WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

(5) где = cos, штрих обозначает дифференцирование по r, а точка – по.

Первоначально использованный нами подход был основан на разложении искомого решения в ряд по степеням r, в результате чего уравнение (5) сводилось к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для соответствующих угловых гармоник. Далее предполагалось численно решать некоторую подсистему этих уравнений для достаточно большого количества конкретных наборов фигурирующих в них параметров (прежде всего, коэффициентов электропроводности) и, наконец, использовать эти решения для построения аппроксимации (r, t) во всем пространстве параметров.

Совершенно неожиданным фактом, выявившимся при численных расчетах, оказалась инвариантность спектра дифференциальных операторов для угловых гармоник, т.е. его независимость от фигурирующих в уравнениях параметров (хотя сами угловые гармоники, конечно же, существенно зависят от этих параметров). Более тщательное математическое исследование позволило дать строгое математическое доказательство этого факта и разработать на его основе метод построения точных решений уравнения динамо-эффекта (5) путем разложения по специально введенной системе базисных функций, названных нами “обобщенными сферическими функциями”. (Таким образом, использование каких-либо приближенных или численных методов стало ненужным.) В общем виде вышеупомянутое решение записывается как (6) где A = (0 – P) / P – параметр анизотропии электропроводности плазмы, cn – произвольные коэффициенты, определяемые граничными условиями на поверхности облака, и ank – коэффициенты, задающие обобщенные сферические функции. Они могут быть вычислены по рекуррентным соотношениям:

(7) где k0 и k1 – дельта-функции Кронекера.

Cоотношения (7) имеют гораздо более сложный вид, чем для обычных полиномов Лежандра, и, более того, содержат произвольный нецелочисленный параметр A. Тем не менее, как показано в тексте диссертации, вычисляемые по ним коэффициенты разложения ank обладают в точности теми же алгебраическими свойствами (в частности, ank 0 при k > n и любом A). Благодаря этому, вся процедура решения уравнения динамоэффекта в терминах обобщенных сферических функций оказывается в точности эквивалентной решению уравнения Лапласа путем разложения по обычным сферическим функциям. Примеры таких решений для конкретных граничных условий на поверхности облака приведены в конце данной главы.

Третья глава диссертации посвящена проблемам ионизационнорекомбинационной динамики плазмы на начальной стадии разлета, когда возможны значительные отклонения от условий термодинамического равновесия (в первую очередь, по отношению к неупругим каналам взаимодействия между частицами). Рассмотрение этих вопросов важно для электродинамики искусственного облака прежде всего потому, что в сильнонеравновесных состояниях плазмы (например, со значительной кулоновской неидеальностью) могут существенно изменяться выражения для электрических параметров, фигурирующих в уравнениях динамо-эффекта.

Основой анализа, проводимого в данной главе, является уравнение непрерывности для заряженных частиц в быстро расширяющемся облаке слабоионизованного газа:

(8) где N и n – концентрации заряженных частиц каждого знака и нейтральных частиц, соответственно; T – температура тяжелых частиц (т.е. ионов и нейтралов), Te – температура электронов, ve – поле скоростей заряженных частиц;,, и – параметры, характеризующие лидирующий канал рекомбинации, а – характерное время, выражаемое через коэффициент рекомбинации для этого канала. Подчеркнем, что параметризация скорости потери заряженных частиц выражением в правой части уравнения (8) позволяет охватить практически любой из известных каналов рекомбинации электронов с достаточно простыми положительными ионами; она неприменима лишь в случае сложных молекулярных и отрицательных ионов.

Далее, в данной главе диссертации проведен детальный анализ и классификация возможных типов временного поведения концентрации и температуры заряженных частиц в облаках различной конфигурации (например, при разлете незамагниченной плазмы, замагниченной плазмы, приводимой в движение свободно расширяющимся нейтральным газом, и т.д.). Наиболее интересной из изученных является, по-видимому, динамика параметра кулоновской неидеальности e* = (e2N1/3) (kBTe), т.е. отношения / характерной кулоновской энергии межчастичного взаимодействия к кинетической энергии частиц. Четыре качественно различных типа временного поведения этой величины проиллюстрированы на рисунке;1 они соответствуют следующим интервалам параметров:

Формальное возрастание e* до бесконечности возникает здесь из-за использования формул идеального газа. Фактически же, как показано в следующей главе, при учете эффектов сильного межчастичного взаимодействия значение e* должно стабилизироваться на уровне порядка единицы.

Здесь,, – эффективный показатель адиабаты для тяжелых частиц, R0 и u0 – как и в предыдущей главе, начальный размер и скорость плазменного облака, и – геометрические факторы разлета для заряженных и нейтральных частиц ( = 1, 2, 3 соответствуют облаку цилиндрической формы, расширяющемуся вдоль оси;

цилиндрическому облаку, расширяющемуся вдоль радиуса, и сферическому облаку, расширяющемуся во всех направлениях).

Важно отметить, что режим с неограниченным нарастанием e* реализуется, в частности, при разлете незамагниченного плазменного облака, рекомбинация в котором происходит за счет двухэлектронных столкновений A+ + e + e A + e (при этом me1/2 (kBTe0 )9/2 (e10N02), / ). Этот канал рекомбинации весьма типичен для активных плазменных экспериментов в ионосфере Земли. С физической точки зрения возрастание e* связано с тем, что при вышеупомянутых соотношениях между параметрами плазмы убывание кинетической энергии частиц происходит значительно быстрее, чем их потенциальной (кулоновской) энергии. В результате, через некоторое время эти две энергии становятся сопоставимы друг с другом.

Таким образом, основной вывод, вытекающий из материала данной главы, состоит в том, что при рассмотрении электродинамики искусственного облака на самой ранней стадии разлета необходимо уделять внимание возможному переходу ионизованных компонент газа в состояние с сильной кулоновской неидеальностью. При этом выражения для коэффициентов электропроводности и других электрических характеристик плазмы будут существенно отличаться от их “классического” вида.

Четвертая глава диссертации посвящена разработке методики расчета параметров плазмы в состоянии с предельно сильной кулоновской неидеальностью.

Прежде всего, следует отметить, что наиболее известные методы расчета свойств неидеальной плазмы не вполне адекватны в рассматриваемой нами ситуации, так как они разрабатывались для случая плотной плазмы, когда основной вклад в энергию взаимодействия между частицами создается короткодействующими силами, а кулоновские эффекты играют лишь роль поправки к ним. В отличие от этого, плазма, генерируемая при взрывной инжекции в космическую среду, почти сразу же переходит в сильно разреженное состояние, когда любыми короткодействующими силами (а также квантовыми эффектами) можно с хорошей точностью пренебречь; так что вся потенциальная энергия является кулоновской.

Для описания такой системы мы использовали следующую модель.

Предполагалось, что каждый из электронов большую часть времени движется в потенциальной яме, создаваемой ближайшим ионом, которая представляет собой суперпозицию кулоновского и центробежного потенциалов:

(9) как изображено на рисунке.

Время от времени эти электроны перескакивают из одной потенциальной ямы в другую за счет возмущений со стороны “внешних” частиц.

Предполагается, что эти перескоки могут быть описаны как возбуждения за счет взаимодействия с “термостатом”, ассоциируемым со внешними частицами и характеризуемым некоторой температурой Teff. Таким образом, для построения эффективной функции распределения электрона в поле (9) необходимо знать два ключевых параметра – средний угловой момент электрона M и эффективную температуру Teff.

Что касается углового момента, то его временная эволюция, вообще говоря, должна описываться некоторым кинетическим уравнением, учитывающим как медленные вариации M за счет внешних многочастичных взаимодействий, так и скачкообразные изменения при перескоке из одной потенциальной ямы в другую. На сравнительно небольших интервалах времени от момента перехода плазмы в сильно-неидеальное состояние, ввиду адиабатичности углового момента, можно считать его просто константой, равной CM e me1/2 N*–1/6, где CM – коэффициент порядка единицы, а N* – концентрация заряженных частиц в момент, когда плазма стала сильно неидеальной.

Для вычисления эффективной температуры будем исходить из многочастичной функции распределения наиболее общего вида:

(10) где Af – нормировочная постоянная, re и ri – координаты электронов и ионов, ve и vi – их скорости, а me и mi – массы.

Из-за очень сложного вида потенциальной энергии U в режиме сильного взаимодействия функция распределения (10), вообще говоря, не представляет практического интереса для вычислений. Исключение составляет лишь нахождение средних значений величин, зависящих только от скорости, так как при этом интегралы по координатам, включающие потенциальную энергию, автоматически сокращают друг друга. В частности, среднее значение кинетической энергии в расчете на одну частицу оказывается равным при любой интенсивности межчастичного взаимодействия. В принципе, этот результат хорошо известен в физике жидкостей, однако нам не известны случаи его применения в физике плазмы. Между тем, как раз в случае плазмы можно сделать еще один важный шаг, а именно использовать тот факт, что энергия чисто кулоновского взаимодействия является функцией однородной по Эйлеру. Тогда, предполагая эргодичность системы (т.е. равенство средних по ансамблю средним по времени), кинетическая энергия легко выражается через потенциальную по теореме вириала: а последняя очевидным образом оценивается из чисто геометрических соображений:

.

Таким образом, в режиме сильной кулоновской неидеальности эффективная температура системы заряженных частиц оказывается зависящей лишь от их концентрации:2 kB Teff = (1/3) (Cu / Cr) e2 N1/3, где Cu и Cr – безразмерные коэффициенты порядка единицы, определяемые многочас Эта зависимость, теоретически предсказанная в наших работах [9-11], была с хорошей точностью подтверждена в недавнем эксперименте [R.S. Fletcher, et al., Phys. Rev. Lett., v.99, p.145001 (2007)].

тичными корреляциями. При этом эффективная одночастичная функция распределения электрона в переменных “радиус–энергия” принимает вид:

(11) где AF – нормировочная постоянная, r изменяется в интервале от 0 до, а область допустимых значений лежит над кривой Ueff (r).

Функция распределения (11) может быть использована для вычисления различных характеристик сильно-неидеальной плазмы. Так, например, интегрируя F(r, ) по областям Df и Db (см. рисунок), получаем вероятности нахождения электрона в свободном и квази-связанном состоянии, соответственно. Приближенные аналитические оценки этих интегралов дают для относительной концентрации свободных носителей заряда следующее выражение:

(12) при (N /N*) << 1; где µ0 – постоянная порядка единицы. Видно, что резкое падение концентрации свободных зарядов по мере расширения облака может служить еще одним (наряду с плазменной турбулентностью) механизмом формирования аномального электрического сопротивления, нередко наблюдаемого в активных космических экспериментах.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Приложение A посвящено обсуждению модели разлета газового шара, которая существенно используется как во второй, так и в третьей главах. Этот материал не претендует на оригинальность и включен лишь для полноты изложения.

В приложение B вынесены достаточно очевидные, но очень громоздкие выкладки, связанные с усреднением многочастичной функции распределения. Их результатом является универсальное соотношение между эффективной (вириальной) температурой системы заряженных частиц и их кинетической энергией, которое играет ключевую роль при выводе эффективной одночастичной функции распределения в четвертой главе.

В приложении C обсуждены условия применимости вириальных соотношений для описания динамики заряженных частиц в сильно-неидеальной плазме. Приведены как качественные аргументы, так и результаты численного моделирования “из первых принципов”. Этот материал вынесен в приложение, так как находится несколько в стороне от основной темы диссертации, однако чрезвычайно важен для нее, поскольку предположение о “вириализации” является основой всех расчетов в Главе 4.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Развита теория обобщенных сферических функций, предназначенных для решения задачи динамо-эффекта в разлетающемся газовом шаре.

Основным достоинством данного метода является возможность легко проследить зависимость генерируемых электрических полей и токов от всех параметров плазмы (в первую очередь, коэффициентов электропроводности). Тем самым, обеспечивается эффективный инструмент для оптимизации активных космических экспериментов, а в перспективе и для радиофизической диагностики плазмы посредством решения обратной задачи динамо-эффекта. Найдены точные решения уравнений динамо-эффекта для конкретных граничных условий.

2. Исследована динамика ионизационно–рекомбинационных процессов в быстро расширяющемся облаке плазмы. При этом установлено, что при определенных термодинамических и кинетических параметрах инжектированного газа возможен переход плазмы в состояние со значительным (порядка единицы) параметром кулоновской неидеальности. Таким образом, возможность существования сильно-неидеальной плазмы на некотором временном интервале вскоре после момента инжекции следует иметь в виду при интерпретации экспериментальных данных.

3. Для оценки электрических параметров плазмы с сильной кулоновской неидеальностью развит приближенный метод построения эффективной одночастичной функции распределения электронов. С использованием этой функции рассчитана концентрация свободных носителей заряда, и выявлено ее резкое уменьшение в процессе разлета плазменного облака.

Тем самым, предложено альтернативное объяснение механизма формирования аномального электрического сопротивления плазмы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бадин В.И., Думин Ю.В. Оценки электронной концентрации при выбросе искусственного плазменного облака в ионосферу. // Геомагнетизм и аэрономия, 1994, т.34, №3, с.24-30.

2. Badin V.I., Dumin Yu.V. Ionization and Recombination Processes Determining Plasma Density at the Initial Stage of Artificial Cloud Injection. // Adv. Space Res., 1995, vol.15, no.12, p. (12)119-(12)122.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»