WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Сиверцев Олег Николаевич Алгоритм восстановления функций Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 2006

Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Хаметов Владимир Минирович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится (109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер. 3/12)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.01 кандидат технических наук, доцент Бузников С.Е.

2

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача восстановления неизвестной функции по наблюдениям с ошибками возникает в таких областях науки и техники как: статистика, теория планирования эксперимента, радиолокация, связь, геология, экономика, медицина, генетика и т.д.

В [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] и ряде других работ приведены математические методы либо алгоритмы решения этой задачи. Кроме того, в этих работах установлены некоторые свойства этих решений и алгоритмов.

Следует отметить, что задача восстановления неизвестной функции отличается от классических задач статистического оценивания тем, что оцениваемый параметр является бесконечномерным.

В [1, 2] В. Н. Вапника предложен и реализован в виде программы алгоритм восстановления неизвестной функции по наблюдениям с ошибками, основанный на применении теоремы Гливенко-Кантелли.

В [3, 4] Дарховского Б. С. рассмотрена задача минимаксного оценивания линейных функционалов в некотором классе функций.

Предложена асимптотическая постановка задачи оценивания и найдены условия, при которых алгоритм восстановления сходится.

В работе [5] И. А. Ибрагимова построен алгоритм оценивания неизвестной функции. Исследованы асимптотические свойства сходимости этого алгоритма.

В [6] И. А. Ибрагимова и Р. З. Хасьминского предложен алгоритм оценивания неизвестной плотности распределения по результатам наблюдений и исследованы асимптотические свойства этого алгоритма.

В [7] Б. Левита и Н. Степановой построены точечные минимаксные оценки неизвестной аналитической функции, заданной на компакте, в случае наблюдения процесса в непрерывном времени, описываемого стохастическим уравнением Ито, в котором снос является неизвестной аналитической функцией, а ошибки малы.

В [8] И. Л. Легостаевой и А. Н. Ширяева рассмотрен вопрос минимаксного оценивания весов в задаче выделения полиномиального тренда по наблюдениям за ним с ошибками.

В [9, 10] Р. Л. Стратановича приведен рекуррентный алгоритм восстановления неизвестной функции по наблюдениям с ошибками и исследованы его некоторые асимптотические свойства.

Для алгоритмов, которые предлагаются в работах [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10], не исследованы статистические свойства оценок неизвестной функции, а именно не установлено обладают ли оценки, построенные с помощью этих алгоритмов, свойствами несмещенности и состоятельности.

Из сказанного следует, что разработка алгоритмов восстановления неизвестной функции, обладающих свойствами несмещенности и состоятельности является актуальной нерешенной как теоретической, так и практической проблемой. Кроме того, актуальной нерешенной проблемой является программная реализация этих алгоритмов.

Цель работы. Разработка рекуррентных линейных алгоритмов оптимального и -оптимального восстановления функций по наблюдениям с ошибками, а также их реализация в виде комплекса программ.

Методика исследования. В диссертационной работе применяются методы функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и численных методов.

Научная новизна состоит в том, что построены: 1) оптимальный линейный рекуррентный алгоритм проекционного оценивания неизвестной квадратичноинтегрируемой функции, значения которой наблюдаются с ошибками, обладающий свойствами несмещенности и состоятельности; 2) -оптимальный рекуррентный линейный алгоритм проекционного оценивания неизвестной квадратичноинтегрируемой функции, значения которой наблюдаются с ошибками; 3) программный комплекс восстановления неизвестной квадратичноинтегрируемой функции, значения которой наблюдаются с ошибками.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность состоит в том, что предложенные алгоритмы оптимального и -оптимального оценивания имеют строгое математическое обоснование. Практическая ценность состоит в том, что разработан программный комплекс «МНК-тренд», реализующий -оптимальный линейный рекуррентный алгоритм восстановления неизвестной квадратичноинтегрируемой функции, значения которой наблюдаются с ошибками. Этот программный комплекс описан в диссертации и зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ.

Апробация работы. Материалы исследования докладывались и получили положительную оценку на научных форумах: Международная конференция и Российская научная школа «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий» (Москва-Сочи, 2001); научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 40-летию МИЭМ (Москва, 2002); на VII симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006).

По теме диссертации были сделаны доклады на научнотехнических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ в 2003-2006 гг., а также в процессе работы Международной студенческой школы-семинара «Новые информационные технологии» в 2002, 2004 и в 2005 гг. Помимо этого делались сообщения на семинарах кафедры «Исследование операций» и на семинарах кафедры «Кибернетика».

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 печатных работах, список которых содержится в конце автореферата, в том числе свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «МНК-тренд».

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, 3 приложений и библиографического списка, включающего 87 наименований. Работа изложена на страницах, содержит таблицу и 57 рисунков.

Содержание работы Во введении содержится обзор известных результатов в теории восстановления неизвестной функции, а также анализ содержания статистических пакетов, связанных с программной реализацией методик восстановления функций. Здесь дана общая характеристика работы, отмечена ее актуальность, научная новизна и практическая ценность. Приводится краткое содержание работы по главам.

В главе 1 диссертационной работы содержатся необходимые для изложения результатов работы сведения из функционального анализа, теории меры, теории вероятностей и математической статистики.

Здесь вводятся также необходимые для изложения обозначения и определения.

Перейдем к краткому изложению результатов главы 2. В этой главе содержатся основные теоретические результаты работы.

В § 1 приводятся известные результаты, касающиеся существования гауссовских мер в сепарабельных гильбертовых пространствах.

В § 2 содержится постановка задачи восстановления неизвестной функции по наблюдениям с ошибками. Перейдем к точным формулировкам. Пусть x [0,1], L2[0,1] — множество квадратично 1 интегрируемых функций f :[0,1], т.е. f (x)dx <. Пусть на вероятностном пространстве (, F, P) задана случайная функция + 1 + n : [0,1], обозначаемая через nm (x), где m, x [0,1], причем для любого x [0,1] Mnm (x) = 0 и M (x)dx = <, m n где M — математическое ожидание относительно меры P, и для m k Mnm (x)nk (x) = 0.

Пусть f :[0,1], обозначаемая через f (, x) такая, что M f (, x)dx <.

Заметим, что при каждом f (, x) L2[0,1], причем f (, x)dx < (P-п.н.) Предположим, что мы наблюдаем функцию f (, x) в каждой точке x [0,1] с ошибками, т.е.

ym (x) = f (, x) + nm (x), m =1,2... (1) Обозначим через:

y 1) Fm {y1(x),..., ym (x), x [0,1]} — -алгебру, порожденную y1(x),.., ym (x), где x [0,1];

y + fm ( x) 2) fm (x) — Fm -измеримую случайную функцию [0,1] такую, что M fm (x)dx < — будем называть оценкой неизвестной функции f (, x). Множество таких оценок обозначим.

Требуется построить оценку fm (x) неизвестной функции f (, x) по критерию минимума среднеквадратической ошибки по мере dPdx, т.е.

M f (, x) - fm (x)]2 dx inf. (2) [ fm ( x) Определение. fm (x) — оценку неизвестной функции — назовем оптимальной, если в (2) inf M f (, x) - fm (x)]2 dx =M f (, x) - fm (x)]2 dx. (3) [ [ fm ( x) В § 3 строится представление для критерия оптимальности и оптимальных оценок.

Поскольку пространство L2[0,1] — сепарабельное гильбертово пространство, в нем существует полная ортонормированная система функций, которую мы обозначим { (x)}i1, ( (x) L2[0,1]), т.е.:

i i 1 (x) (x)dx =, где — символ Кронекера, i jij ij i (x)dx <. Так как i=0 при каждом функция f (, x) L2[0,1], то она допускает представление:

f (, x) = ( ) + ( ) (x), 0 ii i=где 1 ( ) = f (, x) (x)dx ; ( ) = f (, x)dx.

ii 0 ( ) — коэффициенты Фурье функции f (, x), которые являются { } i iслучайными величинами и подлежат определению в задаче (2).

Действительно, пусть i ym ym (x) (x)dx, (4) i i nm m (x) (x)dx, где i 0, m 1. (5) i n Очевидно, что в силу сделанных предположений, для любых i, m, интегралы (4) и (5) хорошо определены и для них справедливо:

ii M( ym )2 + M(nm )2 <.

Поэтому из (1) следует, что ii ym = + nm, (6) i где i 0, m 1.

ii i Обозначим: 1) {y1,..., ym}, — -алгебру, порожденную m i i случайными величинами y1,..., ym, где i 0;

i i 2) {y1,..., ym, для всех i 0}.

m Так как fm (x) P-п.н. принадлежит L2[0,1], то P-п.н. для нее справедливо представление:

0m fm (x) = + (x), (7) m i i=где 1 im i 0m = fm (x) (x)dx ; = fm (x)dx.

0 im i — коэффициенты Фурье функции fm (x), являющиеся { } im m -измеримыми. Множество — -измеримых случайных величин m таких, что. Очевидно, что =.

M im < обозначим через 2 2 i=m 0m 1m Также обозначим,,... 2. Отсюда и из (2) следует, что { } inf M f (, x) - fm (x)]2 dx inf M[ ( ) - im ]2.

[ im i fm ( x) i=im Ясно, что оценка является оптимальной тогда и только тогда, когда 0 inf M f (, x) - fm (x)]2 dx = M[ ( ) - im ]2.

i 0 [ fm (x) i=В § 4 формулируются основные предположения — условия S и основной результат главы — алгоритм восстановления гауссовской случайной функции.

Условия S:

1) семейство { ( )}i0 образует гауссовскую систему i некоррелированных случайных величин, причем:

Law( ( )) = N (ci, di ), <, ci < ;

i di i=0 i= i 2) семейство {nm ( )} образует гауссовскую систему некоррелированных случайных величин с i 2 Law(nm ) = N(0, ), причем < ;

i i i=i 3) семейства { } и {nm} — некоррелированны для любых i, m.

i Формулировка основного результата.

Теорема 1. Пусть f (, x) P-п.н. допускает представление f (, x) = ( ) + ( ) (x), где (x) — система ортогональных { } 0 i i i ii=функций в L2[0,1]. Пусть выполнены условия (S). Тогда существует оптимальная оценка fm (x) в задаче (2), которая допускает представление:

0m fm (x) = + (x), (8) m i i=im где для любых i 0, m 1 коэффициенты удовлетворяют рекуррентному соотношению:

i 0 0 m-i = + (ym - ), = ci ; (9) m im-1 m-1 2 i + i m-i ( )2 i i i m- = -, = di, (10) m m-1 2 i + i m-ii причем = M[( ( ) - im m )2 | ] — условная дисперсия.

mi § 5 посвящен обоснованию алгоритма (8)-(10).

В § 6 устанавливается свойство несмещенности оптимальной оценки (8).

Определение. Оценка fm (x) неизвестной функции f (, x) называется несмещенной, если для любого x [0,1] Mfm (x) = Mf (, x). (11) Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда оптимальная оценка fm (x), определяемая (8), является несмещенной.

В § 7 устанавливается свойство состоятельности оценки (8).

Определение. Оценка fm (x) неизвестной функции f (, x) называется состоятельной, если P fm (x) f (, x).

m Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда оптимальная оценка fm (x), определяемая (8), является состоятельной.

Практическое использование оптимальной оценки f (x), m определяемой соотношением (8), технически затруднено из-за того, что im таких оценок необходимо построить счетное число. Поэтому далее мы переходим к рассмотрению -оптимальных оценок.

В § 8 дается определение -оптимальной оценки и формулируются условия ее существования.

Определение. Оценку fmk (x) назовем -оптимальной по, отношению к оптимальной оценке fm (x), если для любого положительного существует натуральное число N0 ( ) такое, что для любого k N0( ) M fm (x) - fmk (x)]2 dx.

, [ Теорема 4. Пусть выполнены условия (S) и для любого > найдется N0( ) такое, что для любогоk N0( ) [di + ci2 ].

i=k +Тогда оценка k 0m 0 i fm,k (x) = + (x) (12) im i=является -оптимальной, где i 0 0 i m-= + (ym - ), = ci;

m m-1 m-1 2 i + i m-i ( )2 i i i m-= -, = di.

m m-2 i + i m-Глава 3 посвящена реализации алгоритма -оптимального восстановления функций в виде программного комплекса «МНК-тренд» и в ней дается описание этого комплекса программ.

В предыдущей главе были построены оптимальные и -оптимальные оценки, однако остался нерешенным вопрос о выборе параметров системы ортогональных функций.

В качестве системы ортогональных функций в этой главе { } i рассматривается система тригонометрических функций с неизвестным периодом и начальной фазой.

Утверждения теорем 1, 2, 3, 4 дают алгоритм восстановления функций, например, вида:

fn (,,Ti,©i ) = + sin( n + ©i ), (13) 0 i 0 i Ti i=+ + где Ti / 0, n, ©i [0, 2 ]. Такие функции могут быть восстановлены с помощью этого алгоритма. При этом возникает проблема выбора значений параметров Ti и ©i, которые не следуют из утверждений теорем 1, 2, 3, 4.

Очевидно, что задача восстановления функций вида (13) в рамках классических статистических методов (метода наименьших квадратов (МНК), метода максимального правдоподобия и др. методов) приводит к необходимости решения систем нелинейных уравнений большой размерности, что является не тривиальной математической задачей.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»