WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В разделе 3.1 приводится постановка задачи: в QT (0, T ), [0, A] [0, B] требуется найти функции U (u, v) (L2(QT ))2, L2(QT ) такие, что u, v L2(0, T ; (W ())2), ut, vt, t L2(0, T ; (W2 ())2) и удовлетворяющие следующей системе уравнений Ut - Div(U) + KU + gH = f, t + divU = 0, (10) U = 0, U t=0 = U(0), t=0 = (0), u v где, H > 0 в, H, g = const, divU +, x y r (ux) + (uy) |U| -l x y H Div(U) =, K =, l, r = const > 0, r (vx) + (vy) l |U| x y HU = (u, v) – заданная вектор-функция, компоненты которой являются достаточно гладкими. Компоненты вектор-функции U имеют физический смысл составляющих полного потока, – отклонение поверхности океана относительно ”поверхности равновесия”, H – глубина океана, r и – коэффициенты придонного и горизонтального турбулентного трения, l – параметр Кориолиса.

В разделе 3.2 рассматривается метод расщепления для аппроксимации (10) по времени. Вводится сетка tj = j t, j = 0, 1,..., NT, t = T/NT и на каждом отрезке (tj-1, tj) применяется схема расщепления вида:

- U(1) U(1) 1 gH j j- - Div((U(1) + U(1) )) + (j + j-1) = fj-1/2, j j- t 2 (11) j - j-1 + div(U(1) + U(1) ) = 0, U(1) = 0, U(1) = U(2), j j-1 j j-1 j- t U(2) - U(2) j j-+ Kj-1/2(U(2) + U(2) ) = 0, U(2) = U(1), (12) j j-1 j-1 j t где Kj-1/2 K(Uj-1), U(2) = U(0), 0 = (0), j = 1,..., NT.

Реализация (12) может быть осуществлена по явным формулам, а (11) сводится к решению задач типа:

-Div(aU) + bU + c = F, c divU + d = G, U = 0. (13) В разделе 3.3 доказывается корректная разрешимость стационарной задачи (13) в соответствующих функциональных пространствах.

В разделе 3.4 формулируется задача оптимального управления, включающая обобщенную постановку для (13). Выписываются необходимые условия экстремума функционала в виде системы вариационных уравнений. Относительно оператора A -div(-Div(aU) + bU)-1 + d I, A : L2() L2(), D(A) = L2() – ”оператора давления”, справедливо Предложение 1. Sp(AA) [C0, C1], где minµmin 2 c2 C0 = c2 + d, C1 = + d, (14) amin + b a min есть минимальное собственное значение задачи - =, | = 0, 1 > µmin > 0 – минимальное собственное значение задачи div-1 = µ.

В разделе 3.5 исследуется итерационный процесс решения (13). На основе (14) изучены оценки его скорости сходимости. Предложен алгоритм вычисления параметров рассматриваемого итерационного процесса для ускорения сходимости.

В разделе 3.6 приведены результаты численных экспериментов и основные выводы по главе 3.

Четвертая глава посвящена применению исследуемой методологии совместно с классическими методами расщепления к построению численного метода решения системы уравнений динамики приливов на сфере.

В разделе 4.1 постановка задачи динамической теории приливов рассматривается в сферических координатах,, r, [0, 2], [0, ], где r полагается равным среднему радиусу Земли R, и выписана в терминах ”средних” скоростей и симметризованном виде. Область соответствует поверхности Мирового океана на ”сферической Земле” или некоторой её части. В QT (0, T ), T < требуется найти функции U (u, v) (L2(QT ))2, L2(QT ) такие, что u, v, удовлетворяют следующей системе уравнений HUt - U + KU + gH = f, t + divHU = f3, (15) U = 0, U t=0 = U(0), t=0 = (0).

Здесь 1 U (u, v) + DU, [0, 1], div,,, R sin R 1 u 1 (v sin ) 1 v u divU +, DU -u + 2 cos, -v - 2 cos, R sin R sin R2 sin2 KU = (r|U|u - lv, lu + r|U|v), и H W(), l = -2 cos, – угловая скорость вращения Земли, остальные функции и коэффициенты были определены ранее. В приводимых выше обозначениях круглые скобки (, ) определяют вектор-функцию. Отдельной проблемой, которая обсуждается в данной главе, становится постановка задачи в сферической системе координат в силу наличия сингулярности в полюсных точках.

Как и в предыдущей главе, сначала для задачи (15) применяется аналогичная (11)-(12) схема расщепления, которая рассматривается в разделе 4.2. Реализация неявного этапа этой схемы расщепления сводится к решению следующей стационарной задачи -aU + bHU + cH = F, c divHU + d = G, U = 0, d = 0, (16) 1 g где a =, b =, c = g, d =.

t t В разделе 4.3 вводятся соответствующие функциональные пространства, в которых стационарная задача (16) корректно разрешима. Особенность рассматриваемых функциональных пространств заключается в том, что принадлежащие им гладкие функции U (u, v) удовлетворяют условиям v u - u = 0, v + = 0 при = (17) v u + u = 0, v - = 0 при =.

Также доказывается устойчивость схемы расщепления при r = 0.

В разделе 4.4 формулируется задача оптимального управления (2), соответствующая (16), и доказывается её корректная разрешимость. Относительно операторного уравнения, эквивалентного системе (16), A = f в L2(), (18) g2 HR2 g где A - divH( + I)-1H + I, имеет место t t Теорема 2. Пусть H = const, = 1, точка = 0 не принадлежит. Точка = может принадлежать, но в этом случае предполагается, что U = (u, v) удовлетворяет условию вида u v [(u2 + v2) - (v - u )]d = 0 при =.

Тогда справедливы следующие утверждения:

(а) Операторы A, AA являются самосопряженными и положительно определенными.

(б) Sp(A) [ C0, C1], Sp(AA) [C0, C1], где H2minµmin c2H2 C0 = c2 + gb, C1 = + gb, (19) amin + bHR2 a где min есть минимальное собственное значение задачи -1 =, | = 0, а µmin – нижняя граница спектра оператора div1-11 и µmin < 1.

(в) Задача (18) корректно и плотно разрешима.

В разделе 4.5 исследуются итерационные процессы решения (16). С учетом свойств оператора A здесь могут быть использованы алгоритмы из раздела 1.2. Например, двухслойный итерационный процесс будет выглядеть следующим образом. Для заданного вычисляем невязку, решая систему -a1U0 + bHU0 = F - cH0, U0 = 0, r0 = c divHU0 + d0 - G.

Затем последовательно при k = 0, 1,... N реализуем итерационный процесс вида:

-a1Vk+1 + bHVk+1 = -cHrk, Vk+1 = 0, (20) wk+1 = c divHVk+1 + drk (rk, rk) k =, k+1 = k - kwk+1, rk+1 = rk - kwk+1. (21) (wk+1, rk) Для нахождения приближения UN решаем эллиптическую задачу:

-a1UN + bHUN = F - cHN, UN = 0. (22) Теорема 3. Пусть приближения {Uk} относятся к классу решений, удовлетворяющих условиям (17). Тогда, если H = const и параметры {k} выбираются согласно (21), то последовательности {Uk}, {k} сходятся соответственно к U, – обобщенному решению исходной задачи, причем справедлива оценка [Uk - U] + k - Cqk, L2() где 1 - minµmin q =, =, =, 1 - + min + HR2/t tgHа постоянная C > 0 не зависит от k, Uk, k.

1 Следствие 2. Если 1, а t < 2/(gH2), то > 1 и q = <.

1 + Отметим, что при выполнении условий следствия можно ожидать высокой скорости сходимости рассматриваемых итерационных алгоритмов.

В разделе 4.6 исследуется поведение гладких решений задач (15), (16) при = 0 и = 1.

Теорема 4. Пусть существует достаточно гладкое решение (u, v, ) задачи (15) при = 0 в сферических координатах в области, содержащей подобласть 0 [0, 2] [0, 0], где 0 const > 0 и 0 – достаточно мало. Тогда при < 0 справедливы соотношения u(,, t) = u0(t) + O(), v(,, t) = O(), (23) где u0(t) некоторая функция, независящая от,.

Замечание 1. Решение исходной задачи при = 0 в окрестности точек = 0 и = может задавать непрерывное векторное поле U = (u, v), касательное к сфере, только в том случае, если u(, 0) v(, 0) u(, ) v(, ) 0 [0, 2].

Исследуется и приводится асимптотическое представления гладких решений задачи (16) в окрестности точек полюса на сфере при = 1 до третьего порядка малости. На основе этих разложений предложены формулы для определения функции скорости в полюсных точках по правой части, а также формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности этих точек.

Пятая глава посвящена систематическому исследованию численных аспектов рассмотренных в четвертой главе алгоритмов.

В разделе 5.1 численно исследуется стационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором 0 в сферическом слое. Результаты расчетов показывают, что итерационный процесс сходится достаточно быстро. Уменьшение шагов сетки, а также уменьшение отступа от полюсных точек требует дополнительных ограничений, таких как введение регуляризируеющего слагаемого и уменьшение временного шага.

В разделе 5.2 численно исследуется нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором 0 на сфере. Результаты расчетов показывают, что для повышения точности численного решения требуется применение специального вида сглаживания в окрестности полюсных точек.

В разделе 5.3 численно исследуется нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором 1 на сфере. Результаты расчетов показывают, что рассматриваемый в разделе 4.5 итерационный процесс сходится достаточно быстро. При этом наблюдается периодичность по времени численной ошибки. Сеточные функции также обладают периодом по времени.

В разделе 5.4 исследуются ошибки при замене оператора 1 в исходных уравнениях динамики приливов на сфере на оператор 0, широко используемый в геофизической гидродинамике. Численные расчеты показывают, что при увеличении коэффициента диффузии разница между решениями при использовании операторов (h)-1 и (h)-1 стано0 вится существенной. И при ”больших” коэффициентах диффузии ( = 1012) применение оператора (h)-1 вместо (h)-1 приводит к большим ошибках в численном решении не 0 только в окрестности полюсных точек, но и во всей расчетной области.

В разделе 5.5 исследуется влияние специальных условий для функции скорости в ”полюсных точках”, полученных на основе приведенных в разделе 4.6 асимптотических разложений. Результаты расчетов показывают, что применение специальных условий и алгоритмов уточнения численного решения в окрестности ”полюсных точек” на тестовом примере приводит к таким же по порядку численным ошибкам, как и при задании значений в полюсах точного решения. Таким образом, можно предположить, что данный способ будет эффективен при расчете с реальными данными.

В разделе 5.6 численно исследуется нелинейная нестационарная система уравнений динамики приливов на сфере. Результаты численных экспериментов подтверждают сходимость рассматриваемых итерационных процессов и схемы расщепления.

В разделе 5.7 кратко описывается способ задания приливного потенциала с помощью основных приливных гармоник и приводятся расчёты в акватории Мирового океана с реальной функцией рельефа дна и приливных сил, при этом для решения задач применялись исследуемые в диссертации методы. Численные результаты подтверждают эффективность исследуемых методик.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении изложены некоторые возможные направления для развития исследуемой методологии применительно к построению алгоритмов решения системы уравнений Навье-Стокса без детального изучения рассматриваемых алгоритмов и их численной проверки.

Основные результаты работы Основной результат – на основе методологии, базирующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений, разработаны и исследованы новые алгоритмы решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Стокса, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах).

Этот результат состоит в следующем:

• Разработан, обоснован и численно реализован новый метод решения нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором.

• Разработан, исследован и численно реализован новый метод решения системы уравнений динамики приливов в прямоугольной области и на сфере. Предложенный метод базируется на совместном применении схемы расщепления и подходов теории оптимального управления и сопряженных уравнений. На основе исследуемой методологии разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения полученных после схемы расщепления стационарных задач.

• Получены оценки для границ спектра ”оператора давления” на сфере и, на их основе, доказаны оценки скорости сходимости итерационных процессов. Выписаны асимптотические представления гладких решений в окрестности точек полюса на сфере до третьего порядка малости. Предложен алгоритм вычисления параметров рассматриваемых итерационных процессов для ускорения их сходимости.

• Проведено численное исследование изложенных в работе итерационных алгоритмов.

Предложены формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности точек полюса на сфере. Проведены численные эксперименты с реальной акваторией, функцией рельефа дна и приливным потенциалом. Численные результаты подтверждают эффективность исследуемых методик.

Публикации по теме диссертации [1] Агошков В.И., Ботвиновский Е.А. Численное решение нестационарной системы Стокса методами теории сопряженных уравнений и оптимального управления // ЖВМиМФ. – 2007. – Т. 47. – №7. – С. 1192-1207.

[2] Агошков В.И., Ботвиновский Е.А. Численное решение нестационарной системы Стокса методами теории оптимального управления и сопряженных уравнений, Международная конференция ”Тихонов и современная математика”. Тезисы докладов секции №3. – М.: Издательский отдел ф-та ВМиК, 2006. – C. 14-15.

[3] Ботвиновский Е.А. Исследование одного метода решения гиперболо-параболической системы на сфере, Международная конференция ”Ломоносов-2008”. Сборник тезисов секции ”Вычислительная математика и кибернетика”. – М.: Издательский отдел ф-та ВМиК, 2008. – C. 20-21.

[4] Agoshkov V.I., Botvinovsky E.A. Numerical Solution of a Hyperbolic-Parabolic System by Splitting Methods and Optimal Control Approaches // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2007. – V. 7. – No. 3. – P.193-207.

[5] Agoshkov V.I., Botvinovskii E.A. Investigation of a method for solving a hyperbolicparabolic system on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. – 2008. – V. 23.

– No. 2. – P. 107-134.

[6] Agoshkov V., Botvinovsky E., Gusev A., Lebedev S., Parmuzin E., Shutyaev V.

Variational data assimilation system INM-T1 // Geophysical Research Abstracts. – 2008.

– V. 10. – EGU2008-A-08220.

[7] Botvinovskii E.A. An algorithm for the solution of a tidal dynamics problem on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. – 2008. – V. 23. – No. 6. – P. 523-536.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»