WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

В третьей главе диссертации предлагается метод синтеза передаточной функции модального регулятора как для непрерывного, так и для дискретного объекта.

Для заданной дробно-рациональной передаточной функции объекта управления B(p) W (p) =, (1) A(p) и заданного алгебраического многочлена D(p) требуется определить передаточную функцию реализуемого регулятора S(p) V (p) =, deg S deg R, (2) R(p) так, чтобы передаточная функция замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 1, удовлетворяла следующему условию:

Q(p) (p) =, deg Q deg D, (3) D(p) где Q(p) алгебраический многочлен определенной структуры, у которого k Z0 коэффициентов являются произвольными. Общий вид многочлена Q(p) будет выписан ниже. Произвольные коэффициенты многочлена Q(p) влияют на распределение только нулей передаточной функции (p).

Рис. Для решения поставленной задачи требуется решить систему полиномиальных уравнений относительно S(p) и R(p):

B(p)S(p) = Q(p), (4) B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p).

Для того чтобы многочлен Q(p) имел k произвольных коэффициентов, решение системы (4) будем искать в виде S(p) = S0(p) + A(p)C(p), R(p) = R0(p) - B(p)C(p), (5) где C(p) Rk-1 произвольный полином, а многочлены S0(p) и R0(p) являются решением следующего полиномиального уравнения:

B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p). (6) Здесь Rn множество алгебраических многочленов степени n над полем действительных чисел R.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если многочлены A(p) Rm и B(p) Rl взаимно простые, то для любого полинома D(p) Rn, n m + l, существует единственная пара многочленов S0(p) Rm-1 и R0(p) Rn-m, являющаяся решением полиномиального уравнения (6).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда многочлен S0(p) определяется следующей формулой:

( m i-1 i-i-1-l) (s - i)i A(p) S0(p) = (p - i)r+1 A(s) s=i i=1 r=0 l=r (l-r) D(s). (7) B(s) (i - 1 - l)!(l - r)! s=i Многочлен R0(p) находится по формуле D(p) - B(p)S0(p) R0(p) =. (8) A(p) Следует отметить, что многочлены S0(p) и R0(p) не зависят от C(p).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Передаточные функции регулятора (2) и замкнутой системы (3) всегда реализуемы, если выполняется неравенство n m + + k, = max {m - 1, l}. (9) В диссертации рассматривается метод, позволяющий упростить процедуру синтеза передаточной функции модального регулятора в том случае, когда многочлен A(p) Rm содержит своим множителем некоторый полином H(p) Rq. С этой целью представим многочлены A(p), S0(p) и D(p) в виде произведений A(p) = (p)H(p), S0(p) = 0(p)H(p) и D(p) = D(p)H(p), где (p) Rm-q, 0(p) Rm-q-1 и D(p) Rn-q. Тогда полиномиальное уравнение (6) приобретает следующий вид:

B(p)0(p) + (p)R0(p) = D(p). (10) Таким образом, получаем алгебраическую систему, состоящую из (m-q) уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена 0(p), вместо m уравнений в (6). Кроме того, для разрешимости полиномиального уравнения (10) в условиях теоремы 1 следует требовать взаимной простоты многочленов B(p) и (p), а не B(p) и A(p).

В диссертации решается задача построения следящей системы, блоксхема которой представлена на рис. 2.

Следуя принципу поглощения, классы задающих воздействий g(t) и внешних возмущений f(t) будем описывать соответствующими дифференциальными (разностными) уравнениями L1()g(t) = 0, L2()f(t) = 0, (11) с произвольными начальными условиями. Здесь L1(), L2() некоторые алгебраические многочлены от ; либо оператор дифференцироd f(t) вания (f(t) =, непрерывный случай), либо оператор опережения d t (f(i) = f(i + 1), дискретный случай). Конкретные представители классов задающих и возмущающих воздействий определяются начальными условиями уравнений (11).

Рис. Для повышения качества управления синтезируем передаточную функцию регулятора, использующего полезную информацию о задающих воздействиях и внешних возмущениях. Метод построения регулятора без особых трудностей сводится к описанной выше процедуре синтеза модальных регуляторов. Действительно, рассмотрим расширенный объект с передаточной функцией B(p) B(p) W (p) = =, (12) A(p)L(p) A(p) где L(p) = L1(p)L2(p) Rr, Li(p) Rr, i = 1, 2, r = r1 + r2. Для i расширенного объекта (12) полиномиальное уравнение (6) принимает вид B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p). (13) Здесь A(p) = A(p)L(p) Rm, m = m + r. Отметим, что полином D(p) естественно выбирать устойчивым.

В четвертой главе рассматриваются задачи синтеза регуляторов для объектов с распределенными параметрами.

Пусть передаточная функция объекта управления с распределенными параметрами имеет вид W (p) = W0(p)(p), (14) где B(p) W0(p) =, A(p) Rm, B(p) Rl, m l, (15) A(p) функция (p) комплексной переменной p является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси.

Для заданной передаточной функции W (p) объекта управления (14) и заданного полинома D(p) Rn требуется определить дробно-рациональную передаточную функцию реализуемого регулятора S(p) V0(p) = (16) R(p) с компенсирующей обратной связью так, чтобы передаточная функция замкнутой системы управления по управляющему воздействию, структурная схема которой изображена на рис. 3, имела вид S(p)B(p) (p) = (p) (17) D(p) и учитывала полезную информацию о задающем воздействии g(t) и внешнем возмущении f(t). Классы задающих воздействий и внешних возмущений будем описывать линейными дифференциальными уравнениями (11).

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом синтеза модальных регулятров. На основе структурной схемы (см. рис. 3) находим передаточную функцию замкнутой системы по заданию V0(p)W (p) (p) =. (18) 1 + W0(p)V0(p) Рис. Принимая во внимание условие (17) и формулы (14)–(16), для многочленов S(p) и R(p) получаем систему полиномиальных уравнений (4).

Решение этой системы будем искать в виде (5), где C(p) Rk-1 произвольный многочлен; многочлены S0(p) и R0(p) являются решениями полиномиального уравнения (6). Условия существования и единственности решения полиномиального уравнения (6) определяются теоремой 1.

Передаточная функция конечномерного регулятора определяется формулой S(p) S0(p) - A(p)C(p) V0(p) = = (19) R(p) R0(p) + B(p)C(p) и соответствующая передаточная функция регулятора V (p) с компенсирующей обратной связью приобретает вид S0(p) - A(p)C(p) A(p) V (p) =. (20) D(p) - S0(p) - A(p)C(p) B(p)(p) Следует отметить, что условие реализуемости передаточной функции регулятора (19) определяется условием (9).

В диссертации рассматривается задача построения модальных систем управления для объектов с мероморфной передаточной функцией.

Пусть передаточная функция W (p) объекта управления является мероморфной функцией в конечной комплексной плоскости (исключая точку p = ). Представим мероморфную функция W (p) в следующем виде:

B(p) W (p) =. (21) A(p) Здесь A(p) и B(p) целые функции, не имеющие общих нулей.

Обозначим через C<,> множество целых функций порядка и типа. Относительно целых функций A(p) и B(p) будем дополнительно предполагать, что A(p) и B(p) функции конечного порядка, для которых выполнено одно из следующих условий:

либо 0 B < A, (22) либо 0 < B = A, B A. (23) Каждое из соотношений (22) или (23) можно рассматривать как условие физической реализуемости передаточной функции объекта управления (21).

Для заданной мероморфной передаточной функции W (p) объекта (21) рассмотрим задачу построения мероморфной передаточной функции регулятора S(p) V (p) =, (24) R(p) обеспечивающего заданное распределение полюсов и части нулей передаточной функции (p) замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 1. В формуле (24) предполагается, что искомые функции S(p) и R(p) являются целыми функциями конечного S R порядка S(p) C<,S> и R(p) C<,R>, для которых выполнено одно из условий физической реализуемости передаточной функции регулятора или 0 S < R, (25) или 0 < S = R, S R. (26) По структурной схеме, представленной на рис. 1, принимая во внимание формулы (21) и (24), находим передаточную функцию замкнутой системы W (p)V (p) B(p)S(p) (p) = =. (27) 1 + W (p)V (p) B(p)S(p) + A(p)R(p) Зададимся желаемым распределением нулей и полюсов передаточной функции (p). С этой целью введем в рассмотрение целую функцию Q Q(p) C<,Q>, определяющую распределение части нулей функции D (p), и целую функцию D(p) C<,D>, определяющую распределение полюсов передаточной функции (p). Тогда желаемая передаточная функция (p) замкнутой системы управления может быть представлена в виде Q(p) (p) =. (28) D(p) Из равенств (27) и (28), приравнивая соответственно числители и знаменатели дробей, получаем систему уравнений относительно функций S(p) и R(p) B(p)S(p) = Q(p), (29) B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p).

Очевидно, что при известной целой функции S(p) функция Q(p) полностью определена. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно решить следующее уравнение:

B(p)S(p) + A(p)R(p) = D(p). (30) Для того чтобы обеспечить заданное расположение части нулей передаточной функции (p), решение уравнения (30) будем искать в виде S(p) = S0(p) - (p)A(p), R(p) = R0(p) + (p)B(p), (31) где (p) C<,> произвольная целая функция, а функции S0(p) и R0(p) являются решением уравнения B(p)S0(p) + A(p)R0(p) = D(p). (32) Имеет место следующая теорема.

A B Теорема 3. Пусть целые функции A(p) C<,A> и B(p) C<,B> не имеют общих нулей и удовлетворяют условию (22) или (23). Тогда для A любой целой функции D(p) C<,D>, D A, существует единственSная пара целых функций S0(p) C<,S0 >, где либо S = 0, S = 0, 0 A либо S = A, S = A, и R0(p) C<,D-A>, являющаяся решением 0 уравнения (32).

Если выполнены все условия теоремы 3, то искомые функции S0(p) и R0(p) могут быть всегда найдены соответственно по формулам (7) при m = и (8), причем единственным образом, а значит, передаточная функция регулятора полностью определена и представляет собой мероморфную функцию S(p) S0(p) - (p)A(p) V (p) = =, (33) R(p) R0(p) + (p)B(p) где, как и ранее, (p) C<,> произвольная целая функция. При этом передаточная функция замкнутой системы имеет вид B(p) S0(p) - (p)A(p) Q(p) (p) = =. (34) D(p) D(p) В формуле (7) i является нулем функции A(p).

Исследуем теперь вопрос о физической реализуемости передаточных функций модального регулятора V (p) и замкнутой системы (p). С этой целью рассмотрим следующую теорему.

Теорема 4. Передаточные функции регулятора (33) и замкнутой системы (34) всегда реализуемы, если выполняются следующие неравенства:

A, (35) D 2A +, (36) где 1, = A, = (37) 0, < A.

Рассмотрим метод синтеза конечномерных регуляторов для объектов с распределенными параметрами. Введем обозначения V (p) передаточная функция конечномерного регулятора; (p) передаточная функ ция объекта с распределенными параметрами; N(p) передаточная функция объекта с сосредоточенными параметрами, являющаяся дробнорациональной аппроксимацией порядка N передаточной функции (p);

мнимая ось без полюсов функции N(p)V (p).

В диссертации доказано, что выполнение неравенства |1 + N(j)V (j)| > |V (j)((j) - N(j))|, (38) гарантирует устойчивость замкнутой системы управления с передаточной функцией (p), если сосредоточенная система с передаточной функ цией N,n(p) устойчива и передаточные функции объектов N(p) и (p) имеют равное число полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Введем в рассмотрение следующее обозначение:

N(p) = |(p) - N(p)|. (39) Нетрудно заметить, что N(p) представляет собой абсолютное значение ошибки аппроксимации порядка N трансцендентной передаточной функции N(p) с помощью дробно-рациональной передаточной функции (p). Отсюда, полагая передаточную функцию порядка N замкнутой си стемы N,n(p) равной V (p) N,n(p) =, (40) 1 + N(p)V (p) получим условие устойчивости N,n(j) N(j) < 1, (41) эквивалентное неравенству (38).

Так как N(p) есть дробно-рациональная аппроксимация трансцендентной передаточной функции (p), то для произвольного > 0 справедливо следующее равенство:

lim N(p) = (p) |p| <. (42) N Здесь N порядок аппроксимации. Очевидно, что условие (42) с учетом обозначения (39) может быть представлено в виде > 0 > 0 N N N > N (N(p) < ) |p| <. (43) Скорость стремления N(p) к нулю при N зависит от вида функции (p), значения, способа аппроксимации (например, с помощью отрезка ряда Тейлора, Лорана, Бурмана-Лагранжа, Паде и т. д.).

Тогда условие устойчивости (41) будет выполнено, если частотная ха рактеристика N,n(j) при N удовлетворяет неравенству |N,n(j)| < <. (44) Здесь отрезок мнимой оси [0, j], не содержащий полюсы функции V (p)N(p).

Необходимо отметить, что условие (44) следует рассматривать при N, так как функция N,n(p), определяемая формулой (40), зависит от передаточной функции регулятора V (p), синтезируемой для аппрокси мации N(p) порядка N. Таким образом, неравенство (44) означает, что при N передаточная функция N,n(p) должна иметь ограниченные полосу пропускания и наибольшее значение амплитудно-частотной характеристики.

Далее, относительно N(p) будем предполагать, что при фиксированном N ошибка N(p) в области |p| растет не быстрее некоторой степени p, т. е.

M > 0 µ Z0 (N(p) M|p|µ) |p|. (45) В этом случае выполнение неравенства (41) может быть обеспечено за счет выбора достаточно большого относительного порядка передаточной функции замкнутой системы N,n(p). Такой выбор всегда возможен, так как согласно формулам (2), (40) и обозначению B(p) N(p) = A(p) имеем равенство S(p)A(p) N,n(p) =.

D(p) Степень многочленов S(p) и A(p) не зависит от степени многочлена D(p). Поэтому произвольный заданный относительный порядок переда точной функции N,n(p) обеспечивается соответствующим выбором степени n полинома D(p), deg D = n. Принимая во внимание утверждение (45) и приведенные выше рассуждения, получаем следующий результат:

> 0 n N D(p) Rn (|N,n(p)|N(p) < ) |p|.

Таким образом, условие устойчивости (38) будет выполнено, если окажутся справедливыми условия lim |N,n(p)|N(p) = 0 |p| <, (46) N lim |N,n(p)|N(p) = 0 |p|. (47) n Имеет место теорема.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.