WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Основные методы исследования В диссертации используются методы торической геометрии, теории эллиптических поверхностей, теории деформаций, и теоремы о квантовых когомологиях однородных пространств (теорема Зиберта–Тиана, квантовая формула Шевалле) и торических многообразий. Кроме того, для прозрачности изложения, в третьей главе используется классификация трехмерных многообразий Фано10 (результаты главы позволяют не используя эту классификацию восстановить её в том объёме, в котором она используется).

Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории многообразий Фано, теории инвариантов Громова–Виттена и зеркальной симметрии.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих научноисследовательских семинарах.

1. Семинар “Геометрия алгебраических многообразий” под руководством В.А.Исковских и Ю.Г.Прохорова в МГУ (2006 и 2007), 2. Семинар “Характеристические классы и теория пересечений” под руководством М. Э. Казаряна и С. К. Ландо в НМУ (2006), 3. Семинар по алгебраической геометрии под руководством А.Н.Паршина в МИАН (2007).

Публикации автора по теме диссертации Основное содержание диссертации опубликовано в работах, список которых приведен в конце автореферата.

См. [IP] V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov Fano varieties, Springer-Verlag, New York 1999.

Краткое содержание работы Диссертация состоит из введения и трёх глав.

В главе 1 приведены необходимые определения и вспомогательные утверждения. Утверждения главы 1 как правило не доказываются, но снабжаются ссылками на источники. Завершается глава 1 иллюстрацией общих идей на необходимых далее примерах грассманианах и торических многообразиях; в последнем разделе доказаны формулы определяющие спектр квантовых когомологий грассманиана.

В главе 2 подробно изучается двумерный случай. Как отмечалось ранее, двумерные гладкие многообразия Фано (поверхности дель Пеццо) были исследованы ещё в 19 веке.

Поверхности дель Пеццо степени 6 и больше торические, а поверхности дель Пеццо степени 5 и меньше малых торических вырождений не имеют всякая поверхность с терминальными особенностями сама гладкая. Поэтому, в этой главе мы рассматриваем более общее вырождение вырождение гладкой поверхности к торической поверхности с каноническими (дювалевскими) особенностями. Мы опишем все поверхности такого типа (всего их 16, их степень не меньше 3), они являются вырождениями гладких поверхностей дель Пеццо. Далее, по каждой найденной торической поверхности мы построим пучок эллиптических кривых с 4 особыми слоями, заданный определённым многочленом Лорана, многоугольник Ньютона которого это многоугольник соответствующий торической поверхности. По поверхностям дель Пеццо сглаживание которых квантово минимально получаются эллиптические пучки со всюду стабильной редукцией, а по поверхности F1 и поверхности дель Пеццо степени 7 эллиптические пучки с чуть более сложными особенностями в одном слое.

Наконец, мы покажем что с точностью до перенормировки (афГладкое многообразие Фано называется квантово минимальным, если подкольцо в H(X, ) порождённое каноническим классом KX совпадает с аналогичным подкольцом в QH(X).

финного преобразования образа) найденный пучок будет слабой моделью Ландау–Гинзбурга (с параметром t) к исходной поверхности дель Пеццо; в квантово минимальном случае параметр равен 1, а в остальных двух случаях единственным образом определённый, и относительно него поверхность уже квантово минимальна.

В отличие от работы Ору–Казаркова–Орлова, где для достаточно общего выбора симплектической формы строятся гомологически зеркально симметричные партнёры, все конечные слои которых простые, построенные нами модели максимально вырождены.

В главе 3 изучается трёхмерный случай, а именно малые торические вырождения трёхмерных многообразий Фано. Мы ответим на вопрос Батырева, какие из 87 семейств неторических гладких трёхмерных многообразий Фано имеют малые торические вырождения. Оказывается, что только 44 из них имеют такие вырождения, причём некоторые семейства могут иметь вырождения к нескольким различным торическим многообразиям. Мы опишем их все. Приложением существования найденных вырождений является вычисление инвариантов Громова–Виттена вырождающихся многообразий (самый неочевидный пример это, видимо, V22). В конце главы мы обсуждаем препятствия обобщения этого подхода на худшие особенности, в большие размерности, коразмерности, и на другие типы многообразий.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В. А. Исковских за постоянное внимание к его работе и В. В. Голышеву за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения, К. А. Шрамову за многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также Н. Ф. Заку, В. В. Пржиялковскому, Ю. Г. Прохорову и D. van Straten за полезные обсуждения.

Публикации по теме диссертации (1) Галкин С. С.; Голышев В. В. Квантовые когомологии грассманианов и круговые поля // УМН 2006 т.61, No. 1(367) 175–176.

(2) Галкин С. С. Торические поверхности и экстремальные эллиптические пучки // Деп. в ВИНИТИ 27.02.08, 168-В 2008.

(3) Галкин С. С. Малые торические вырождения трёхмерных многообразий Фано // Деп. в ВИНИТИ 27.02.08, 167-В 2008.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»