WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Математический институт им. В. А. Стеклова Российская Академия Наук

На правах рукописи

УДК 512.73 Елагин Алексей Дмитриевич Производные категории эквивариантных когерентных пучков и когерентных пучков на стеках Специальность:

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2009

Работа выполнена в отделе алгебры Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Научный консультант:

д. ф.-м. н. Дмитрий Олегович Орлов.

Официальные оппоненты:

к. ф.-м. н. Алексей Львович Городенцев;

д. ф.-м. н. Юрий Геннадьевич Прохоров.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 24 декабря 2009 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, 8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 в МИ РАН д. ф.-м. н. Н. П. Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы Работа посвящена исследованию производных категорий эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом многообразии с действием группы.

Всякое алгебраическое многообразие (или, вообще говоря, схема) X снабжено пучком колец OX. Среди всех пучков OX-модулей когерентные пучки – наименьший класс, содержащий векторные расслоения и замкнутый относительно взятия ядер и коядер. На абелевых категориях когерентных пучков определены функторы, такие как прямой и обратный образ при морфизме p, дуализация, внутренний Hom, тензорное умножение. Все эти функторы, вообще говоря, не точны. Контролировать их точность можно с помощью соответствующих производных функторов Rip, Lip, Exti, Tori. Удобный способ говорить о неточных функторах на абелевой категории и производных от них функторов дают введённые А. Гротендиком понятия производной категории от абелевой категории и производного функтора от функтора между абелевыми категориями. В производных категориях уже нельзя говорить о точных последовательностях, ядрах и коядрах. Однако они обладают не менее замечательной структурой – структурой триангулированной категории, определённой Вердье. В отличие от абелевой ситуации, производные функторы Rp, Lp, Ext, Tor, определённые на производной категории, точные, т.е. согласованы с триангулированной структурой.

Производная категория когерентных пучков – важный инвариант алгебраического многообразия, отражающий его когомологические свойства. Описание этих категорий – одна из задач, составляющих суть изучения алгебраических многообразий.

Хороший способ свести описание триангулированной категории к описанию некоторых её более просто устроенных подкатегорий даёт понятие полуортогонального разложения, введённое А.И.Бондалом1. Это понятие – категорный аналог понятия разложения векторного пространства с несимметричной билинейной формой в прямую сумму полуортогональных подпространств: так, всякое полуортогональное разложение триангулированной категории T индуцирует полуортогональное (относительно формы Эйлера) разложение векторного пространства K0(T ) Q. Наиболее “сильный” случай полуортогонального разложения – разложение, порождённое полным исключительным набором – набором объектов в триангулированной категории, удовлетворяющим некоторым соотношениям на морфизмы между объектами. В случае существования полного исключительного набора триангулированная категория может быть описана как производная категория модулей над некоторой явно вычислимой алгеброй, связанной с набором, см. loc. cit.

Первый пример полного исключительного набора был построен А.А.Бейлинсоном2, это набор из линейных расслоений O, O(1),..., O(n) на Pn. Теми же методами М.М.Капрановым были построены полные исключительные наборы на многообразиях Грассмана и квадриках3. Известны примеры полных исключительных наборов на некоторых многообразиях Фано4.

Примеры полуортогональных разложений с более сложными компонентами были построены Д.О.Орловым5. Так, если X – проективизация векторного расслоения на базе S, то производная категория пучков на X обладает полуортогональным разложением А. И. Бондал, “Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки”, Изв. АН СССР, Сер. матем., 53:1 (1989), 25-44.

А. А. Бейлинсон, “Когерентные пучки на Pn и проблемы линейной алгебры”, Функц. анализ и его прилож., 12:3 (1978), 68-69.

M. M. Kapranov, “On the derived categories of coherent sheaves on some homogeneous spaces”, Invent. math., 92 (1988), 479-508.

Д. О. Орлов, “Исключительный набор векторных расслоений на многообразии V5”, Вестник МГУ Сер.

I Мат. Мех., 5 (1991), 69-71; А. Г. Кузнецов, “Исключительный набор векторных расслоений на многообразиях V22”, Вестник МГУ Сер. I Мат. Мех., 3 (1996), 41-44; А. В. Самохин, “Производная категория когерентных пучков на LGC”, УМН, 56:3(339) (2001), 177-178.

Д. О. Орлов, “Проективные расслоения, моноидальные преобразования и производные категории когерентных пучков”, Изв. РАН, Сер. матем., 56:4 (1992), 852-на компоненты, эквивалентные производным категориям пучков на S, в количестве, равном рангу расслоения. Это разложение естественно считать относительной версией исключительного набора на Pn, построенного Бейлинсоном. Другой пример – производная категория раздутия неособого многообразия X в неособом подмногообразии Z коразмерности r. Она обладает полуортогональным разложением на компоненты, одна из которых эквивалентна производной категории X, а остальные r - 1 – производным категориям Z. Это полуортогональное разложение позволяет строить полные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо. Полуортогональные разложения пересечения квадрик были подробно изучены А.Г.Кузнецовым6.

В случае, если на многообразии действует алгебраическая группа, можно рассматривать эквивариантные векторные расслоения (они иногда также называются однородными), т.е. расслоения с заданным действием группы на их сечениях. Так же, как векторные расслоения порождают категорию когерентных пучков, эквивариантные векторные расслоения порождают категорию эквивариантных когерентных пучков. В случае свободного действия она эквивалентна категории когерентных пучков на фактормногообразии, в случае тривиального действия на точке – категории представлений группы.

Производные категории эквивариантных когерентных пучков естественно возникают в разных конструкциях и при решении различных задач. Так, они позволяют строить примеры некоммутативного разрешения особенностей. На многообразии с факторособенностями можно рассмотреть т.н. орбифолдную структуру, и пучки на соответствующем орбифолде будут образовывать категорию, являющуюся “разрешением особенностей” категории пучков на особом многообразии. При этом категория пучков на орA. Kuznetsov, “Derived categories of quadric fibrations and intersections of quadrics”, Adv. in Math., 218:(2008), 1340-бифолде склеивается из подходящих категорий эквивариантных пучков, отвечающих картам атласа. Скажем также в этой связи о производной версии соответствия Маккея. Для X – фактора C2 по действию конечной подгруппы G в SL2(C) – имеются два эквивалентных категорных разрешения особенностей. Это производная категория G-эквивариантных пучков на C2 и производная категория минимального разрешения особенности X X. Представляют интерес возможные обобщения такого соответствия на случай больших размерностей7.

Производные категории эквивариантных когерентных пучков относительно мало изучены. Диссертация призвана внести вклад в дело их исследования.

Цель работы Цель работы построение полуортогональных разложений производных категорий эквивариантных когерентных пучков на многообразиях с действием группы, как в общих предположениях, так и на примере конкретных многообразий.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа изложена на 155 страницах и состоит из введения, двух частей, включающих в себя семь глав, и трёх приложений. Библиография включает 33 наименования.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построено полуортогональное разложение эквивариантной производной категории при условии существования полуортоT. Bridgeland, A. King, M. Reid, “The McKay correspondence as an equivalence of derived categories”, J.

Amer. Math. Soc., 14 (2001), 535-554.

гонального разложения производной категории многообразия, сохраняемого действием линейно редуктивной группы.

2. Найден критерий того, что для плоского морфизма стеков неограниченная производная категория базы S восстанавливается по производной категории накрывающего стека X как категория данных спуска. Условие состоит в отщепимости морфизма OS RpOX. В частности, показано, что для линейно редуктивной группы G производная категория Gэквивариантных пучков на многообразии X эквивалентна категории, образованной объектами производной категории X с заданным действием на них группы G.

3. Построены полуортогональные разложения эквивариантных производных категорий расслоений на проективные пространства и раздутий с неособым инвариантным центром. Построены полуортогональные разложения эквивариантных производных категорий на многообразии, обладающем полным исключительным инвариантным набором. В последнем случае компоненты разложения описываются как подкатегории в производной категории представлений некоторого расширения группы.

4. Построены полуортогональные разложения эквивариантных производных категорий в случае действия группы на проективном пространстве, неособой квадрике, многообразиях Грассмана и поверхностях дель Пеццо степени, не меньшей пяти. В случае линейно редуктивной группы они сводятся к полному исключительному набору.

Основные методы исследования При построении полуортогональных разложений были использованы методы теории спуска. При задании данных спуска применялся формализм косимплициальных категорий и связанных с ними категорий спуска, а также формализм комонад на категории и связанных с ними категорий комодулей. Необходимая часть теории спуска, касающаяся триангулированных категорий, была развита автором. При работе с инвариантными исключительными объектами, не являющимися эквивариантными, был использован язык коциклов группы и скрученных на коцикл представлений/эквивариантных пучков. При построении полуортогональных разложений эквивариантных производных категорий конкретных многообразий использовались известные полуортогональные разложения на самих многообразиях.

Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и развитые методы могут применяться в различных областях математики: алгебраической геометрии, теории алгебраических групп, теории представлений, в частности, при изучении зеркальной симметрии и категорного разрешения особенностей.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на российских (семинар “Геометрия алгебраических многообразий” под руководством В.А.Исковских и Ю.Г.Прохорова в МГУ, семинар по алгебраической геометрии МИАН под руководством И.Р.Шафаревича, летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии (Ярославль, 2008, 2009), летняя школа-конференция “Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов” (Самара, 2009)) и международных (Russia-Japan winter school for young mathematicians (Киото, 2009)) научно-исследовательских семинарах и конференциях.

Публикации автора по теме диссертации Основные результаты диссертации опубликованы в трёх работах [1–3], список которых приведен в конце автореферата.

Краткое содержание работы Диссертация состоит из введения и двух частей, включающих в себя семь глав.

Глава 1 – введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, дается общий обзор работы и формулируются основные утверждения, доказанные в работе.

В первой части изложены необходимые сведения о производных категориях эквивариантных когерентных пучков. Основные её результаты – утверждения о спуске для производных эквивариантных категорий (теорема 4.1.6) и факты о скрученных эквивариантных пучках (параграфы 4.3 и 4.4).

Глава 2 носит, в основном, вспомогательный характер. В ней описаны технические средства, составляющие основу теории спуска, с их помощью во второй части будут строиться полуортогональные разложения эквивариантных производных категорий.

В параграфе 2.1 определены и обсуждаются косимплициальные категории и связанные с ними категории спуска. Пусть C• = [C0, C1, C2,..., P• ] – косимплициальная категория. Т.е., заданы категории Ci, i = 0, 1, 2,... и функторы Pf : Cm Cn для каждого неубывающего отображения {0,..., m} {0,..., n}, так что для функторов выполнены естественные условия согласованности. С C• свя зана категория спуска, обозначаемая Kern(C•). Пусть P1 и Pобозначают функторы C0 C1, соответствующие отображениям i1, i2 : {0} {0, 1} таким, что i1(0) = 0, i2(0) = 1. Аналогично, P12, P13 и P23 обозначают функторы C1 C2, соответствующие отображениям i12, i13 и i23 : {0, 1} {0, 1, 2} таким, что i12(0) = 0, i12(1) = 1; i13(0) = 0, i13(1) = 2; i23(0) = 1, i23(1) = 2.

Определение 1 (определение 2.1.4). Объекты Kern(C•) – это па ры (F, ), где F Ob C0, а – изоморфизм P1 F P2 F, подчиняющийся условию коцикла:

P23 P12 = P13.

Морфизмы в Kern(C•) из (F1, 1) в (F2, 2) – это морфизмы f HomC0(F1, F2) такие, что P2 f 1 = 2 P1 f.

С помощью категории спуска, связанной с косимплициальной категорией [coh(X), coh(G X), coh(G X X),...], удобно описывать категорию G-эквивариантных пучков на X.

В параграфе 2.2 изложены, следуя Барру-Уэллсу и Маклейну, классические факты про комонады и комодули над ними. Язык комонад также используется в теории спуска. Он не так естествен, как язык косимплициальных категорий, но позволяет получить критерии, описывающие, когда функтор сравнения является эквивалентностью. Также на языке комонад в диссертации доказано предложение 6.1.2 – основное утверждение о связи полуортогональных разложений исходной категории и категории спуска.

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»