WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

ПОГОДАЕВ НИКОЛАЙ ИЛЬИЧ О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ ГУРСА-ДАРБУ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ И ГРАНИЧНЫМ УПРАВЛЕНИЯМИ 01.01.02 – Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск – 2009

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН (ИДСТУ СО РАН).

Научный консультант: член-корреспондент РАН Толстоногов Александр Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Тонков Евгений Леонидович кандидат физико-математических наук, доцент Терлецкий Виктор Анатольевич

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится 25 июня 2009 г. в 14.00 ч. на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 при Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу:

664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 22 мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. А.А. Щеглова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В связи с развитием современной науки и техники все чаще возникают задачи управления и оптимизации в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных. В теории управления такие системы называют системами с распределенными параметрами, а управления, зависящие от нескольких независимых переменных распределенными управлениями. Помимо распределенных управлений представляется важным как с теоретической, так и с практической точки зрения рассматривать сосредоточенные управления, входящие в граничные условия дифференциальных уравнений (так называемые граничные управления).

Анализ работ, посвященных качественным свойствам систем с распределенными параметрами, показал, что к настоящему моменту хорошо изучены лишь системы с выпуклыми ограничениями на управления.

При исследовании вопросов существования решений задач оптимального управления в литературе также рассматривались большей частью выпуклые задачи, т.е. задачи, в которых подынтегральные функции выпуклы по управлениям, а сами управления подчинены выпуклым ограничениям.

Поэтому в настоящее время в качественной теории управляемых систем с распределенными параметрами является актуальным 1) исследовать задачи как с распределенным, так и с граничными управлениями;

2) исследовать системы с невыпуклыми ограничениями на управления и невыпуклые задачи оптимального управления.

Общепризнанно, что изучение управляемых систем с распределенными параметрами является значительно более сложной задачей по сравнению с аналогичной проблемой для обыкновенных дифференциальных уравнений. Причинами этого являются, в частности, разнообразие классов уравнений с частными производными и типов начально-краевых условий, а также необходимость перехода к обобщенным решениям. В связи с этим б ольшая часть работ направлена на исследование конкретных управляемых систем.

Пусть I1 = [0, a], I2 = [0, b] (a, b > 0); = I1 I2; X = Rn; Y = Rm.

В диссертации изучается управляемая система Дарбу zxy = c1(x, y, z)zx + c2(x, y, z)zy + f(x, y, z, u) (1) с граничными условиями на характеристиках (условиями Гурса) y x z(x, 0) = 1(x) + u1(t) dt, z(0, y) = 2(y) + u2(s) ds, (2) 0 где (x, y), z X; u Y распределенное, u1, u2 X граничные управления. Предполагается, что управления подчинены невыпуклым смешанным ограничениям, т.е. ограничениям, зависящим от фазовой переменной z:

u(x, y) U(x, y, z(x, y)), (3) u1(x) U1(x, V1(z)(x)), u2(y) U2(y, V2(z)(y)).

Здесь V1, V2, непрерывные операторы, действующие из пространства непрерывных функций двух переменных в пространство непрерывных функций одной переменной, а U, U1, U2 многозначные отображения с невыпуклыми замкнутыми значениями.

Выбор в качестве объекта исследования именно этой задачи был продиктован двумя причинами. Во-первых, практической значимостью уравнения Гурса-Дарбу, которое описывает, например, процессы хроматографии, сорбции и десорбции газов, процессы сушки и др.1,2 Вовторых, новизной, связанной с одновременным рассмотрением распределенного и граничных управлений, подчиненных смешанным ограничениям.

Целью работы является изучение вопросов существования решений управляемой системы (1)–(3), анализ топологической структуры множества решений (компактность, плотность, граничность и др.), использование полученных результатов для исследования задачи минимизации интегрального функционала J(z, u, u1, u2) = g(x, y, z(x, y), u(x, y)) dx dy + + g1(x, V1(z)(x), u1(x)) dx + g2(y, V2(z)(y), u2(y)) dy. (4) I1 IТихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 2004.

Рачинский В.В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии / В.В. Рачинский. М.: Наука, 1964.

на множестве решений системы (1)–(3). При этом предполагается, что подынтегральные функции невыпуклы по управлениям. Поскольку такая задача в рамках сделанных предположений, как правило, не имеет решения, возникает вопрос о построении такого расширения задачи оптимального управления, которое имеет решение.

Существует несколько подходов к понятию расширения задачи оптимального управления. В данной работе использовалось определение расширения, введенное А.Д. Иоффе и В.М. Тихомировым3.

Пусть V, W метрические пространства; I функционал, определенный на V ; J функционал, определенный на W. Задачу inf J (w) wW называют расширением задачи inf I(v), если существует непрерывное vV отображение i: V W, при котором (1) i(V ) плотно в W ;

(2) J (i(v)) I(v) для всех v V ;

(3) для любого w W существует последовательность vk V такая, что lim i(vk) = w и lim I(vk) = J (w).

k k Вопросами существования решений, топологическими свойствами множеств решений, а также вопросами существования решений в задах оптимального управления системами Гурса-Дарбу занимались многие российские и зарубежные авторы, в том числе В.И. Плотников, В.И. Сумин, А.Н. Витюк, А.А. Толстоногов, С. Марано, А. Брессан, Дж. Теодору, Ф. Флорес, М.Б. Сурьянараяна, Д. Иджак, С. Валжак, М. Мажевский и др. В подавляющем большинстве работ рассматривалась система с распределенным управлением (при отсутствии граничных управлений) и с постоянным ограничением на управление, т.е. ограничением вида u U.

Методы исследования. Исследования проводились с использованием методов теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории дифференциальных включений, многозначного анализа, теории непрерывных селекторов многозначных отображений с невыпуклыми разложимыми значениями и теории неподвижных точек однозначных и многозначных отображений.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, имеют теоретический характер и получены автором Иоффе, А.Д. Расширение вариационных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров // Труды Московского математического общества. 1968. Т. 18. С. 187–246.

самостоятельно.

Новой является сама постановка задачи, поскольку управляемые системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничными управлениями, подчиненными смешанным ограничениям, исследуются в данной работе впервые.

Для рассматриваемой управляемой системы при определенных предположениях доказаны теоремы существования решений, теорема плотности и бэнг-бэнг принцип. Доказана теорема существования решения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с невыпуклым по распределенному управлению функционалом. Подобные результаты были получены ранее только для некоторых частных случаев задачи (1)–(3).

Теорема о граничности, необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений системы с невыпуклыми ограничениями на управления, а также аналог теоремы Боголюбова (о расширении) для невыпуклой задачи оптимального управления системой Гурса-Дарбу ранее не рассматривались и получены впервые.

В целом в диссертационной работе была сделана попытка перенести основные результаты о структуре множеств решений управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, на систему Гурса-Дарбу. Отметим одну трудность, возникающую на этом пути. Важным условием, необходимым для доказательства таких топологических свойств множества решений, как плотность и граничность, является введенное нами условие единственности для систем со смешанными ограничениями. Для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, условие единственности имеет место, например, если правая часть системы липшицева по состоянию и управлению, а ограничение на управление липшицево по состоянию. В случае системы Гурса-Дарбу, как оказалось, липшицевости недостаточно, и удобного критерия единственности для задачи в общем виде, судя по всему, не существует. С этим связан тот факт, что наиболее тонкие результаты, такие, как теорема о граничности, получены лишь для тех частных случаев рассматриваемой системы, для которых подходящие критерии единственности были найдены.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации являются важным вкладом в качественную теорию управляемых систем с распределенными параметрами. Развитие подхода, использованного в диссертации для распространения ряда известных результатов о структуре множеств решений управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, на системы Гурса-Дарбу, позволит в дальнейшем доказать аналогичные результаты для других классов управляемых систем с распределенными параметрами.

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании оптимизационных задач, возникающих при моделировании широкого класса реальных физических, химических и технологических процессов:

хроматографии, сушки, сорбции и десорбции газов и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Конференция “Теория управления и математическое моделирование”, посвященная 75-летию Удмуртского государственного университета (3-8 июля 2006 г., Ижевск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН “Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий” (14-15 декабря 2006 г., Иркутск).

• Международная конференция “Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения”, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (28 мая - 2 июня 2007 г., Новосибирск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН “Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий” (ноябрь 2007 г., Иркутск).

• Международная конференция “Дифференциальные уравнения и топология”, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (17-22 июня 2008 г., Москва).

• Школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи (2330 июля, 2008 г., Иркутск).

• Конференция ИДСТУ СО РАН “Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий” (декабрь 2008 г., Иркутск).

Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления СО РАН и использовались при выполнении проекта РФФИ (№ 06-01-00247).

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата. В число указанных работ входят статьи [1–3] из “Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2008 г.”. Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего наименований. Общий объем диссертации составляет 135 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем следующие обозначения: C(; X) пространство непрерывных функций z : X; Lp(; X) (1 < p < ) пространство функций u: X, интегрируемых по Лебегу со степенью p; L(X; X) пространство непрерывных линейных операторов (матриц) A: X X;

co E выпуклая оболочка компактного множества E X; ext co E совокупность всех крайних (экстремальных) точек множества co E.

Предположения. Всюду в работе предполагаем, что ci : X L(X; X), i = 1, 2, ограниченные функции Каратеодори; f : ( X) Y X функция Каратеодори, удовлетворяющая линейному условию роста по z и u; U : X Y, Ui : Ii X X, i = 1, 2, ограниченные многозначные отображения с компактными значениями; i : Ii X, i = 1, 2, абсолютно непрерывные функции; Vi : C(; X) C(Ii; X), i = 1, 2, непрерывные операторы. В ряде случаев будем предполагать, что u входит в f линейно, т.е.

f(x, y, z, u) = c3(x, y, z)u + c4(x, y, z), где c3 : X L(Y ; X), c4 : X X функции Каратеодори, удовлетворяющие линейному условию роста.

Скажем, что многозначное отображение U удовлетворяет верхним условиям Каратеодори4, если (1) значения U выпуклые компактные множества, (2) U совместно измеримо, (3) U(x, y, ·) полунепрерывно сверху для п.в. (x, y) ;

Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. М.: КомКнига, 2005.

нижним условиям Каратеодори, если (1) значения U компактные множества, (2) U совместно измеримо, (3) U(x, y, ·) полунепрерывно снизу для п.в. (x, y) ;

и условиям Каратеодори, если (1) значения U компактные множества, (2) U(·, z) измеримо для всех z X, (3) U(x, y, ·) непрерывно по Хаусдорфу для п.в. (x, y).

Определение 1. Обобщенным решением системы (1)–(3) назовем такую четверку (z, u, u1, u2), z C(; X), u Lp(; Y ), u1 Lp(I1; X), u2 Lp(I2; X), что для всех (x, y) имеет место равенство y x z(x, y) = 1(x) + 2(y) - 1(0) + u1(s) ds + u2(t) dt + 0 y x + v(s, t) ds dt, 0 где v(x, y) = c1(x, y, z(x, y))zx(x, y) + c2(x, y, z(x, y))zy(x, y) + +f(x, y, z(x, y), u(x, y)) и почти всюду выполняются включения (3).

Множество решений системы (1)–(3) обозначим через R.

Первая глава посвящена вопросам существования решений включений и управляемых систем типа Гурса-Дарбу. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть U, U1, U2 удовлетворяют верхним либо нижним условиям Каратеодори, при этом, если для U выполняются верхние условия Каратеодори, будем дополнительно предполагать, что множество f(x, y, z, U(x, y, z)) выпукло для п.в. (x, y) и всех z X. Тогда R =.

Если U, U1, U2 удовлетворяют условиям Каратеодори и f(x, y, z, u) = c3(x, y, z)u + c4(x, y, z), то существует такое решение (z, u, u1, u2) R, что u(x, y) ext co U(x, y, z(x, y)), u1(x) ext co U1(x, V1(z)(x)), u2(y) ext co U2(y, V2(z)(y)).

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»