WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Глава 6 содержит основные результаты диссертации, касающиеся существования полуортогональных разложений. В ней построены полуортогональные разложения производной категории эквивариантных пучков на многообразии в предположении, что производная категория многообразия допускает полуортогональное разложение, которое сохраняется действием группы. Группа G в этой и следующей главах считается линейно редуктивной, т.е. имеющей полупростую категорию представлений.

В параграфе 6.1 находится основной инструмент для построения полуортогональных разложений, используемый в работе.

Определение 13 (определение 6.1.1). Функтор T : C C называется верхнетреугольным относительно полуортогонального разложения C = A1,..., An, если для любого i верно T Ai A1,..., Ai.

Предложение 14 (предложение 6.1.2). Пусть T = (T,, ) – комонада на триангулированной категории C, предположим, что категория комодулей CT естественным образом триангулированна. Пусть функтор T верхнетреуголен относительно разложения C = A1,..., An. Тогда CT допускает полуортогональное разложение A1T,..., AnT, где AiT обозначает категорию комодулей, связанную с подкатегорией Ai C.

В параграфе 6.2 предложение 6.1.2 применяется к изучению полуортогональных разложений в ситуации, когда имеется “накрытие” схем. Предположим, что для морфизма схем p: X S пучок OS выделяется прямым слагаемым в RpOX. Тогда производная категория D(S) эквивалентна категории спуска D(X)/p, что позволяет использовать результат параграфа 6.1. Из него вытекает Теорема 15 (теорема 6.2.1). Пусть функтор Tp = LpRp : D(X) D(X) верхнетреуголен относительно полуортогонального разложения D(X) = A1,..., An неограниченной производной категории пучков на X. Тогда справедливо полуортогональное разложение D(S) = B1,..., Bn, где Bi D(S) обозначает подкатегорию, образованную комплексами H D(S) такими, что LpH Ai.

В этом случае верхнетреугольность функтора Tp = LpRp по отношению к полуортогональному разложению D(X) = A1,..., An может быть проверена следующим образом. Пусть p1, p2 обозначают проекции X S X на сомножители. Тогда Tp верхнетреуголен по отношению к разложению D(X) = A1,..., An в том и только том случае, если выполнены равенства HomD(XSX)(LpFj, LpFi) = 0 для всех i < j, Fi Ai, Fj Aj.

1 Утверждения, аналогичные теореме 15, справедливы для категорий совершенных комплексов (теорема 6.2.2) и ограниченных производных категорий (теорема 6.2.3).

Пусть аффинная группа G действует на схеме X. В параграфе 6.3 обсуждается условие верхнетреугольности функтора LpRp относительно полуортогональных разложений категории пучков на X для морфизма стеков p: X X/ В этом случаи /G.

проекции на сомножители расслоенного произведения X X/ X /G имеют вид проекции p2 и действия a: G X X. Относительно морфизмов p2 и a возможен “подъём” полуортогональных разложений. А именно, пусть дано полуортогональное разложение Dperf(X) = Aperf,..., Aperf.

1 n Тогда имеет место разложение Dperf(G X) = pAperf,..., pAperf, 2 1 2 n в котором подкатегории pAperf порождены объектами вида 2 i LpF, F Aperf. Кроме того, данное разложение для катего2 i рий совершенных комплексов порождает разложения D(X) = A1,..., An и D(G X) = pA1,..., pAn для неограничен2 ных производных категорий. Аналогичное выполнено с заменой p2 на a.

Предложение 16 (предложение 6.3.3). Функтор LpRp верхнетреуголен по отношению к полуортогональному разложению D(X) = A1,..., An тогда и только тогда, когда выполнены равенства pAperf = aAperf для всех i (а также тогда и только 2 i i тогда, когда выполнено pAi = aAi для всех i).

Основной результат главы 6 – следующая теорема о связи полуортогональных разложений категорий эквивариантных и неэквивариантных пучков на схеме.

Теорема 17 (теорема 6.4.2). Пусть аффинная линейно редуктивная группа G действует на квазипроективной схеме X. Предположим, что категория D(X) допускает полуортогональное разложение A1,..., An такое, что pAi = aAi при всех i.

Пусть Bi – полная подкатегория в DG(X), состоящая из объектов, которые при забывании эквивариантной структуры лежат в Ai. Тогда DG(X) обладает полуортогональным разложением B1,..., Bn. Аналогичные утверждения выполнены для Dperf(X) и Db(coh(X)) вместо D(X).

Глава 7 посвящена явному описанию подкатегорий Bi – компонент полуортогонального разложения эквивариантных производных категорий, полученного в теореме 6.4.2. Группа G в этой главе также считается линейно редуктивной.

Основной инструмент – предложение 7.1.4. Если подкатегория A D(X) может быть описана как образ строго полного функтора на производной категории D(Y ) для некоторой схемы Y, причём на X и Y действует группа G и функтор в некотором смысле согласован с этим действием, то индуцирует вложение эквивариантных производных категорий DG(Y ) DG(X), образ которого – связанная с A категория спуска – и есть искомая подкатегория B. В примерах такая согласованность имеет место естественным образом. В действительности, при этом иногда приходится рассматривать не обычное действие группы G на Y, а действие, скрученное на некоторый коцикл (L, ).

В параграфе 7.1 изучается случай, когда в категории совершенных комплексов на X есть полный исключительный набор (E1,..., En), инвариантный относительно действия группы. В отличие от ситуации, рассмотренной в главе 5, набор не предполагается состоящим из пучков. Инвариантный исключительный объект Ei лежит в категории Dperf,G,Li,i(X) для подходящего коцикла (Li, i) группы G. Леммы 7.1.2 и 7.1.3 показывают, что функтор -Ei -: Db(rep(G, L-1, i )) Dperf,G(X) i согласован с действием G на точку (скрученным на коцикл (Li, i)-1) и X (обычным). Из теоремы 6.4.2 следует Теорема 18 (теорема 7.1.6). Категория Dperf,G(X) обладает полуортогональным разложением Dperf,G(X) = -1 -= E1 Db(rep(G, L-1, 1 )),..., En Db(rep(G, L-1, n )) 1 n на подкатегории, эквивалентные категориям -Db(rep(G, L-1, i )).

i В параграфе 7.2 явно описаны компоненты полуортогонального разложения производной категории эквивариантных пучков на проективизации X эквивариантного векторного расслоения E на G-схеме S. Теорема 6.4.2 применяется к полуортогональному разложению Dperf(X) = pDperf(S), OX/S(1) pDperf(S),...

..., OX/S(r - 1) pDperf(S), полученному Д. О. Орловым. Компоненты этого разложения суть образы функторов OX/S(i) Lp(-): Dperf(S) Dperf(X), эти функторы согласованы с действием G на S и X. Применением предложения 7.1.4 и теоремы 6.4.2 доказывается следующая Теорема 19 (теорема 7.2.1). В сделанных предположениях имеет место полуортогональное разложение Dperf,G(X) = pDperf,G(S), OX/S(1) pDperf,G(S),...

..., OX/S(r - 1) pDperf,G(S), его компоненты эквивалентны категориям эквивариантных совершенных комплексов на S.

Пусть : X X – раздутие неособого G-многообразия X в неособой инвариантной подсхеме Z, а Z – исключительный дивизор. В параграфе 7.3 теорема 6.4.2 применена к полуортогональному разложению Dperf(X) = OZ/Z(-r + 1) Dperf(Z),...,..., OZ/Z(-1) Dperf(Z), Dperf(X) категории совершенных комплексов на раздутии, построенному Д. О. Орловым. Получена Теорема 20 (теорема 7.3.1). Имеется полуортогональное разложение категории G-эквивариантных совершенных комплексов Dperf,G(X) = OZ/Z(-r + 1) Dperf,G(Z),...

..., OZ/Z(-1) Dperf,G(Z), Dperf,G(X), в нём компоненты OZ/Z(-i) Dperf,G(Z) эквивалентны категории Dperf,G(Z).

В главе 8 теоретические результаты диссертации применяются к построению полных исключительных наборов в производных категориях эквивариантных пучков на таких многообразиях, как проективные пространства, квадрики, поверхности дель Пеццо и многообразия Грассмана.

Применением теорем 10,11,12 к известным полным исключительным наборам на этих многообразиях доказываются следующие факты.

Пусть V – векторное пространство размерности n над полем k, и 0 < k < n. Пусть алгебраическая группа G действует на проективном пространстве P(V ), это действие индуцирует действие G на грассманиане k-мерных подпространств в V, обозначаемом Gr(k, V ).

Следствие 21 (теорема 8.1.1). Категория Dperf,G(P(V )) – категория G-эквивариантных совершенных комплексов на P(V ) – обладает полуортогональным разложением на n компонент, эквивалентных производным категориям скрученных (на некоторые коциклы) представлений G.

Если при этом G линейно редуктивна и k = k, то в Dperf,G(P(V )) существует полный исключительный набор.

Следствие 22 (теорема 8.4.1). Категория Dperf,G(Gr(k, V )) обладает полуортогональным разложением на компоненты, эквивалентные производным категориям скрученных (на некоторые коциклы) представлений G.

Если при этом G линейно редуктивна и k = k, то в Dperf,G(Gr(k, V )) существует полный исключительный набор.

Следствие 23 (теорема 8.2.1). Пусть линейно редуктивная группа G действует на неособой квадрике Q над алгебраически замкнутым полем k характеристики, не равной 2. Тогда категория Dperf,G(Q) обладает полным исключительным набором.

Следствие 24 (теорема 8.3.4). Пусть линейно редуктивная группа G действует на неособой поверхности дель Пеццо X степени d над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль.

Пусть d 5. Тогда в категории Dperf,G(X) существует полный исключительный набор.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Д. О. Орлову за постоянное внимание к данной работе и многочисленные советы, А. Г. Кузнецову за полезные обсуждения, поддержку и ценные замечания.

Список литературы [1] А. Д. Елагин, “Полуортогональные разложения для производных категорий эквивариантных когерентных пучков”, Известия РАН, серия математическая, 73:5 (2009), 37–66.

[2] А. Д. Елагин, “Теория спуска для производных категорий”, Успехи математических наук, 64:4(388) (2009), 173–174.

[3] А. Д. Елагин, “Об эквивариантной производной категории расслоений на проективные пространства”, Многомерная алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Василия Алексеевича Исковских, Тр. МИАН, 264 (2009), 63–68.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»