухания колебаний, характеризуемая декрементом затухания, существенным образом зависит от теплофизических свойств веществ. Для большинства жидкостей и газов декремент затухания оказывается величиной порядка 0.1, тогда как показано, что для наблюдаемости перестройки мод колебаний нужно время порядка сотни периодов колебаний линеаризованной системы. Таким образом для большинства веществ перестройка не наблюдаема. Подбирая вещества специальным образом, можно существенно уменьшить декремент затухания до величин порядка 0.01. В этом случае, по-видимому, можно наблюдать 1-2 перестройки.

2. Основные результаты работы.

Получено обобщение метода исследования, предложенного в [2] на системы с произвольными резонансными соотношениями частот порождающей системы и любой размерностью конфигурационного пространства. Благодаря использованию нового набора медленных переменных удалось максимально упростить геометрическую часть задачи. Упрощается и задача стабилизации формы колебаний, однако полученное управление имеет особенность при возвращении к исходным переменным. Этим недостатком не обладает набор медленных переменных, введенных в работе [2], откуда следует вывод о целесообразности использования данных переменных при решении задачи стабилизации формы колебаний.

Исследовано упрощение задачи об использовании изотропного пространственного осциллятора в качестве бесплатформенной инерциальной системы навигации. Как показано в работе [3], для получения полной навигационной информации достаточно единственного осциллятора, в котором специальным образом поддерживаются колебания эллиптической формы. В диссертации изучен вопрос об использовании для тех же целей осциллятора, совершающего круговые колебания. Поскольку система уравнений, описывающая движение осциллятора совпадает с системой, исследованной в [2] для случая прямолинейных колебаний, проведено сопоставление свойств систем, совершающих прямолинейные и круговые колебания. Исследовано влияние различных возмущений, линейных по обобщенным координатам и скоростям и найдены отличия в их воздействии на систему в случае круговых и прямолинейных колебаний.

Показано, что решение задачи стабилизации круговой формы колебаний существенно упрощается по сравнению с общим случаем, однако при этом теряется информация об ориентации объекта в плоскости колебаний осциллятора. Для ее восполнения предлагается использовать еще один прибор, плоскость колебаний которого ортогональна плоскости колебаний первого прибора.

Для управления, предложенного в [2] для стабилизации колебаний прямолинейной формы при постоянно действующих возмущениях, построена система второго приближения метода осреднения. Показано, что и во втором приближении исследуемое управление удовлетворяет всем необходимым требованиям и не приводит к недопустимым эволюциям.

Получено обобщение известной задачи о качающейся пружине на трехмерный случай. Установлено, что большинство свойств плоской системы, наиболее примечательным из которых является эффект перестройки мод колебаний, переносится и на пространственный случай. Найдены свойства, проявляющиеся только в трехмерной системе Аналитически исследована задача о колебаниях газового пузыря в идеальной жидкости с поверхностным натяжением при резонансе частот радиальной и деформационной мод колебаний 1:2. Задача сведена к исследованию гамильтоновой системы при помощи метода инвариантной нормализации. Оказывается, что нормальная форма гамильтониана, найденная в первом приближении, совпадает с нормальной формой гамильтониана плоской задачи о качающейся пружине. Это позволяет перенести все факты, известные для задачи о качающейся пружине, на данную задачу.

Рассмотрен вопрос о соответствии полученных результатов действительности в связи с наличием диссипации в любых реальных средах.

Показано, что величина декремента затухания сильно зависит от теплофизических свойств веществ и для большинства веществ этот параметр достаточно велик. Установлено, что в большинстве случаев это препятствует возникновению резонансных явлений, однако указаны вещества, для которых декремент затухания достаточно мал. Это позволяет предположить, что для данных веществ резонансные явления потенциально наблюдаемы.

3. Публикации автора по теме диссертации в рецензируемых изданиях 1. Фомичев А.В. О круговых колебаниях в системе с трехкратным резонансом // Изв. РАН. МТТ. № 4. 2006. с. 113 – 118.

2. Петров А.Г., Фомичев А.В. О нелинейных трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине при резонансе // Изв. РАН.

МТТ. № 5. 2008. с. 15 – 26.

3. Фомичев А.В. Колебания в резонансных системах и управление их формой.

Труды XLI Научной конференции МФТИ. 2003. ч. 3. с. 45.

4.Фомичев А.В. О свойствах многомерных фигур Лиссажу и задаче стабилизации одного их класса. Труды XLII Научной конференции МФТИ.

2004. ч. 3. с. 174, 175.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»