WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Ботвиновский Евгений Александрович Методы оптимального управления и сопряженных уравнений для задач геофизической гидродинамики 01.01.07 Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный консультант: д.ф.-м.н., профессор В.И. Агошков

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., Ю.В. Василевский к.ф.-м.н., доцент А.В. Попов

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН

Защита состоится 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу:

119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.045.01 доктор физико-математических наук Г. А. Бочаров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Большое количество физических процессов динамики океана описывается моделями, использующими различные модификации и упрощения классических задач гидродинамики, таких как система уравнений Навье-Стокса.

Исследование и численное решение системы уравнений Навье-Стокса – одна из наиболее сложных задач вычислительной математики и гидродинамики, методы решения которой активно разрабатывались в течение последних 50 лет. Большинство работ, опубликованных на эту тему, посвящено развитию численных методов решения уравнений Навье-Стокса и различных их модификаций. Трудности при решении этих задач связаны с недостаточной информацией о точных решениях (почти все найденные точные решения не несут в себе специфики нелинейной задачи). Дополнительные сложности возникают при учете реальных физических данных (геометрия области, разброс значений коэффициентов, специфика поведения решений, размерность задачи, расчет на долгий интервал по времени, ограниченные ресурсы ЭВМ и многое другое). Существующая, в то же время, большая востребованность решения данных задач при моделировании физических процессов гидродинамики оставляет актуальным вопрос о разработке эффективных методов решения в каждом конкретном случае.

Одним из подходов конструирования новых алгоритмов решения задач математической физики (в том числе и задач гидродинамики) является методология их построения, базирующаяся на методах теории оптимального управления. Вероятно, впервые эти подходы были предложены в работе Агошкова В.И., Bardos’а C., Булеева С.Н. (1998) в применении к решению классической стационарной системы Стокса. Идея построения таких методов при рассмотрении системы Стокса состоит в следующем: функция давления рассматривается в качестве ”дополнительной” неизвестной по отношению к компонентам вектора скорости – ”основным” компонентам решения, а уравнение неразрывности рассматривается в качестве ”уравнения замыкания” задачи. Затем задача рассматривается как обратная задача (или задача оптимального управления) и включается в семейство задач оптимального управления, зависящих от регуляризирующего члена. Далее исследуются задачи оптимального управления и для их решения применяются классические численные методы с применением подходов теории сопряженных уравнений. В последующем распространение данных подходов к построению численных алгоритмов и их формулировке для систем операторных уравнений было выполнено в монографии Агошкова В.И. (2003). Однако было актуальным и представляло как теоретический, так и практический интерес исследование данной методологии в применении к классу задач геофизической гидродинамики, таких как нестационарная система Стокса, возмущенная ограниченным кососимметрическим оператором, и система уравнений динамики приливов в декартовых и сферических координатах. Отметим, что в отношении системы уравнений динамики приливов дополнительные сложности возникают в силу сингулярности сферической системы координат в точках ”полюса” на сфере, и исследование поведения гладких решений системы уравнений динамики приливов в окрестности ”полюсных точек” представляет особый интерес. Знание асимптотического разложения гладких решений в окрестности этих точек позволило бы предложить различные способы уточнения численных решений исходных уравнений. Изложенное выше было принято в качестве целей исследований в диссертационной работе и обуславливает их актуальность.

Цель работы – разработка и исследование новых алгоритмов решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Стокса, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах) на основе методологии их построения, базирующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

Научная новизна работы. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

• Разработан, обоснован и численно реализован новый метод решения нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором, базирующийся на теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

• Разработан, исследован и численно реализован новый метод решения системы уравнений динамики приливов в прямоугольной области и на сфере. Предложенный метод базируется на совместном применении схемы расщепления и подходов теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

• Получены оценки для границ спектра ”оператора давления” на сфере. Выписаны асимптотические представления гладких решений в окрестности точек полюса на сфере до третьего порядка малости. Предложены формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности точек полюса на сфере.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в развитии методологии построения новых алгоритмов решения класса задач геофизической гидродинамики, базирующейся на теории оптимального управления и сопряженных уравнений, а также в систематическом исследовании и обосновании предлагаемых алгоритмов. Практическая значимость заключается в возможности использования полученных оценок спектров рассматриваемых в работе операторов для ускорения сходимости итерационных алгоритмов. Кроме того, предложенные в работе формулы уточнения численных решений в окрестности ”полюсных точек” на сфере могут найти применение при численном решении более широкого класса задач геофизической гидродинамики – общей циркуляции океана.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной математики РАН, Вычислительного центра РАН, кафедры Вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции ”Тихонов и современная математика” (Москва, 2006), Международной конференции ”Дифференциальные уравнения и смежные вопросы” (Москва, 2007), конференции ”Тихоновские чтения” (Москва, 2007), Международной конференции ”Ломоносов-2008” (Москва, 2008), Международной конференции EGU General Assembly (Вена, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 статьи в рецензируемых журналах (из них [1,5,7] – в журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских диссертаций) и 3 работы в сборниках тезисов.

Личный вклад автора. Во всех работах, подготовленных в соавторстве, диссертант совместно осуществлял теоретическое исследование задач, самостоятельно проводил обоснования итерационных процессов, планирование численных экспериментов, выполнял все расчеты и осуществлял анализ результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 89 названий, содержит 29 рисунков и 21 таблицу. Объем диссертации составляет 131 страницу.

Краткое содержание работы Во введении обсуждаются рассматриваемые в работе задачи и существующие методы их решения. Описывается структура диссертации, кратко формулируются основные полученные результаты.

В первой главе, состоящей из двух разделов, рассматривается методология конструирования новых методов решения класса задач, задаваемого системой операторных уравнений:

L = f + Bu, C = h + Du, (1) где f, h – заданные элементы,, u – неизвестные, L, B, C, D – линейные операторы. Суть этой методологии заключается в следующем: компоненты всего исходного вектора неизвестных (вектора решения) разбиваются на две группы, при этом первая из них (обозначается ) условно называется ”основной” составляющей решения, а вторая (обозначается u ) – ”дополнительной” (или ”управлением”). Полная система уравнений задачи (если она заранее не представлена в форме (1)) записывается в виде системы двух операторных уравнений (1).

Затем вся задача сводится к задаче оптимального управления с регуляризирующим слагаемым: найти = (u) и управление u такие, что L = f + Bu, J(u, (u)) = inf J(v, (v)), (2) vD(B) где 2 1 J(v, (v)) = v - uC + C - h - Dv, HC 2 Hob L(v) = f + Bv, 0, uC заданный элемент, HC, Hob – гильбертовы пространства. Далее выписываются необходимые условия экстремума функционала (2), которые можно записать в виде вариационного уравнения u + AAu = Af, где A – некоторый оператор, который в общем случае не является самосопряженным, а A – сопряженный к A оператор. Отметим, что это уравнение является основным объектом исследования в теории обратных задачах с помощью методов регуляризации А.Н. Тихонова. Именно к нему применяются классические итерационные методы и доказывается сходимость последовательности приближений к решению задачи (1). Однако при рассмотрении конкретных задач исходные уравнения в ряде случаев удается записать таким образом, что A = A. В этом случае становится возможным применение к решению рассматриваемого уравнения алгоритмов, базирующихся на теории М.М. Лаврентьева решения обратных и некорректных задач. К этому классу относится метод, сформулированный в разделе 1.2 данной главы. Отметим, что благодаря симметричности исходного оператора при реализации рассматриваемого в разделе 1.1 алгоритма нет необходимости решать сопряженные задачи. Это позволяет уменьшить время расчёта по сравнению с соответствующими алгоритмами из раздела 1.1.

Во второй главе проведено исследование изложенной в главе 1 методологии в применении к нестационарной системе Стокса, возмущенной ограниченным кососимметрическим оператором.

В разделе 2.1 формулируется постановка задачи: найти функции : [0, T ] Rn и p : [0, T ] R, где ограниченная область в Rn, такие, что t - a + l + b = f - p в (0, T ) QT, div = 0 в QT, = 0 t (0, T ), = 0, (3) t=p d = 0 t, где (1,..., n), l (-l2, l1, 0,..., 0), a, b, l = const, a > 0, b 0. Далее, вводятся необходимые функциональные пространства и формулируется обобщенная постановка (3). Затем, согласно исследуемой методологии, мы переходим к рассмотрению семейства задач оптимального управления с регуляризирущим слагаемым 1 2 1 2 1 J(p, ) p + div + div - inf, L2(QT ) L2(QT ) L2() 2 2 p t=T (4) t - a + l + b = f - p, = const 0.

Если, p есть решение системы уравнений (3), то оно будет решением (4) при = 0.

В разделе 2.2 для решения (4) выписываются необходимые условия экстремума функционала J(p, ) в виде вариационного уравнения p + AAp = Ag, где A = CL-1B, g = -CL-1f, (5) а операторы L, B, C определяются с помощью билинейных форм:

(L, ) (, -t)+(a, )+(b, )+(-l2, 1)L (QT ) +(l1, 2)L (QT ) +((T ), (T ))(L ())n, 2 2 (·, ·) (·, ·)(L (QT ))n, (Bp, ) (p, div)L (QT ), (C, p) (div, p)L (QT ),, W, p, p HC, 2 2 HC = {f L2(QT ) : f d = 0 t [0, T ]}, H (H)n, H L2(QT ), Y = L2(0, T ; (W2 ())n, W = { Y : ||||W = (||t||2 + ||||2 )1/2 < }.

Y L2(0,T ;((W2 ())n)) Относительно разрешимости уравнения Ap = g L = f + Bp, C = 0 (6) справедлива следующая Теорема 1. Уравнение Ap = g однозначно и плотно разрешимо. Если задача (3) имеет ”классическое” решение, p (например, C2(QT ), p C1(QT ) ), то пара, p удовлетворяет (6).

Следствие 1. Пусть, p есть решение задачи (3) (классическое или обобщенное), а (), p() – есть компоненты решения задачи (4) при > 0. Тогда ||p() - p||H + ||() - ||H 0, ||div()||H 0 при +C В разделе 2.3 рассматривается итерационный процесс для решения уравнений (5). В ”классической” форме записи он имеет вид: если p(k) задано, то последующее приближение находим, решая системы (k) - a(k) + l (k) + b(k) = f - p(k), (k) = 0 t (0, T ), (k) = 0 (7) t t=-q(k) - aq(k) - l q(k) + bq(k) = -div(k), q(k) = 0 t (0, T ), q(k) = 0, (8) t t=T p(k+1) = p(k) - k(p(k) + divq(k)), (9) (k) (k) где q(k) (q1, q2,..., q(k)), k > 0, > 0 параметры.

n Из теории экстремальных задач следует, что если известна величина J = inf J(u) > - (а в задаче (4) имеем J = 0 в силу теоремы 1), то для ускорения сходимости итерационного процесса (7)-(9) параметры {k} можно вычислять по следующей формуле:

T |div(k)|2ddt k.

T |divq(k)|2ddt В разделе 2.4 предложены некоторые способы уточнения приближений для p. Первый способ состоит в следующем. Функцию f (L2())2 представим в виде f = g h, где g P, P W2, а h удовлетворяет условиям divh = 0 и h = 0. Справедливо следующее уравнение P P = divf в, = n · f, P dx = 0.

n Вводя p p - P переходим к решению задачи:

- a + l + b = h - p в QT, t div = 0 в QT, = 0 t (0, T ), = 0, t= p d = 0 t.

Искомая функция p есть p = p+P. Второй способ заключается в формулировке и решении ”специальной задачи для p ” после окончания итерационного процесса при найденном.

Пример. Если (0, A) (0, B), то ”специальная задача” есть p 2u p 2v p = divf - l · rot в t, = f2 - a, = f1 - a, y y=0,B xy x x=0,A yx где (u, v). Результаты расчетов показывают, что применение методов уточнения приближенного решения к функции давления p уменьшает значение относительных ошибок для p.

В разделе 2.5 приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие основные выводы по данной главе.

В третьей главе рассматривается применение общей методологии совместно с классическими методами расщепления к построению численного метода решения системы уравнений динамики приливов в декартовых координатах и области прямоугольной формы.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»