WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

2. Каждый метод имеет свои недостатки и особенности: пошаговый во времени метод требует много машинного времени и непригоден для анализа линий с частотно-зависимыми параметрами, поскольку в этом случае для каждого проводника необходимо использовать сложные эквивалентные цепи.

Классический метод характеристик не позволяет учесть потери в линии.

Частотные методы вычислительно затратны даже для небольшого числа проводников, поскольку используют различные аппроксимации вторичных параметров линий с последующим преобразованием Фурье (которое в ряде случаев не применимо), а также свертку для получения решения во временной плоскости.

3. Количество значений вольт-амперных характеристик строго ограничено и в основном выражается табличной зависимостью. Для их задания используются несколько основных аппроксимаций: полиномиальная, аппроксимация трансцендентными функциями и кусочно-линейная, но этого может быть не достаточно.

В результате выделен объект исследования в виде многопроводной линии связи с нелинейными несогласованными нагрузками, показана актуальность данной работы. Сделан вывод о необходимости создания численного алгоритма. В конце первой главы сформулированы цель и задачи диссертационной работы.

Глава 2. Численные модели для анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейной нагрузкой. Данная глава посвящена описанию метода Годунова для использования его в задачах теории цепей с распределенными параметрами.

Описан процесс получения разностной схемы метода Годунова для анализа распространения волны напряжения в многопроводной линии связи. Для задания нелинейных граничных условий, имеющих в функциональном поведении особенность типа C0, предложено использовать экспоненциальный сплайн с натяжением.

Задача 2. Дано: 1) объект в виде многопроводной линии связи с несогласованными нагрузками, которая описывается телеграфными уравнениями (1); 2) метод Годунова, изложенный для системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, описывающих распространение звуковых волн в среде, в терминах скорости среды и давления; 3) совокупность падающих и отраженных волн, а также нелинейная зависимость между искомыми функциями на концах линии, отличающая задачи теории цепей от задач акустики; 4) способ аппроксимации математических функций сплайном с натяжением, предложенный в работе Маккартина.

Требуется: разработать математическую модель многопроводных линий связи с учетом многократности отражений и нелинейности нагружающих цепей. Для этого необходимо: представить метод Годунова в терминах теории цепей; вывести расчетную схему; описать граничные условия, учитывающие совокупность падающих и отраженных волн и нелинейности нагрузок; использовать экспоненциальный сплайн с натяжением для аппроксимации нелинейностей.

Метод Годунова, предназначенный для решения гиперболических систем уравнений, широко используется для решения задач газовой динамики, теории мелкой воды, магнитной гидродинамики и механики твердого деформируемого тела. Однако примеры использования в задачах теории цепей с распределенными параметрами автору неизвестны.

Поскольку метод Годунова основывается на законах сохранения материи и энергии, то он является наиболее обоснованным с физической точки зрения.

Учитывая, что телеграфные уравнения могут быть получены из законов Кирхгофа, где первый закон, описывающий поведение напряжения в замкнутой цепи, является законом сохранения энергии, а второй, говорящий о равенстве суммы втекающих и вытекающих токов для каждого узла цепи, законом сохранения заряда, то для решения телеграфных уравнений может быть применен метод Годунова. Во временной области телеграфные уравнения имеют вид:

U(x,t) I(x,t) -= L, x t (5) I(x,t) U (x,t) -= C, x t что соответствует общей записи системы уравнений гиперболического типа, рассматриваемой Годуновым:

u u A + B = 0, (6) t x где A и B матрицы соответствующих коэффициентов. Поскольку A и B - симметрические матрицы, причем матрица A — положительно определена, то систему (5) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей M :

v v + M = 0, (7) t x где v =-1u - вектор – функция, -1 - невырожденная матрица. Данная система распадается на m* независимых уравнений для отдельных компонент v( m) :

v( m) v( m) + m = 0.

(8) t x Компоненты v( m) носят название римановых инвариантов и сохраняют постоянные значения вдоль характеристик dx / dt = m. Система (8) сводится к следующим расчетным формулам:

1- m v + m vj, m > 0, j -1/2 -3/ h h v - m vj, m < 0, j -1/ v = 1+ m h j -1/ 2 +1/ h (9) vj -1/ 2, m = 0, которые верны, если шаг подчинен ограничению:

max | m | 1.

(10) h Условия, учитывающие многократные отражения, для амплитуд падающих и отраженных волн на нагрузке Un и генераторе Ug, выраженные через коэффициенты отражения, имеют вид:

E E(1+ R ) Un(t) = Ug(t) = E[1+ (1+ 1 ) m ( R )m ], (11) m g k =1 g E(1+ R )[1+ gR )m ] ( k = E E(1+ ) In(t) = Ig(t) = E[1+ (1+ 1 ) m R, ( )m ], (12) m g k =1 g R E(1+ R )[1+ g R )m ] ( k =Un In Ig где,, Ug, - амплитуды падающих и отраженных волн на нагрузке и (ZB - Zn) (Zn - ZB ) (Zg - ZB ) (ZB - Zg) n = n = g = = генераторе,,,, g (Zn + ZB ) (ZB + Zn) (Zg + ZB ) (ZB + Zg) коэффициенты отражения от нагрузки и генератора по напряжению и току соответственно.

Поскольку сопротивление нагрузки Zn может быть нелинейной функцией, то для ее аппроксимации предлагается использовать экспоненциальный сплайн с натяжением.

Вид сплайна с натяжением определяется решением совокупности xi, xi+1, (i = 1,..., N) [ ] краевых задач на интервалах :

[D4 - pi2D2] = 0, (xi ) = fi, (xi+1) = fi+1, (xi ) = i, (xi+1) = i+1, (13) i i+1 (x) C2[a,b] где и выбраны так, чтобы.

Решением является функция:

- x) i+1 (x - xi ) i (xi+(x) = fi - + fi+1 + pi2 hi +1 hi pi (14) +i sh pi (xi+1 - x) + i+1 sh pi (x - xi ), [] pi2 sh( pihi ) i (i=1,..,N+1) определяются решением системы уравнений с где трехдиагональной матрицей:

d11 + e12 = b1, ei-1i-1 + (di-1 + di ) i + ei+1i+1 = bi (i = 2,..., N), (15) eN N + dN N +1 = bN +1, где f); bi = ( - fi fi - fi-) ( ) ( - f1 fN +) ( - fN fi+ b1 =- f (a); bN +1 = f (b) - -, (i = 2,..., N);

h1 hN hi hi- pCi 11 1 1 pi i Ci = ch( pihi ), di = -, ei =, (i = 1,..., N).

sh( phi ) hi hi sh( phi ) pi2 i pii Расчет проводится следующим образом:

1. Строится интерполяционная кривая, соответствующая pi =0 для всех i, т. е. определяется кубический сплайн, играющий роль нулевого приближения.

'' bi > 2. Проверяется выполнение неравенств (i=1,…,N+1).

i 3. Если обнаруживаются ложные точки перегиба, с помощью итераций '' bi > обеспечивается выполнение неравенств (i=1,…,N+1).

i Построенные указанным способом экспоненциальные сплайны обеспечивают четвертый порядок аппроксимации интерполируемой функции.

В результате получена математическая модель линии связи с нелинейными, несогласованными нагрузками, поведение которых аппроксимируется экспоненциальным сплайном с натяжением.

Глава 3. Алгоритм анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками.

Глава содержит описание и блок-схему алгоритма, совмещающего метод Годунова и экспоненциальный сплайн для расчета перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными, несогласованными нагрузками. Выполнено сравнение с известными работами других авторов и экспериментом. Проведено сравнение результатов аппроксимации кубическим сплайном и сплайном с натяжением математических функций и вольт-амперных характеристик нелинейных элементов.

Задача 3. Дано: 1) численная схема для вычисления токов и напряжений в многопроводных линиях связи (9); 2) граничные условия для несогласованных нагрузок, учитывающие многократность отражений (11, 12); 3) функция (14), аппроксимирующая нелинейность в вольт-амперной характеристике нагружающего элемента.

Требуется: разработать алгоритм анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками, аппроксимируемыми экспоненциальным сплайном с натяжением. Провести сравнение с работами других авторов и экспериментальными измерениями.

Для сравнения с расчетами других авторов рассмотрим двухпроводную линию со следующими значениями параметров (рис. 1): длина l=0,3048 м;

L11=L22=494,6 нГн/м, L12=L21=63,3 нГн/м; С11=С22=62,8 пФ/м, С12=С21=–4,9 пФ/м; параметры элементов цепей: R1=50 Ом, R2=R3=R4=Ом:

в) а) б) Рис. 1: а) помеха в активной линии, б) наводка в пассивном проводнике, в) результаты из работы Djordjevic, A.R. Аnalysis of time response of lossy multiconductor transmission line network [text]/A.R.

Djordjevic, T.K. Sarkar// IEEE Transaction microwave theory and techniques. - 1987. - Vol. 35. - No. 10. - PP. 898908.

Результаты полностью совпадают с графической точностью в рассматриваемом временном интервале. Четко прослеживается связанность линий наличием не нулевого уровня напряжения на пассивной линии.

Длительность импульса в активной линии и помех в пассивной линии также совпадает с приемлемой точностью.

Для одинарной линии проведено экспериментальное исследование определения формы отраженного сигнала в кабеле К1 - РК-50-2-21 при двух вариантах нагрузки. Функциональная схема прибора приведена на (рис. 2).

Прибор Р4-И-01 содержит следующие основные функциональные узлы:

двухканальный аналого-цифровой преобразователь (АЦП), генератор сигналов произвольной формы (ГСПФ), линия задержки (ЛЗ), согласующее устройство (СУ) и USB-концентратор:

Входное сопротивление на частоте 25 МГц, 50 ± 5Ом. Полоса пропускания по уровню – 3 дБ, 25 Мгц.

Частота дискретизации АЦП 250 МГц.

Рис. 2. Функциональная схема прибора Длительность видеоимпульса 2 нс. Схема эксперимента: ЛЗ - РК-50-2-21 - длина 22 м, Z=50 Ом, С = 95 пФ/м, L=237.5 нГн/м. Из сопоставления рисунков (3 а) - г)) видно совпадение временных профилей полученных результатов моделирования с данными экспериментального измерения. Отличие в значении амплитуд объясняется наличием потерь у кабеля. Таким образом, разработанная программа позволяет корректно вычислить временной отклик фрагментов межсоединений с учетом взаимовлияний проводников в рамках квазистатического подхода.

а) б) в) г) Рис. 3. Эксперимент: а) сопротивление нагрузки 25 Ом, б) обрыв линии. Моделирование: в) сопротивление нагрузки 25 Ом, г) обрыв линии Проведем оценку погрешности для отраженного сигнала в точке с наибольшей амплитудой:

Погрешность моделирования одинарной линии Таблица Амплитуда отраженного Относительная сигнала, В погрешность, % Эксперимент рис.4 а -0.8749 5.Расчет рис.4 в -0.Эксперимент рис.4 б 2.5943 4.Расчет рис.4 г 2.Из таблицы 1 видно совпадение с приемлемой точностью численных данных, полученных в результате моделирования и эксперимента.

Нелинейные элементы, нагружающие линии связи, могут иметь вольтамперные характеристики, которые не описываются каноническими кривыми. Для определения этих кривых используем сплайн с натяжением.

Для демонстрации его возможностей проведем сравнение результатов аппроксимации кубическим сплайном и сплайном с натяжением на ряде примеров:

1. Кривая x2 + y2 = (5 + 3sin(4))2 (рис. 4):

y y ---4 --6 -x x а) б) -5 0 5 -5 0 Рис. 4 Кривая x2 + y2 = (5 + 3sin(4))2 а) кубический сплайн, б) экспоненциальный 2. Вольт-амперная характеристика выпрямительного диода (рис. 5):

I, A I, A 1.0.0.0 0.U, B U, B -0.5 0 0.5 -0.-0.-Рис. 5 Вольт-амперная характеристика выпрямительного диода Погрешности сплайнов Таблица При анализе рисунков видно, что при N = аппроксимации кривых кубическим сплайном 0.Абс. () видны ложные осцилляции, которые могут 0.1% Отн. () быть причиной неверного решения задач 0.Абс.((куб.с.)) распространения сигналов в линиях связи при 6,6% Отн. ((куб.с.)) нелинейных нагрузках. В таблице представлены относительная и абсолютная погрешности сплайнов.

Объединяя модуль анализа многопроводных линий связи с линейными нагрузками и модуль сплайн-аппроксимации, получим программный комплекс, позволяющий анализировать многопроводные линии связи с линейными и нелинейными нагрузками. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 6.

В результате разработан алгоритм анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейной, несогласованной нагрузкой. Проведена проверка адекватности модулей программного комплекса на тестовых примерах в сравнении с работами других авторов (рис. 1, 4, 5; таблица 2) и экспериментом (рис.

3; таблица 1). Таким образом, разработанный программный комплекс может быть использован для анализа перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками.

Глава 4. Моделирование перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи, нагруженных на нелинейные элементы. Глава посвящена моделированию перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи для различных нелинейных вольт-амперных характеристик. Выполнен анализ Рис. 6 Блок-схема алгоритма анализа воздействия способа аппроксимации перекрестных наводок и помех отражения в многопроводных линиях связи с нелинейными нагрузками и надежности функционирования многопроводных линий связи с различными нелинейными нагрузками. Проведено моделирование линии связи, нагруженной со стороны генератора на полупроводниковые ограничители с различными вольт-амперными характеристиками при воздействии различных сигналов.

Задача 4. Дано: 1) объект в виде двухпроводной связанной линии с нелинейной нагрузкой, заданной в табличном виде (параметры линии описаны в главе 3; 2) алгоритм, реализованный в виде комплекса программ на языке Fortran.

Требуется: оценить влияние способа аппроксимации нелинейности на перекрестные наводки и помехи отражения. Провести моделирование линии связи, нагруженной со стороны генератора на полупроводниковые ограничители с различными вольт-амперными характеристиками.

На (рис. 7) приведены два варианта вольт-амперных характеристик нелинейных элементов, расположенных в начале активной линии сразу после источника:

а) б) Рис. 7. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов нагружающих цепей: а) диод б) произвольная характеристика с разрывом производной На (рис. 8, 9) представлены результаты моделирования отражения трапециевидного сигнала от несогласованной нагрузки в двухпроводной линии связи:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»