WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Во второй главе рассматривается управляемая система zxy = c1(x, y, z)zx + c2(x, y, z)zy + c3(x, y, z)u + c4(x, y, z), (5) y x z(x, 0) = 1(x) + u1(s) ds, z(0, y) = 2(y) + u2(t) dt (6) 0 с ограничениями на управления трех типов: невыпуклые ограничения u(x, y) U(x, y, z(x, y)), (7) u1(x) U1(x, V1(z)(x)), u2(y) U2(y, V2(z)(y)), овыпукленные ограничения u(x, y) co U(x, y, z(x, y)), (8) u1(x) co U1(x, V1(z)(x)), u2(y) co U2(y, V2(z)(y)), экстремальные ограничения u(x, y) ext co U(x, y, z(x, y)), (9) u1(x) ext co U1(x, V1(z)(x)), u2(y) ext co U2(y, V2(z)(y)).

Множества решений системы (5)–(6) с ограничениями на управления (7), (8) и (9) обозначим соответственно через R, Rco и Rext.

Всюду во второй главе предполагается, что многозначные отображения U, U1, U2 удовлетворяют условиям Каратеодори. Приведем основные результаты второй главы.

Теорема 2. Множество Rco компактно в пространстве C(; X) w-Lp(; Y ) w-Lp(I1; X) w-Lp(I2; X), (10) где w-Lp пространство Lp со слабой топологией.

Определение 2. Будем говорить, что управляемая система (5)– (7) обладает свойством единственности, если для любого решения (z, u, u1, u2) Rco существуют такие непрерывные отображения u: C(; X) Lp(; Y ), ui : C(Ii; X) Lp(Ii; X), i = 1, 2, (11) что (1) u(z)(x, y) co U(x, y, z(x, y)) п.в. на, ui(z)(xi) co Ui(xi, Vi(z)(xi)) п.в. на Ii, i = 1, 2;

(2) u(z) = u, ui(z) = ui, i = 1, 2;

(3) (z, u(z), u1(z), u2(z)) Rco z = z.

Для систем с постоянными ограничениями на управления свойство единственности означает, что каждой тройке допустимых управлений (u, u1, u2) соответствует единственное решение z системы (5)–(6). От метим также, что при сделанных предположениях непрерывные отображения вида (11), удовлетворяющие условиям (1) и (2) определения 2, всегда существуют.

Теорема 3. Если система (5)–(7) обладает свойством единственности, то R = Rext = Rco, где черта означает замыкание в пространстве (10).

В теории дифференциальных включений аналогичные теоремы обычно называют теоремами плотности. Для систем с постоянными ограничениями теорему 3 можно усилить и доказать так называемый бэнг-бэнг принцип.

Определение 3. Функция : X называется кусочно-постоянной (или ступенчатой), если существуют конечные разбиения 0 = a0 < a1 <... < ak = a, 0 = b0 < b1 <... < bk = b отрезков I1 = [0, a] и I2 = [0, b] такие, что на каждом из множеств Eij = (ai-1, ai) (bi-1, bi), i = 1,..., k, j = 1,..., l функция постоянна. В точках множества k l \ Eij функция может принимать произвольные значения.

i=1 j=Теорема 4 (бэнг-бэнг принцип). Пусть каждой тройке управлений (u, u1, u2), u Lp(; Y ), u1 Lp(I1; X), u2 Lp(I2; X), такой, что u(x, y) co U, u1(x) co U1, u2(y) co U2, соответствует единственное решение z системы (5)–(6). Тогда для любой точки (z, u, u1, u2) Rco существует последовательность (zk, uk, u1, u2) Rext, сходящаяся к (z, u, u1, u2) в пространстве (10), k k и такая, что управления uk, u1, u2 кусочно-постоянны.

k k Во второй главе также показано, что системы вида zxy = c2(x)zy + c3(x, y, z)u + c4(x, y, z), (I) u(x, y) U(x, y, z(x, y)), u1(x) U1(x, V1(z)(x)), u2(y) U2(y);

zxy = c1(y)zx + c3(x, y, z)u + c4(x, y, z), (II) u(x, y) U(x, y, z(x, y)), u1(x) U1(x), u2(y) U2(y, V2(z)(y));

zxy = c1(y)zx + c2(x)zy + c3(x, y, z)u + c4(x, y, z), (III) u(x, y) U(x, y, z(x, y)), u1(x) U1(x), u2(y) U2(y) с граничными условиями (6) обладают свойством единственности, если все функции и многозначные отображения, входящие в эти системы и зависящие от z, являются липшицевыми по z и, кроме того, существуют такие q1, q2 > 0, что для любых z1, z2 C(; X) |V1(z1)(x) - V1(z2)(x)| q1 sup |z1(x, y) - z2(x, y)|, x I1, yI|V2(z1)(y) - V2(z2)(y)| q2 sup |z1(x, y) - z2(x, y)|, y I2.

xIДля системы (I) справедливы следующие теоремы.

Теорема 5 (о граничности). Если для каждого (z, u, u1, u2) R имеет место хотя бы одно из неравенств (i) µ2{(x, y) | U(x, y, z(x, y)) = co U(x, y, z(x, y))} > 0, (ii) µ1{x I1 | U1(x, V1(z)(x)) = co U1(x, V1(z)(x))} > 0, (iii) µ1{y I2 | U2(y) = co U2(y)} > 0, то Rco \ R = Rco \ Rext = Rco.

Здесь µ1 обозначает меру Лебега в R, µ2 меру Лебега в R2.

Теорема 6. Множество R является замкнутым в пространстве (10) тогда и только тогда, когда для каждого (z, u, u1, u2) R имеют место равенства (i) µ2{(x, y) | U(x, y, z(x, y)) = co U(x, y, z(x, y))} = 0, (ii) µ1{x I1 | U1(x, V1(z)(x)) = co U1(x, V1(z)(x))} = 0, (iii) µ1{y I2 | U2(y) = co U2(y)} = 0.

Теорема 6 дает необходимое и достаточное условие замкнутости множества R решений системы (I). Это условие обладает одним недостатком: равенства (i)–(iii) нужно проверять вдоль каждой “траектории” z системы. В следующей теореме мы избавляемся от этого недостатка. Для этого мы переходим от одной системы вида (I) к семейству систем вида (I), которое строится следующим образом.

0 Пусть 0 a0 < a, 0 b0 < b, 0 = (a0, b0), I1 = [a0, a], I2 = [b0, b], 0 0 = I1 I2; 0 : Ii0 X, i = 1, 2, абсолютно непрерывные функции, i V10 : C(0; X) C(I1; X) непрерывный оператор. Обозначим через R(0, 0, 0, V10) множество решений системы (I) с граничными услови1 ями y x z(x, a0) = 0(x) + u1(s) ds, z(b0, y) = 0(y) + u2(t) dt 1 abи с ограничениями на управления, в которых отображение V1 заменено на V10.

Теорема 7. Множество R(0, 0, 0, V10) замкнуто в пространстве 1 0 C(0; X) w-Lp(0; Y ) w-Lp(I1; X) w-Lp(I2; X) для любых 0, 0, 0, V10 тогда и только тогда, когда для каждого 1 z X имеют место равенства (i) µ2{(x, y) | U(x, y, z) = co U(x, y, z)} = 0, (ii) µ1{x I1 | U1(x, z) = co U1(x, z)} = 0, (iii) µ1{y I2 | U2(y) = co U2(y)} = 0.

Аналогичные теоремы справедливы и для систем (II), (III).

В первом параграфе третьей главы рассматривается задача минимизации функционала (4) на множестве R решений системы (1)–(3):

J(z, u, u1, u2) min, (z, u, u1, u2) R. (P1) Теорема 8. Пусть U, U1, U2 удовлетворяют верхним условиям Каратеодори; g : (X Y ) R, gi : Ii(X X) R (i = 1, 2) являются функциями Каратеодори, удовлетворяющими линейному условию роста; g1(x, z, ·) выпукла для всех (x, z); g2(y, z, ·) выпукла для всех (y, z);

множество {(v, ) | f(x, y, z, u) = v, g(x, y, z, u) для некоторого u U(x, y, z)} выпукло для каждого (x, y, z). Тогда задача (P1) имеет решение.

Во втором параграфе рассмотрена задача минимизации функционала (4) на множестве R решений системы (5)–(7):

J(z, u, u1, u2) inf, (z, u, u1, u2) R. (P2) При этом мы считаем, что U, U1, U2 удовлетворяют условиям Каратеодори; g : (X Y ) R, gi : Ii (X X) R (i = 1, 2) являются функциями Каратеодори, удовлетворяющими линейному условию роста.

Отметим, что сделанных предположений недостаточно для того, чтобы гарантировать существование решения в задаче (P2). Поэтому было построено такое расширение этой задачи, которое имеет решение.

Положим g(x, y, z, u), u U(x, y, z), gU(x, y, z, u) = +, в противном случае, g1(x, z, u), u U1(x, z), gU (x, z, u) = +, в противном случае, g2(y, z, u), u U2(y, z), gU (y, z, u) = +, в противном случае.

Пусть g биполяра функции u gU(x, y, z, u). Аналогично определим функции g1 и g2. Далее рассмотрим задачу минимизации функционала J(z, u, u1, u2) = g(x, y, z(x, y), u(x, y)) dx dy + + g1 (x, V1(z)(x), u1(x)) dx + g2 (y, V2(z)(y), u2(y)) dy I1 Iна множестве решений Rco овыпукленной системы (5),(6),(8). В краткой форме эта задача записывается следующим образом:

J(z, u, u1, u2) inf, (z, u, u1, u2) Rco. (P3) Определим многозначные отображения G: X (Y R) и Gi : Ii X (X R), i = 1, 2, по формулам G(x, y, z) = {(u, ) Y R | u U(x, y, z), = g(x, y, z, u)}, Gi(xi, z) = {(v, ) X R | v Ui(xi, z), = gi(xi, z, v)}, i = 1, 2.

Определение 4. Будем говорить, что задача (P2) обладает свойством единственности, если для любого решения (z, u, u1, u2) Rco существуют такие непрерывные отображения u: C(; X) Lp(; Y ), ui : C(Ii; X) Lp(Ii; X), (12) : C(; X) Lp(; R), i : C(Ii; X) Lp(Ii; R), i = 1, 2, что (1) (u(z), (z))(x, y) co G(x, y, z(x, y)) п.в. на, (ui(z), i(z))(xi) co Gi(xi, Vi(z)(xi)) п.в. на Ii, i = 1, 2;

(2) (u(z), (z))(x, y) = (u(x, y), g(x, y, z(x, y), u(x, y))) п.в. на, (ui(z), i(z))(xi) = (ui (xi), gi (xi, Vi(z)(xi), ui (xi))) п.в. на Ii, i = 1, 2;

(3) (z, u(z), u1(z), u2(z)) Rco z = z.

Необходимо отметить следующее:

• при сделанных предположениях непрерывные отображения вида (12), удовлетворяющие условиям (1) и (2) определения 3, всегда существуют;

• для задач оптимального управления системами с постоянными ограничениями свойство единственности выполняется, если любой тройке допустимых управлений (u, u1, u2) соответствует единственное решение z системы (5)–(6);

• если подынтегральные функции g, g1, g2 липшицевы по z и u, а системы (I), (II), (III) удовлетворяют тем же условиям, что и в главе 2, то для задач оптимального управления системами (I), (II), (III) выполняется свойство единственности.

Для задачи (P2) доказана теорема о расширении, которая является аналогом классической теоремы Боголюбова в вариационном исчислении при ограничениях, заданных решениями управляемой системы ГурсаДарбу.

Теорема 9. Пусть задача (P2) обладает свойством единственности. Тогда задача (P3) является расширением задачи (P2).

Следствием теоремы о расширении является теорема о релаксации.

Теорема 10. Пусть задача (P2) обладает свойством единственности. Тогда min(P3) = inf(P2).

Более того, для любого решения (z, u, u1, u2) задачи (P3) найдется ми нимизирующая последовательность {(zk, uk, u1, u2)} задачи (P2) такая, k k что (i) (zk, uk, u1, u2) (z, u, u1, u2) в пространстве (10), k k (ii) J(zk, uk, u1, u2) J(z, u, u1, u2).

k k Обратно, если {(zk, uk, u1, u2)} минимизирующая последоваk k тельность задачи (P2), то существует подпоследовательность {(zk, uk, u1, u2 )}, сходящаяся к некоторому решению (z, u, u1, u2) j j kj kj задачи (P3).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Доказаны теоремы о существовании решений управляемой системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным невыпуклым ограничениям.

2. Исследована топологическая структура множества решений системы Гурса-Дарбу, удовлетворяющей свойству единственности. Доказано, что множество решений системы с овыпукленными ограничениями компактно и содержит в качестве своих плотных подмножеств множества решений системы с невыпуклыми ограничениями.

Выделены классы систем, для которых множество решений невыпуклой задачи является не только плотным, но и граничным подмножеством овыпукленной задачи. Для этих классов найдены необходимые и достаточные условия замкнутости множеств решений.

Для систем с постоянными ограничениями на управления доказан бэнг-бэнг принцип.

3. Доказан аналог теоремы Боголюбова для задачи минимизации интегрального функционала с невыпуклыми по управлению интегрантами на решениях системы Гурса-Дарбу с невыпуклыми ограничениями на управления.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ По материалам диссертации опубликованы следующие работы.

1. Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №8. С. 1116–1126.

2. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, №5. С. 1116–1133.

3. Погодаев Н.И. О решениях включения типа Гурса-Дарбу со смешанными ограничениями на граничные и распределенные управления / Н.И. Погодаев // Сибирский журнал индустриальной математики.

2008. Т. 11, №1. С. 96–110.

4. Погодаев Н.И. О решениях задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями / Н.И. Погодаев // Известия института математики и информатики, выпуск 3 (37), с. 125-126, Ижевск, 2006.

5. Погодаев Н.И. Об одном классе управляемых систем типа ГурсаДарбу // Материалы конференции Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий (14-15 декабря 2006 г., Иркутск), с. 43.

6. Погодаев Н.И. Свойства экстремальных решений управляемой системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов Международной конференции Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения (28 мая – 2 июня 2007 г., Новосибирск), с. 250-251.

7. Погодаев Н.И. Релаксация в задаче оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Материалы конференции Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий (ноябрь 2007 г., Иркутск), с. 34.

8. Погодаев Н.И. Релаксация в управляемой системе типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов Международной конференции Дифференциальные уравнения и топология (17-22 июня 2008 г., Москва), с.

387-388.

9. Погодаев Н.И. Расширение задачи оптимального управления для системы типа Гурса-Дарбу // Тезисы докладов школы-семинара Нелинейный анализ и экстремальные задачи (23-30 июня 2008 г., Иркутск), с. 51.

10. Погодаев Н.И. Существование решений в задаче оптимального управления для системы Гурса-Дарбу // Материалы конференции Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий (декабрь 2008 г., Иркутск), с. 32.

Редакционно-издательский отдел Учреждения Российской академии наук Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. Подписано к печати 7.05.Формат бумаги 6084 1/16, объем 1,2 п.л.

Заказ 1. Тираж 100 экз.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»