WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В первой главе доказывается сходимость решений, собственных значений и соответствующих собственных функций рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям, собственным значениям и соответствующим собственным функциям предельной задачи Дирихле в ограниченной области в пространстве Rn, n 2. Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений. Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся во второй главе диссертации.

Пусть – связная ограниченная область в Rn, n 2 с бесконечно дифференцируемой границей, V (t) – бесконечно дифференцируемая финитная функция, 0 < 1 – малый параметр, < 2 – некоторое фиксированное число. Предполагается, что содержит начало координат.

Рассматривается возмущение задачи Дирихле для оператора Лапласа:

-u0 = u0 + f0 в, u0 = 0 на, (1) где f0 L2(), – комплексный параметр. Возмущение описывается потенциалом, принимающим большие значения, но имеющим малый носитель:

x - + -V u = u + f в, u = 0 на, (2) где f L2(). Под символами · и · будем понимать норму в L2() и W2 (), соответственно:

1/ f = |f(x)|2dx, 1/ f = |f(x)|2dx + |f(x)|2dx.

Через W2 () обозначим пополнение функций из C0 () по норме W2 (). Обозначим через (•, •) скалярное произведение в пространстве L2(). Решения этих задач будем понимать в обобщенном смысле. А именно, под решением краевой задачи (1) понимается элемент u0 W2 (), удовлетворяющий интегральному тождеству (u0, v) = (u0, v) + (f0, v) для любой функции v W2 (). Аналогично под решением краевой задачи (2) понимается элемент u W2 (), удовлетворяющий интегральному тождеству x (u, v) + - V u, v = (u0, v) + (f, v) для любой функции v W2 ().

В первой главе изучается сходимость решений возмущенной задачи (2) и доказывается следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть Q – произвольный компакт в комплексной плоскости C, не содержащий собственных значений краевой задачи -0 = 00 в, 0 = 0 на. (3) Тогда 1) существует число 0 > 0 такое, что при любом < 0 и любом Q существует единственное решение u краевой задачи (2) 2) если f - f0 - 0, то имеет место сходимость u - u0 - 0.

Затем, применением леммы 1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы.

Теорема 1. Пусть 0 – собственное значение краевой задачи Дирихле (3) кратности N. Тогда 1) совокупная кратность собственных значений,i краевой задачи x - + -V = в, = 0 на, (4) сходящихся к 0 при 0, равна N;

2) из любой последовательности {k} 0 можно выделить подk=последовательность {k } 0 такую что для соответствующих m m=,i собственных функций,i краевой задачи (4), нормированных в L2(), имеет место сходимость km,i - 0,i 0, где 0,i, i = 1,..., N – ортонормированные в L2() собственные функции, соответствующие собственному значению 0.

Из теоремы 1 немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть 0 – простое собственное значение краевой задачи (3), а 0 – соответствующая нормированная в L2() собственная функция этой задачи. Тогда 1) существует собственное значение краевой задачи (4), сходящееся к 0, при 0. Это собственное значение простое;

2) для соответствующей нормированной в L2() собственной функции имеет место сходимость - 0 0 при 0.

В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (2).

Основным результатом второй главы является Теорема 2. Пусть 0 – простое собственное значение краевой задачи (3) а 0 – соответствующая нормированная в L2() собственная функция этой задачи. Тогда асимптотика собственного значения возмущенной задачи (4), сходящегося к 0 при 0, имеет вид = 0 + (i+1,j)i,j, i=0 j=0,1 = 0(0) V, а асимптотика соответствующей собственной функции в норме W2 () имеет вид (x) = 0(x) + (i+1,j)i,j(x), x \ {x : |x| < 1/2}, (5) i=0 j= x (x) = (i,j)vi,j, |x| < 21/2, (6) i=0 j=где (i, j) = i + (2 - )j, V = V (t)dt.

RДоказательство теоремы 2 проводится в несколько этапов. Вначале методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (4). Одновременно с этим строятся первые члены рядов (5), (6). Коэффициенты ряда (5) являются сингулярными решениями краевых задач в ограниченной области, не содержащих малый параметр, а коэффициенты ряда (6) являются растущими на бесконечности решениями уравнений Пуассона, рассматриваемых во всем пространстве R3. Решения этих краевых задач и уравнений имеют произвол, который определяется в результате согласования асимптотических разложений рядов (5), (6). Далее показывается, что формально построенные частичные суммы асимптотических разложений собственных элементов удовлетворяют рассматриваемой возмущенной задаче с точностью до невязок малого порядка. Затем построенные асимптотические разложения строго обосновываются. Последнее означает вывод оценки разности между истинными собственными значениями и построенными асимптотическими рядами, а также оценки разности между соответствующими собственными функциями и построенными асимптотическими разложениями. Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в статье [2].

Во третьей, заключительной главе строятся асимптотики собственных значений для рассматриваемого в настоящей работе возмущенного оператора Шредингера в случае пространства произвольной размерности при дополнительном ограничении на скорость роста значений потенциала.

В первом параграфе третьей главы рассматривается случай < для пространства размерности n 2.

Постановка задач следующая. Постановка задач следующая. Пусть – связная ограниченная область в Rn, n 2 с бесконечно дифференцируемой границей, 0 – простое собственное значение краевой задачи (3), а 0 – соответствующая нормированная в L2() собственная функ ция, V C0 (Rn), 0 < 1 – малый параметр, V = V (t)dt.

Rn Предполагается, что содержит начало координат.

Доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть < 1 – произвольное фиксированное число. Асимптотика собственного значения краевой задачи (4), сходящегося к при 0, имеет вид = 0+n- 0(0) V + o(1).

В конце параграфа приведено представление для соответствующей собственной функции.

Как видно из условия теоремы 3, на параметр наложены более слабые ограничения в отличие от условия, наложенного на в главе ( < 2). Данное ослабление позволяет построить и строго обосновать первые члены асимптотик собственных значений в случае пространства размерности n, не привлекая метод согласования асимптотических разложений. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [1].

Во втором параграфе третьей главы строится и строго обосновывается асимптотика собственного значения возмущенного оператора Шредингера в одномерном случае. Постановка задачи следующая. Рассматривается возмущенная краевая задача на собственные значения d2 x - x- + V =, x (0, 1), dx(7) (0) = (1) = 0, где x0 – произвольная фиксированная точка из интервала (0, 1).

Основной результат этого параграфа формулируется в виде следующего утверждения.

Теорема 4. Собственное значение краевой задачи (7), сходящееся к собственному значению 0 краевой задачи d- = 00, x (0, 1), dx0(0) = 0(1) = 0.

имеет асимптотику = 0 + 1 + O(3/2), 1 = 0(x0) V.

Кроме того, построена и строго обоснована асимптотика собственных функций. Соответствующее утверждение сформулировано и доказано в конце параграфа. Результаты этого параграфа опубликованы в статье [3]. Построение асимптотик, как и во второй главе проведено методом согласования асимптотических разложений.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Автор благодарен канд. физ.-мат. наук, доценту кафедры математического анализа БГПУ им. М. Акмуллы Борисову Денису Ивановичу за многократные обсуждения результатов и ценные замечания.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Бикметов А. Р., Гадыльшин Р. Р.. О спектре оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве // Математические заметки. – 2006. – Т. 79. №5. – С. 787–790.

[2] Бикметов А. Р. Асимптотики собственных элементов краевых задач оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2006. № 4. – С. 666-681.

[3] Бикметов А. Р., Борисов Д. И. О дискретном спектре оператора Шредингера с узкой потенциальной ямой // Теоретическая и математическая физика. – 2005. – Т. 145. № 3. – C. 373-385.

[4] Бикметов А. Р. Об одном примере появления собственного значения у одномерного возмущенного оператора Шредингера// Тезисы докладов XXVI Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. 2004. С.

20-22.

[5] Бикметов А. Р. Построение методом согласования первых членов асимптотики собственных функций и собственных значений возмущенного оператора Шредингера на отрезке // Ученые записки.

Сборник научных статей ФМФ БГПУ. Уфа. БГПУ. – 2003. – С. 1821.

[6] Бикметов А. Р. О возмущении двумерного оператора Шредингера// Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Межвузовский научный сборник. Уфа.

УГАТУ. 2003 с.19-24.

[7] Бикметов А. Р. О возмущении одномерного оператора Шредингера // Труды Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа: Башгосуниверситет. – 2002. – С. 17-21.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»