WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации 59 страниц, библиография включает 26 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор результатов, связанных с темой диссертации, приводится постановка задачи, дается краткое изложение основных результатов диссертации.

В первой главе мы формулируем основные определения и факты из теории самосопряженных расширений. Также мы рассматриваем необходимый в дальнейшем примера. Мы рассматриваем оператор 0 - ограничение оператора Лапласа (заданного на замкнутом многообразии M) на функции, которые зануляются на конечном наборе точек {qi}n. Оператор Лапласа i=с дельта-потенциалом - это самосопряженное расширение замкнутого оператора 0 (с индексами дефекта (n, n)). В первой главе мы перечисляем основные свойства интегрального ядра G(x, y; z) резольвенты ( - z)-1 и описываем базис дефектного подпространства Nz для 0 (это в точности {G(·, qi; z)}n ). Таким образом, каждая функция f(x) D() имеет i=1 следующее разложение в окрестности т. qi:

f(x) = ai(f)F0(x, qj) + bj(f) + o(1), aj, bj C, где F0 не зависит от z и имеет следующий вид:

-1 d(x, q), если dim M = 1;

F0(x, q) = -2 ln d(x, q), если dim M = 2;

d(x, q)-1, если dim M = 3.

Далее определяем операторы (1), (2) : D() Cn:

(1) := (ai(f))n, (2) := (bi(f))n, i=1 i=Таким образом, по лагранжевой плоскости Cn Cn мы можем построить самосопряженное расширение с областью определения D() = {f D(S) | ((1)f, (2)f) } Во второй главе доказывается Теорема 4. ker L, где L = (ker ) - лагранжева плоскость.

В утверждении 3 находится явный вид плоскости L, а в пункте 2.разобран конкретный пример нахождения параметров плоскости L (для оператора Лапласа на двумерной сфере).

Третья глава посвящена ядру оператора Лапласа H на декорированных графах. Здесь имеет место утверждение, абсолютно аналогичное теореме 4:

ker H L, где L - лагранжева плоскость в C4n C4n, где n - количество ребер графа.

Далее, в пункте 3.2 рассматривается конкретное расширение H с условиями типа непрерывности. В утверждении 4 доказывается его существование и единственность.

Центральный результат главы 3 - доказательство неравенства (теорема 5), выполненного для оператора H на декорированном графе (полученном декорацией графа ):

0 dim ker H 0 + где 0 - количество компонент связности графа, 1 - количество независимых циклов графа. Приведен пример, в котором указанная оценка достигается (п. 3.4), и показано, что сколь угодно малым изменением длин ребер можно добиться равенства dim ker H = 0. Также показано, что величина 1() - dim ker H не убывает при добавлении новых ребер и многообразий.

В четвертой главе мы вычисляем след экспоненты операторов Лапласа с условиями типа локальности (это означает, что граничные условия имеют вид (2) = (1), где - матрица из четырех диагональных блоков), для чего применяем пребразование Лапласа T r(t e-tH ) T r(H + p)-к каждому члену псевдоасимптотического разложения T r(H + p)-(утверждение 7), которое было найдено С.В. Рогановой, и даем оценку остаточного члена (утверждение 8). В теореме 7 найдены первые члены разложения T r(t e-tH ).

В пятой главе мы, используя технику С.В. Рогановой, вычисляем T r(H + z2)-2 для оператора Лапласа с введенными в п. 3.2 условиями непрерывности H. Для этих целей необходимо изменить операторы граничных условий и сравнивать резольвенту оператора H с резольвентой оператора H0 - прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и операторов Лапласа на отрезках с условием Дирихле. В теореме 8 найдены первые члены псевдоасимптотического разложения T r(H + z2)-2.

Оказывается, что в разложении T r(H +z2)-2 слагаемые, не содержащие логарифмических членов, дают разложение для следа квадрата резольвенты прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и на отрезках с условиями Неймана. В то время, как в разложении следов операторов, рассматриваемых С.В. Рогановой, присутствуют ненулевые добавки к степенным членам.

В шестой главе рассматривается задача о предельном поведении спектра оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции.

В пункте 6.1 рассматривается оператор на окружности и доказывается Теорема 9. Рассмотрим задачу на окружности, параметризованной x [0, 1): -y + V (x)y = y, где V (x) - интегрируемая функция с носителем [0, 1]. Для каждой точки 0 вида (2k)2(k N) или решения уравнения 1 = ctg (где M = V (x)dx) существует единственное собственное M 2 2 значение (), т.ч. () 0. Других собственных значений нет.

В пункте 6.2 рассматривается оператор на сфере и доказывается Теорема 10. Рассмотрим задачу на нахождение собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на стандартной двумерной C сфере радиуса 1 : ( - V(cos ))u = -u, где - широта, V(cos ) = при 0 < <, и V(cos ) = 0 при >.

Тогда каждая непрерывная и ограниченная функция () сходится при 0 к числу вида n(n + 1), n Z.

Аналогично, в пункте 6.3 рассматривается оператор Лапласа на двумерном диске с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельтафункции. В теореме 11 доказывается сходимсть непрерывных ограниченных собственных значений к точкам спектра обычного оператора Лапласа.

В седьмой главе рассматривается задача об асимптотике спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю. Теорема 12 вычисляет первые члены асимптотики собственных значений.

Благодарности.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Андрею Игоревичу Шафаревичу за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] А.А. Толченников. О ядре операторов Лапласа-Бельтрами с потенциалом нулевого радиуса и на декорированных графах.// Математический сборник. – 2008. – Т. 199, N7. – с. 123-138.

[2] A.A. Tolchennikov. Kernel and Trace Formula for the Exponential of the Laplace-Beltrami Operator on a Decorated Graph. // Russian Journal of Mathematical Physics. – 2008. – Vol. 15, No. 1. – pp.128-139.

[3] А.А. Толченников. Тезисы конференции "Дни дифракции 2009". Изд-во СПбГУ. – 2009. – с. 88.

[4] А.А. Толченников. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.

Крейна - 2008. Тезисы докладов. Изд-во ВорГУ. – 2008. – с. 136.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.