WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

В параграфе 2.2 в качестве следствий из классической теоремы Бека получены необходимые (следствие 2.2.10,2) и достаточные (следствие 2.2.11) условия того, что функтор сравнения является эквивалентностью для комонады на триангулированной категории. Эти условия использованы при доказательстве теоремы 3.3.о спуске для производных категорий пучков на стеках.

Параграф 2.3 объединяет два подхода к заданию данных спуска: с помощью косимплициальной категории и с помощью комонады. А именно, пусть для аугментированной косимплициальной категории [C-1, C0, C1,..., P• ] у всякого функтора Pf существует правый сопряжённый функтор Pf. Тогда определены две категории спуска: категория Kern([C0, C1,..., P• ]) и категория C•T комодулей над комонадой T на категории C0, определённой парой сопряжённых функторов P и P. Определение последней категории в данном случае имеет следующий вид (здесь P : C-1 C0 обозначает функтор, связанный с отображением {0}, а и – канонические морфизмы сопряжения).

Определение 2 (определение 2.3.1.). Объекты C•T – это пары (F, h), где F Ob C0, а h: F P PF – морфизм, для которого h F композиция F P PF - F тождественна, а диаграмма - h P PF F P Ph h P PF P PF P PP PF коммутативна. Морфизмы из (F1, h1) в (F2, h2) в категории C•T – это морфизмы f : F1 F2 в C0 такие, что h2 f = P Pf h1.

Предположим, что естественные морфизмы функторов в [C-1, C0,..., P• ], играющие роль морфизмов замены базы, суть изоморфизмы.

Предложение 3 (предложение 2.3.2). Категории Kern([C0, C1,..., P• ]) и C•T эквивалентны.

Этот факт позволяет использовать результаты теории комонад для изучения “привычных” данных спуска, в частности, при работе с эквивариантными пучками.

В параграфах 3.1 и 3.2 главы 3 для удобства читателя размещены предварительные сведения. Параграф 3.1 содержит необходимые факты о триангулированных категориях, полуортогональных разложениях, допустимых подкатегориях, исключительных наборах, компактных объектах, системах объектов, порождающих категории. В параграфе 3.2 изложены сведения о производных категориях пучков на схемах и стеках, категориях совершенных комплексов.

Параграф 3.3 – центральный в главе 3. В нём исследуется вопрос о том, когда для накрытия стеков p: X S производная категория S восстанавливается по производной категории X методами теории спуска. Рассмотрим косимплициальную категорию с аугментацией [D(S), D(X), D(X S X), D(X S X S X),..., Lp], • образованную неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков и функторами обратного образа между ними, и соответствующую категорию спуска D(X)/p = Kern[D(X),...]. В силу предложения 2.3.2 категория Kern[D(X),...] эквивалентна категории комодулей над комонадой на D(X), определённой парой сопряжённых функторов (Lp, Rp). При помощи следствий 2.2.10 и 2.2.11 доказан следующий результат:

Теорема 4 (теорема 3.3.3). Неограниченная производная категория D(S) эквивалентна категории спуска D(X)/p в том и только том случае, когда естественный морфизм OS RpOX отщепляется прямым слагаемым. В случае выполнения этих условий имеются эквивалентности для ограниченных производных категорий когерентных пучков Db(coh(S)) Db(coh(X))/p = = = Kern([Db(coh(X)), Db(coh(X S X)),..., Lp]) • и категорий совершенных комплексов Dperf(S) Dperf(X)/p = Kern([Dperf(X), Dperf(X S X),..., Lp]).

= • В то же время, из наличия эквивалентности в теории спуска для ограниченных производных категорий не следует расщепимость морфизма OS RpOX и эквивалентность для неограниченных производных категорий. Контрпример – покрытие аффинной прямой двумя нетривиальными открытыми подмножествами, см. пример 3.4.9.

Свойство морфизма OS RpOX быть отщепимым названо свойством SCDT (strictly cohomological descent type). Как показывает теорема 3.3.3, это свойство морфизма схем или стеков p: X S является важным, и заслуживает отдельного изучения. В параграфе 3.4 формулируются простейшие свойства морфизмов, им обладающих. Свойство SCDT эквивалентно строгости функтора обратного образа Lp на неограниченной производной категории. Морфизмы, обладающие свойством SCDT, замкнуты относительно композиции и замены базы, они отражаются при SCDT-замене базы. Показано, что конечные плоские морфизмы, а также морфизмы, обладающие плоским квазисечением, обладают этим свойством.

В главе 4 обсуждаются скрученные эквивариантные пучки и устанавливается описание объектов производной категории эквивариантных пучков на схеме в терминах теории спуска.

Пусть X – схема с действием алгебраической группы G, µ: G G G – морфизм умножения, а a: G X X – действие.

Определение 5 (определение 4.1.1). Эквивариантным пучком на X относительно действия G называется пучок F на X вместе с изоморфизмом : pF aF пучков на G X, для которого выполнено условие согласованности.

По-другому, можно сказать, что эквивариантный пучок – это объект категории спуска, связанный с косимплициальной категорией [qcoh(X), qcoh(G X), qcoh(G G X),..., p], • где морфизмы p• определены естественным образом. Указанная косимплициальная категория эквивалентна стандартной косимплициальной категории [qcoh(X), qcoh(X S X),..., p], • связанной с морфизмом X S, где S = X/ – факторстек X /G по действию группы G. При этом категория G-эквивариантных когерентных пучков эквивалентна категории когерентных пучков на стеке X/ она обозначается cohG(X).

/G, Имеет место аналогичное утверждение о спуске для производных категорий. Обозначим через DG(X) неограниченную производную категорию G-эквивариантных квазикогерентных пучков на X, а через D(X)G – категорию спуска Kern([D(X), D(G X),..., Lp]).

• Теорема 6 (теорема 4.1.6). Если группа G линейно редуктивна, то категории DG(X) и D(X)G эквивалентны.

Это утверждение следует из теоремы 3.3.3, условие расщепимости морфизма OS RpOX в этом случае сводится к отщепимости тривиального подпредставления k k[G] в регулярном.

Для групп, не являющихся линейно редуктивными, утверждение не обязано быть верным. Примером служит действие параболической подгруппы на GLn сдвигами, см. примеры 3.4.7 и 4.1.9.

В последних двух параграфах главы 4 определяются и изучаются скрученные эквивариантные пучки. Сначала в параграфе 4.рассмотрен важный частный случай конечных групп. Пусть отображение : G G k задаёт 2-коцикл конечной группы со значениями в k, т.е. выполнено тождество (f, gh)(g, h) = (fg, h)(f, g).

Эквивариантным относительно коцикла пучком на схеме X с действием группы G (или эквивариантным скрученным на коцикл пучком) называется пучок F на X вместе с фиксированными изоморфизмами g : F gF для каждого g G, согласованными с точностью до коцикла. А именно, должно быть выполнено равенство h(g) h = (g, h)gh для всякой пары g, h G.

Взяв в качестве X точку Spec(k), получим определение скрученного на коцикл линейного представления группы. Если порядок группы взаимно прост с характеристикой поля, то категория скрученных представлений полупроста.

Определение скрученных на коцикл эквивариантных пучков мотивировано следующим наблюдением. Пусть E – исключительный пучок на X, и группа G, действуя на X, сохраняет E в том смысле, что gE изоморфен E для всех g G. Тогда, фиксируя изоморфизмы g : E gE, получим, что E становится скрученным -G-эквивариантным пучком для некоторого коцикла, класс когомологий которого однозначно определён. Этот класс является препятствием к введению на E эквивариантной структуры.

В параграфе 4.4 обсуждаются скрученные эквивариантные пучки относительно действия алгебраических групп. Правильным обобщением понятия 2-коцикла с коэффициентами в k является следующее Определение 7 (определения 4.4.1 и 4.4.4). Коциклом на алгебраической группе G называется линейное расслоение L на G вместе с ассоциативным изоморфизмом : pL pL µL.

1 Скрученным на коцикл (L, ) эквивариантным пучком на X называется пучок F на X, снабжённый изоморфизмом pL pF 1 aF на G X, согласованным с.

Категория скрученных (L, )-G-эквивариантных когерентных пучков на X обозначается через cohG,L,(X), а категория скрученных на коцикл (L, ) конечномерных представлений G – через rep(G, L, ).

Эти определения оправданы следующим фактом, справедливым для действия групповой схемы G на собственной схеме X:

Предложение 8 (предложения 5.3.3 и 5.3.4). Если исключительный пучок F на X сохраняется при действии каждой замкнутой точки схемы G, то для подходящего линейного расслоения L на G существует изоморфизм pL pF aF пучков на G X.

1 В этом случае корректно определён коцикл (L, ) на расслоении L, и изоморфизм задаёт скрученную (L, )-эквивариантную структуру на F.

Пучок, удовлетворяющий условию предложения, называется инвариантным.

На коциклах естественным образом определено умножение, оно превращает множество коциклов в абелеву группу. Обратный элемент к коциклу (L, ) – это (L, )-1 = (L, ()-1), он также иногда будет обозначаться через (L-1, -1). Это умножение согласовано с операциями на пучках и представлениях, такими как тензорное умножение, дуализация, взятие локальных Hom’ов, глобальных сечений и т.п.

Как и для обычных эквивариантных пучков, для пучков, скрученных на коцикл (L, ), также возможно описание на языке категории спуска, связанной с подходящей косимплициальной категорией. Эта категория (см. определение 4.4.13) имеет вид [qcoh(X), qcoh(G X), qcoh(G G X),..., P• ], где для отображения f : {0,..., m} {0,..., n} функторы Pf : qcoh(G.. G X) qcoh(G.. G X)..

m раз m раз определены формулой Pf F = pL... p L pF 1 n-f(m) f (здесь p обозначает обычный функтор обратного образа). Отмеf тим, что скрученные эквивариантные пучки не являются пучками на каком-либо стеке, и описанная косимплициальная категория не получается стандартной конструкцией из морфизма стеков.

Для скрученных на заданный коцикл (L, ) эквивариантных пучков имеется утверждение о спуске для производных категорий, аналогичное нескрученному случаю. Рассмотрим косимплициаль ную категорию [D(X), D(G X),..., LPf ], где функторы Pf – такие, как определено выше. Пусть D(X)G,L, – связанная с ней категория спуска Kern, а DG,L,(X) обозначает неограниченную производную категорию (L, )-G-эквивариантных квазикогерентных пучков на X.

Теорема 9 (теорема 4.4.17). Пусть группа G линейно редуктивна. Тогда имеется эквивалентность категорий DG,L,(X) D(X)G,L,.

= Во второй части диссертации находятся её основные результаты о полуортогональных разложениях производных категорий эквивариантных пучков.

В главе 5 строится полуортогональное разложение категории G-эквивариантных совершенных комплексов Dperf,G(X) в предположении, что в категории совершенных комплексов Dperf(X) имеется полный исключительный набор, который в некотором смысле согласован с действием группы. Основное утверждение главы 5 – теорема 5.4.1. Отдельно (теоремы 5.2.3 и 5.3.6) сформулированы её частные случаи, которых более удобны для применения и позволяют прояснить доказательство.

Предположим, что E – исключительный пучок на X, являющийся эквивариантным и лежащий в Dperf(X). С ним связан функтор rep(G) cohG(X), сопоставляющий представлению V группы G эквивариантный пучок E V. Соответствующий производный функтор задаёт строго полное вложение Db(rep(G)) Dperf,G(X), образ которого – некоторая подкатегория E Db(rep(G)).

Теорема 10 (теорема 5.2.3). Пусть задан полный исключительный набор (E1,..., En) в Dperf(X), образованный эквивариантными пучками. Тогда подкатегории E1 Db(rep(G)),..., En Db(rep(G)) образуют полуортогональное разложение категории Dperf,G(X).

Требование эквивариантности пучка E можно ослабить, потребовав его инвариантности, т.е. наличия изоморфизма pLpE 1 aE пучков на G X для некоторого линейного расслоения L на G. В этом случае существует (в силу предложения 8) коцикл (L, ) на G такой, что E является (L, )-G-эквивариантным пучком. Тогда формула V E V задаёт функтор из категории (L, )-1представлений группы в cohG(X). Соответствующий производный функтор определяет вложение Db(rep(G, L-1, -1)) Dperf,G(X), образ которого обозначается через E Db(rep(G, L-1, -1)).

Предположим, что категория Dperf(X) обладает полным исключительным набором (E1,..., En), состоящим из инвариантных пучков. Для каждого i найдётся (Li, i) – такой коцикл на G, что Ei можно рассматривать как скрученный эквивариантный пучок относительно (Li, i).

Теорема 11 (теорема 5.3.6). Подкатегории -1 -E1 Db(rep(G, L-1, 1 )),..., En Db(rep(G, L-1, n )), 1 n определённые как выше, образуют полуортогональное разложение категории Dperf,G(X). Эти подкатегории эквивалентны производным категориям (Li, i)-1-скрученных представлений группы G.

В параграфе 5.4 рассмотрен наиболее общий случай.

Предположим сначала, что в Dperf(X) имеется набор попарно ортогональных исключительных пучков E(1),..., E(k) и что группа G транзитивно переставляет их. В случае алгебраически замкнутого поля последнее означает, что любая точка группы переводит пучки E(1),..., E(k) в пучки из этого же набора.

Пусть H G – стабилизатор пучка E(1), это подгруппа в G конечного индекса. На E(1) вводится структура скрученного Hэквивариантного пучка относительно некоторого коцикла (L, ) на H. Композиция производных функторов от E(1) -: rep(H, L-1, -1) cohH(X) и функтора коиндукции CoindG : cohH(X) cohG(X) H даёт строго полное вложение Db(rep(H, L-1, -1)) в Dperf,G(X).

Предположим, что в производной категории Dperf(X) имеется полный исключительный набор (1) (1) (1) E1 E2 En...

...

.,.,...,.

(k1) (k2) (kn) E1 E2 En блочного вида. Это значит, что пучки каждого блока Ei(1),..., Ei(ki) попарно ортогональны и при любом выборе порядка пучков в блоках полученный упорядоченный набор будет исключительным и полным в Dperf(X). Допустим, что группа G транзитивно переставляет пучки в пределах каждого блока.

Теорема 12 (теорема 5.4.1). Определённые выше подкатегории -CoindG (Ei(1) Db(rep(Hi, L-1, i ))), i = 1,..., n Hi i образуют полуортогональное разложение категории Dperf,G(X).

В ситуации, когда категории скрученных представлений группы полупросты (например, в случае конечной или редуктивной группы над полем нулевой характеристики), а поле алгебраически замкнуто, компоненты полученных в главе 5 полуортогональных разложений обладают полным исключительным набором, состоящим из неприводимых представлений. Таким образом, в предположениях теорем 5.2.3, 5.3.6 и 5.4.1 удаётся построить полные исключительные наборы в эквивариантных производных категориях.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»