WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Колесников Виктор Сергеевич ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПРОДОЛЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ специальность 01.01.01 – математический анализ А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов – 2009

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ивановского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент Белов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Хромов Август Петрович кандидат физико-математических наук, доцент Бородин Петр Анатольевич

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится 16 декабря 2009 г. в 16.30 на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Корнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что если ak 0 и bk 0, то частные суммы ряда a0 f(x) = + ak cos kx (1) 2 n=1 сходятся при любом x, x = 2n, и частные суммы ряда g(x) = bk sin kx (2) n=1 сходятся при любом x.

Пусть a0 n Tn(f; x) = + an cos (kx) k 2 k=1 и n Tn(g; x) = bn sin (kx) k k=1 – полиномы наилучшего приближения в метрике L1 соответственно 2 функций f(x) и g(x).

Коэффициентные необходимые и достаточные условия равномерной сходимости (ограниченности) частичных сумм ряда (2), если bk 0, найдены Чонди и Джоллифом1 и Джоллифом2.

А.С. Белов3 нашел точные коэффициентные условия равномерной ограниченности снизу частных сумм ряда (1). Аналоги этих результатов для тригонометрических полиномов наилучшего приближения в метрике L1 при условиях 2ak 0, 3ak 0 делаются в диссертационной работе.

Chaundy T.W., Jolliffe A.E. The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series / T.W. Chaundy., A.E. Jolliffe // Proc. London Math. Soc. – 1916. – V. 15. – P. 214-216.

Jolliffe A.E. On certain trigonometrical series which have a nessesary and sufficient condition for uniform convergence / A.E. Jolliffe // Cambridge Philisophical Soc. – 1919. – V. 19. – P. 191-195.

Белов А.С. О частных суммах тригонометрического ряда с выпуклыми коэффициентами / Белов А.С. // Математические заметки. – 1991. – Т. 50. № 4. – С. 21-27.

Также А.С Беловым4 установлено, что равномерная ограниченность снизу частных сумм ряда (1) будет гарантирована, если они будут ограничены снизу на последовательности.

2n В диссертационной работе подобные вопросы для полиномов Tn(f; x) также исследуются. Также доказываются теоремы сходимости и равномерной сходимости полиномов Tn(f; x) и Tn(g; x).

Во второй главе диссертационной работы рассматриваются продолжения непрерывных функций с компакта E в метрическом пространстве X, такие, что модуль непрерывности продолженной функции X(), R, и модуль непрерывности E() этой функции на компакте E связаны неравенством:

X() CE() ( > 0). (3) Находятся оценки наименьшей постоянной C = C(E), удовлетворяющей этому неравенству.

Известная теоpема Титце-Уpысона5 утверждает, что любую непpеpывную функцию f, заданную на замкнутом множестве E, можно непpеpывно пpодолжить на X с сохpанением ее максимума и минимума.

Е. Макшейн6 доказал, что если f Lip(E; ), то функции + F (x) = inf (f(y) + ((x, y))) yE и F (x) = sup (f(y) - ((x, y))), yE задающие пpодолжения f с E на X, пpинадлежат классу Lip(X; ).

Подобными вопросами занимался и В.А. Мильман7.

Компакт E в банаховом пpостpанстве X условимся называть C-выпуклым, если любую непpеpывную функцию, заданную на E, можно Белов А.С. О коэффициентах тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами / Белов А.С. // Тр. МИАН СССР. – 1989. – Т. 190. – С. 3-21.

Дьедонне Ж. Основы совpеменного анализа. / Ж. Дьедонне – М.: Миp, 1964. – 430 с.

McShane E. Extention of range of function / E. McShane // Bull.Amer.

Math.Sos. – 1934. – V.4. № 12. – P. 837-842.

Мильман В.А. Пpодолжение функций, сохpаняющее модуль непpеpывности / В.А. Мильман // Матем. заметки. – 1997. – Т.61. № 2. – С. 236-245.

непpеpывно пpодолжить на все пpостpанство X так, чтобы выполнялось pавенство X(f, ) = E(f, ).

Из результата Макшейна легко следует, что выпуклый компакт является C-выпуклым. В данной главе доказывается обратный результат.

Также описываются все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.

Цель работы.

1. Получить коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Tn(f; x) и Tn(g; x) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке x = 2n, n N.

2. Получить точные условия на коэффициенты ak, k = 0, 1,.., для равномерной ограниченности снизу полиномов Tn(f; x).

3. Выяснить, для каких последовательностей точек {xn}, из n=условия ограниченности снизу последовательности Tn(f; xn) следует, что полиномы Tn(f; x) равномерно ограничены снизу. Выяснить, для каких последовательностей точек {xn} такой результат не имеет меn=сто.

4. Описать все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и C-выпуклости совпадают.

5. Для некоторых конкретных компактов E на плоскости найти или оценить сверху и снизу постоянные C(E).

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, теории функций действительного переменного, теории приближения функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Tn(f; x) и Tn(g; x) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке x = 2n, n N.

2. Получены точные условия на коэффициенты ak, k = 0, 1,.., для равномерной ограниченности снизу полиномов Tn(f; x).

3. Доказано, что для последовательности точек xn =, при = n 0 = 0.985..., где число 0 определяется из системы двух уравнений, из условия ограниченности снизу последовательности {Tn(f; xn)} не следует, что полиномы Tn(f; x) равномерно ограниn=чены снизу.

4. Описаны все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и C-выпуклости совпадают.

5. Для некоторых конкретных компактов E на плоскости найдены или оценены сверху и снизу постоянные C(E).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинарах по теории функций (руководитель профессор А.С. Белов), на конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ (Москва 2000, 2001), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90летию Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2000), на Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2004, 2006, 2008), на семинаре по теории функций (руководитель профессор А.Л. Лукашов, Саратов, 2006),на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа содержит страницы и состоит из введения, двух глав, первая из которых содержит шесть параграфов, а вторая пять, и списка литературы, содержащего 27 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, связанных с темой диссертации и формулируются результаты диссертации. Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике L1, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике L1.

В параграфе 1 главы 1 получены коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Tn(f; x) и Tn(g; x) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке x = 2n, n N.

bk Теорема 1.1. Если bn 0, 2bn > 0, ряд сходится и k=k g(x) = bk sin (kx), то для равномерной ограниченности полиноk=мов Tn(g; x) необходимо и достаточно, чтобы числа nbn были ограничены.

bk Теорема 1.2. Если bn 0, 2bn > 0, ряд сходится и g(x) = k=k bk sin (kx), то для равномерной сходимости полиномов Tn(g; x) k=необходимо и достаточно, чтобы nbn 0 при n.

bk Теорема 1.3. Если bn 0, 2bn > 0, ряд сходится и g(x) = k=k bk sin (kx), то последовательность полиномов Tn(g; x) сходится k=при любом x. Равномерная сходимость будет на промежутке (; 2) при любом достаточно малом.

Теорема 1.4. Если ak 0, 2ak 0, 3ak 0 и f(x) = a+ ak cos (kx), то последовательность полиномов Tn(f; x) схоk=дится при любом x не кратном 2. Равномерная сходимость будет на промежутке (, 2 - ) при любом (0, ).

Теорема 1.5 Пусть ak 0, 2ak 0, 3ak 0, k = 0, 1,..., aи f(x) = + ak cos (kx). Тогда для равномерной сходимости k=полиномов Tn(f; x) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд a+ ak, и то же самое условие необходимо и достаточно для k=равномерной ограниченности полиномов Tn(f; x).

В параграфе 2 главы 1 получены результаты, касающиеся ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в метрике L1.

Теорема 1.6. Пусть невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {an} удовлетворяет условиям n=an > 0, 2an > 0, 3an 0 (n 0) и an = O(n-1) при n.

Тогда полиномы наилучшего приближения Tn(f; x) функции f(x) равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.7. Пусть монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {cn} удовлетворяет условию n=supn1 ncn =. Тогда можно построить стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {an} так, что n=an > 0, 2an > 0, 3an 0, an cn (n 0), функция (1) положительна, f Lp при всех p (0, ), но полиномы наилучшего приближения Tn(f; x) не являются равномерно ограниченными снизу, то есть inf min Tn(f; x) = -.

x nВ параграфе 3 главы 1 доказаны теоремы Теорема 1.8. Пусть {an} последовательность неотрицаn=тельных чисел и выполнены условия an > 0, 2an > 0, 3an > 0, 4an > 0, n = 0, 1....

Тогда полиномы Tn(f; x) равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.9 Для любого > 0, кроме, может быть, одного значения 0 = 0.985.., которое будет определено ниже, существует такая функция f(x) вида (1), что последовательность {Tn(f; )} ограничена снизу, но последовательность n+n={Tn(f; )} неограничена снизу.

n+n=В параграфе 4 главы 1 строится пример четной, 2-периодической функции, коэффициенты Фурье которой образуют монотонно убывающую, стремящуюся к нулю последовательность чисел, такой, что коэффициенты Фурье некоторых ее полиномов наилучшего равномерного приближения не образуют монотонно убывающую последовательность чисел.

В параграфе 5 главы 1 строится пример четной 2-периодической функции f(x), коэффициенты Фурье которой монотонны, такой, что для всех, начиная с некоторого номера полиномов Tn наилучшего приближения в метрике L1, коэффициенты Tn не являются монотонно убывающими.

Параграф 6 главы 1 посвящен экстремальной задаче о минимуме четных и нечетных тригонометрических полиномов с фиксированными максимумами.

Пусть даны числа 1 a1 a2... an 0, Tn(x; a1,..., an) = + a1 cos x +... + an cos nx, Ln(a1,..., an) = + a1 +... + an, Dn(x) = + cos x +... + cos nx ядро Дирихле.

Теорема 1.11. а). Для любого x и для любого натурального n существует такое k = 0, 1,..., n, что верно равенство Tn(x; a1,..., an) min = Dk(x), 1a1a2...anLn(a1,..., an) k + б).

Tn(x; a1,..., an) min = -.

x,1a1a2...anLn(a1,..., an) Пусть даны числа 1 = b1 b2... bn 0, Mn(x; b2,..., bn) = sin x + b2 sin 2x +... + bn sin nx, Ln(b2,..., bn) = 1 + b2 +... + bn, Dn(x) = sin x +... + sin nx сопряженное ядро Дирихле.

Теорема 1.12.

Mn(x; b2,..., bn) min = x[0,],1b2...bn0,nLn(b2,..., bn) 3 - 33 30 - 2 = µ0 = -0.184....

Во второй главе диссертационной работы рассматриваются продолжения непрерывных функций с компакта E в метрическом пространстве X, такие, что модуль непрерывности продолженной функции X() R и модуль непрерывности E() этой функции на компакте E связаны неравенством:

X() CE() ( > 0).

Находятся оценки наименьшей постоянной C = C(E), удовлетворяющей этому неравенству.

В параграфе 1 главы 2 доказывается теорема 2.1. Пусть множество E есть кусочно-гладкая кpивая на плоскости без самопеpесечений. Обозначим min {l(x1, x2), l(x2, x1)} A = A(E) = sup, (x1, x2) x1,x2 E если E замкнутая кpивая, и l(x1, x2) A = A(E) = sup, (x1, x2) x1,x2 E если E незамкнутая кpивая, где l(x1, x2) длина дуги кpивой от точки x1 до x2, взятая в положительном напpавлении (пpотив часовой стpелки). Тогда спpаведлива следующая Теоpема 2.1. Пусть множество E есть кусочно-гладкая кpивая без самопеpесечений. Тогда спpаведливы оценки A C(E) -[-A], где квадpатные скобки означают целую часть числа, а C(E) обозначает наименьшую константу C, удовлетвоpяющую неpавенству (3).

В параграфе 2 доказывается, что для случаев, когда E есть граница квадрата и эллипс, достаточно близкий к окружности C(E) = В параграфе 3 доказывается, что для окружности C(E) = 2.

В параграфе 5 доказывается Теоpема 2.3. а) Если банахово пpостpанство стpого ноpмиpовано, то в нем любой С-выпуклый компакт является выпуклым.

б) В любом банаховом пpостpанстве X, котоpое не является стpого ноpмиpованным, всегда существует С-выпуклый компакт, котоpый не является выпуклым.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Сергеевичу Белову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации 1. Колесников В.С. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения / В.С. Колесников // Математические заметки. 2006. – Т. 79. № 6. – С. 870-878.

2. Колесников В.С. О пpодолжении непpеpывных функций с компакта на плоскость / В.С. Колесников // Научные тpуды ИвГУ. – 1999. № 2. – С. 65-72.

3. Колесников В.С. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств / В.С. Колесников // Научные тpуды ИвГУ.

– 2001. № 4. – С. 53-58.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»