WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Во втором параграфе, пользуясь полученными результатами, мы доказываем центральную предельную теорему для нормированной случайной величины µ(2) в r двухэтапной схеме размещения.

Интерпретируем двухэтапную схему размещения следующим образом. Пусть ячейки первого уровня размещаются по ячейкам второго уровня в соответствии с равномерным распределением; обозначим через Aji событие [j-я ячейка 1-го слоя попала в i-ю ячейку 2-го слоя]. После этого частицы распределяются по ячейкам второго уровня в соответствии со случайным вектором вероятностей таким, что Ni = p(1)X(Aji), здесь X(A) - индикатор события A, p(1) - вероятности ячеек j=1 j j первого слоя.

Считая r 2 фиксированным, обозначим 2 = Dµ(2). Введем расстояние r (µ(2)) = sup |P(-1(µ(2) - Eµ(2)) < x) - (x)|, r r r x где (x)-функция стандартного нормального распределения.

Обозначим через p(1) = max(p(1),..., p(1)).

1 NДоказана следующая теорема.

Теорема 6. Пусть l - фиксированное натуральное число, C0,, 1, 2 некоторые постоянные и в схеме серий N0, N1, N2, p(1) 0 так, что l+N C0 > 0, N0p(1) <, l NN0 < 1 < < 2 <, Eµ(2).

r NТогда 1 1 (µ(2)) = O, a = min,.

r a N0 12 l Из теоремы 6 следует Теорема 7. Пусть l - фиксированное натуральное число, C0,, 1, 2 некоторые постоянные и в схеме серий N0, N1, N2, p(1) 0 так, что l+N C0 > 0, N0p(1) <, l NN0 < 1 < < 2 <, Eµ(2).

r NТогда для любого фиксированного r 2 распределение случайной величины µ(2)-Eµ(2) r r сходится к стандартному нормальному распределению.

Dµ(2) r Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В ней изучается схема размещения частиц, в которой число этапов бесконечно. Мы находим неоходимые и достаточные условия, при которых предельное распределение числа объединенных частиц сосредоточено в 1, а также распределение времени ожидания до момента объединения всех частиц в частном случае, когда количество ячеек в каждом слое одинаково и равно числу изначально размещаемых частиц.

Рассматривается процесс размещения частиц по слоям ячеек следующего вида.

На первом этапе N0 исходных частиц независимо и равновероятно размещаются по N1 ячейкам первого слоя. Частицы, попадающие в одну и ту же ячейку первого слоя, объединяются в одну новую частицу; при этом в первом слое получается случайное число 1 объединенных частиц (равное числу ячеек первого слоя, занятых исходными частицами). В общем случае на (k + 1)-м этапе k объединенных частиц, находящихся в Nk ячейках k-го слоя, независимо (друг от друга и от предыстории) и равновероятно размещаются по Nk+1 ячейкам (k + 1)-го слоя;

частицы, попадающие в одну и ту же ячейку (k + 1)-го слоя, объединяются, в результате чего получается k+1 объединенных частиц в (k + 1)-м слое. При сделанных предположениях последовательность 0, 1,... образует цепь Маркова с невозрастающими траекториями.

В первом параграфе главы 3 доказана следующая теорема:

Теорема 8. Если N = min Nk 2, то k P lim k > 1 > 0 <.

k Nk k=Во втором параграфе мы изучаем бесконечную схему, в которой размеры слоев одинаковы и совпадают с числом изначально размещаемых частиц, то есть N0 = N1 = N2 =... = n. Обозначим через n первый момент, когда все частицы объединяются в одну. Показано, что предельное распределение n при линейной нормировке является распределением суммы независимых экспоненциально распределенных случайных величин.

n Теорема 9. При n распределения случайных величин n = сходятся к n распределению суммы = j, где случайные величины 1, 2,... независимы и j=P(j x) = 1 - e-xj(j+1)/2, x 0, j = 1, 2,...

Для доказательства требуются две дополнительных леммы. Положим T (0) = 0, T (j) = min(t : t j), j = T (j) - T (j + 1), j = n - 1,..., 1.

Здесь j - время перехода от j + 1 объединенных частиц к j объединенным частицам, причем {j > 0} = {min(t : t j) > min(t : t j + 1)} = {T (j+1) = j + 1}.

Следующая оценка является новой по сравнению с доказательствами в работах по математическим моделям эволюционной генетики (упомянутая выше статья ), 12-а также с доказательствами статей.

Лемма 2. Если k < n, то kP{k = 0}.

3(n - k) Доказательство этой леммы использует новый результат для классической схемы размещения частиц. Обозначим через µ1(m, n) число непустых ячеек при равновероятном размещении m частиц по n ячейкам в классической схеме размещения.

Лемма 3. Если k < m < n, то P{µ1(m, n) k} P{µ1(m, n) = k} k.

P{µ1(m, n) k + 1} P{µ1(m, n) = k + 1} 3(n - k) Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук А.М. Зубкову за постоянное внимание к работе и ценные советы, а также профессору, доктору физико-математических наук В.А.

Ватутину и доктору физико-математических наук В.Г. Михайлову за многочисленные обсуждения и важные замечания.

Работы автора по теме диссертации [1] Зубков А. М., Шибанов О. К. Многоступенчатые схемы размещения частиц по ячейкам. Обозр. прикл. и промышл. матем., 2002, т. 9, вып. 1, с. 115–116.

[2] Зубков А.М.,Шибанов О. К. Двухступенчатая схема размещения частиц по ячейкам. Обозр. прикл. и промышл. матем., 2002, т. 9, вып. 2, с. 378-379.

[3] Зубков А.М., Шибанов О.К. Пуассоновская предельная теорема для двухэтапной равновероятной схемы размещения частиц по ячейкам. Дискретная математика, 2006, т. 18, вып. 4, с. 99-104.

[4] Зубков А.М., Шибанов О.К. Пуассоновская предельная теорема для двухэтапной полиномиальной схемы размещения частиц по ячейкам. Обозр. прикл. и промышл. матем., 2007, т. 14, вып. 3, с. 422-434.

[5] Зубков А.М., Шибанов О.К. Время до объединения всех частиц при равновероятных размещениях по последовательности слоев ячеек. Математические заметки, 2009, т. 85, вып. 3, с. 373-381.

[6] Шибанов О.К. Предельные теоремы для двухступенчатой схемы размещения частиц по ячейкам. Обозр. прикл. и промышл. матем., 2003, т. 10, вып. 1, с.

253.

Во всех совместных работах А.М. Зубкову принадлежат постановка задач и выбор метода, а диссертанту - поиск и разработка доказательств.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»